数学第五章 一元一次方程课后练习题

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1.掌握一元一次方程的应用的一般步骤；
2.掌握各类应用题的列方程的方法.
知识点 必备公式或关系式
题型01 一元一次方程的应用--古代问题
例题：（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【答案】39人，15辆车
【分析】设一共有x人，分别表示两种方式的车辆数，根据车辆数相等建立方程求解即可．
【详解】设一共有x人，
根据题意，得，
解得，
∴，
答：一共有39人，15辆车．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？
【答案】店中共有8间房
【分析】由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程求得．
【详解】解：设店中共有x间房
依题意得：，
解得：，
答：店中共有8间房．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．
2．（2023·安徽马鞍山·校考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’问客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”
【答案】72个
【分析】设共有客人x人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗”列出方程即可．
【详解】解：设有x个客人，则
，
解得，，
答；有72个客人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
题型02 一元一次方程的应用--销售问题
例题：（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）小张自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装。为了缓解资金压力，小张决定打折销售．若每件服装按标价的6折出售将亏10元，而按标价的8折出售将赚40元．
(1)请计算每件服装标价多少元？每件服装成本多少元？（用一元一次方程求解）
(2)为尽快减少库存，又要保证不亏本，请问小张最多能打几折？
【答案】(1)标价为元，服装成本元
(2)
【分析】（1）可以设标价是x元，根据题意列方程解答，本题的等量关系是衣服的成本，分别以六折和八折表示出成本，即可列出方程．
（2）为了尽快减少库存，又要保证不亏本，也就是打折后等于成本，在（1）的结论的基础上，列方程解答即可．
【详解】（1）设标价是x元，
由题意得，，
解得，，
这种服装的成本是（元）
答：标价为元，服装成本元．
（2）设最多打y折，
由题意得，，
解得，，
答：最多能打折．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·重庆云阳·七年级校考阶段练习）云阳新世纪超市销售蓝莓，第一周的进价是每千克30元，销量是200千克；第二周的进价是每千克25元，销量是400千克．已知第二周的售价比第一周的售价每千克少10元，第二周比第一周多获利2000元．
(1)求第二周该水果每千克的售价是多少元？
(2)第三周该水果的进价是每千克20元．经市场调查发现，如果第三周的售价比第二周降低，销量是第二周销量的3倍．此时获利比第二周增加了 求t的值．
【答案】(1)40元
(2)37.5
【分析】（1）设第二周该水果每千克售价是元．利用第二周比第一周多获利2000元列方程，求解即可；
（2）根据第三周的售价比第二周降低%，销量是第二周销量的3倍，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设第二周该水果每千克售价是元．
则，
解得：，
答：第二周该水果每千克售价是40元；
（2）解：根据题意可得：
令t%＝a
解得 a＝0.375
故t＝37.5．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出第三周的销量与每千克利润和理解题意列出方程是解题关键．
2．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）某百货超市经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价120元，售价150元；乙种服装每件进价200元，售价320元．
(1)若该百货超市同时购进甲、乙两种服装共40件，总进价用去6000元，购进甲种服装多少件？
(2)在“双11购物节”当天，该百货超市实行“每满100元减30元”的优惠促销（比如：某顾客购物120元，他只需付款90元），张先生这天买了一件乙种服装．到了第二天，百货超市又推出：先打折，再参与“每满100元减30元”的让利活动，他发现一件乙种服装打折后的价钱在200元到299元之间此时购买反而要多付7.6元．在该百货超市第二天推出的让利活动下，购买一件甲种服装需要多少元？
【答案】(1)购进甲种服装25件
(2)购买一件甲种服装需要元
【分析】（1）设购进甲种服装x件，则购进乙种服装件，根据总进价用去元列方程求解即可；
（1）该超市第二天推出的让利活动是先打折再进行满减活动，根据乙种服装打折后的价钱在200元到299元之间此时购买反而要多付7.6元列方程求解．
【详解】（1）解：设购进甲种服装x件，则购进乙种服装件，
根据题意得：，
解得：．
答：购进甲种服装25件．
（2）该超市第二天推出的让利活动是先打折再进行满减活动，
根据题意得：
解得：，
(元)，
(元)．
答：购买一件甲种服装需要109.5元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，设恰当未知数列出方程是解题的关键．
题型03 一元一次方程的应用--方案问题
例题：（2023春·河南周口·七年级校考期中）“太行分一脉，缥缈入云台”．某单位计划“五一”节组织员工到焦作云台山旅游，已知甲、乙两旅行社都提供去云台山的方案，都是每人400元．几经洽谈，甲旅行社表示给予每位旅客折优惠，乙旅行社表示能免去一位旅客的费用，其余9折．
(1)若参加旅游的人数为x，则选择甲旅行社的费用为______元，选择乙旅行社的费用为______元（都用含x的式子表示）．
(2)若经过计算可知甲，乙两家旅行社的费用相同，则该单位有员工多少人?
【答案】(1)；
(2)该单位有员工18人
【分析】（1）甲旅行社的费用为人数乘以单价，再乘以0.85；乙旅行社的费用为（人数）乘以单价，再乘以0.9；
（2）利用甲，乙两家旅行社的费用相同，结合（1）中选择两个旅行社的费用的代数式，列方程，即可解答．
【详解】（1）解：甲旅行社的费用为（元）；
乙旅行社的费用为元，
故答案为：；；
（2）解：由题意可得方程，
解得，
该单位有员工18人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟读题意，理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·黑龙江绥化·七年级统考期末）张老师暑假带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”，若全票价为240元．
(1)若学生有3人和5人，甲旅行社需费用多少元？乙旅行社呢？
(2)学生数为多少时两个旅行社的收费相同？
【答案】(1)当有学生3人时，甲旅行社需费用600元，乙旅行社需费用576元；当有学生5人时，甲旅行社需费用840元，乙旅行社需费用864元
(2)学生数为4时两个旅行社的收费相同
【分析】（1）分别根据两种旅行社的收费方式，求出当学生为3人和5人时的费用即可；
（2）设学生有x人，根据两旅行社的收费相同，列方程求解即可．
【详解】（1）解：当有学生3人时，甲旅行社需费用：（元）；
乙旅行社需费用：（元）；
当有学生5人时，甲旅行社需费用：（元）；
乙旅行社需费用：（元）；
（2）解：设学生有人，
由题意得，，
解得：．
答：学生数为4时两个旅行社的收费相同．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）为庆祝元旦活动，某中学组织大合唱比赛，甲、乙两个班级共92人（其中甲班51人以上，不足55人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表为：
(1)甲、乙两个班级共92人合起来统一购买服装共需付款____________元；
(2)如果两个班级分别单独购买服装一共应付4080元，甲、乙两个班级各有多少学生准备参加演出?
(3)如果甲班有8名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两个班级设计一种最省钱的购买服装方案．
【答案】(1)2760元
(2)甲班级有52名学生准备参加演出，乙班级有40名学生准备参加演出
(3)甲乙两班联合购买91套演出服装比其他购买方案更省钱
【分析】（1）甲、乙两个班级合起来统一购买，总套数超过91套，再结合价格方案即可解答；
（2）设甲班有x名学生准备参加演出，共需要元，可列方程，解方程求出x的值及代数式的值即可解答；
（3）有三种方案，一是两班级单独购买，二是两班联合按准备参加演出的学生数购买，三是两班联合购买91套服装，计算出按每种方案购买分别需要多少钱，再比较三个计算结果的大小，即可得到题意的答案．
【详解】（1）解：（元），
∴甲、乙两个班级合起来统一购买服装共需付款2760元．
故答案为：2760．
（2）解：设甲班有x名学生准备参加演出，
∵甲、乙两个班级共92人，其中甲班51人以上，不足55人，
∴乙班少于50人，
根据题意得，解得，
∴（名）．
答：甲、乙两个班级分别有52名学生和40名学生准备参加演出．
（3）解：两班联合购买91套服装的费用：（元）
两班联合购买84套服装的费用：（元）
甲、乙单独购买的总费用：（元）
∵2730元＜3360元＜4200元，
∴甲、乙两班联合购买91套演出服装比最省钱．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识点，正确地用代数式表示甲、乙两班单独购买时所需要的总钱数及两班联合购买时所需要的总钱数是解题的关键．
题型04 一元一次方程的应用--配套问题
例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．
(1)该车间有男生、女生各多少人？
(2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？
【答案】(1)该车间有男生18人，则女生人数是26人
(2)分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母
【分析】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答；
（2）首先设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可．
【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则
．
解得
则．
答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．
（2）设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，由题意得：
解得：，
答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
【变式训练】
1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）服装厂计划生产一批某种型号的学生服装，已知每米长的某种布料可做件上衣或条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现仓库内存有这样的布料米，若全部用来做这种型号的学生服装，应分别用多少布料做上衣和裤子，才能恰好配套？
【答案】用米布料做上衣，用米布料做裤子，才能恰好配套．
【分析】设用米布料做上衣，则用米布料做裤子，根据题意，列出方程，解出，再根据裤子的布料为，即可．
【详解】设用米布料做上衣，则用米布料做裤子，
∴，
解得：．
∴裤子的布料为：（米）．
答：用米布料做上衣，用米布料做裤子，才能恰好配套．
【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握一元一次方程的实际运用．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）一张方桌是由一个桌面和四条桌腿组成的，如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个，或制作桌腿300条，现在要用5立方米木料制作方桌，请你设计一下，用多少木料制作桌面，用多少木料制作桌腿，恰好配成方桌多少张？
【答案】用3立方米木料制作桌面，用2立方米木料制作桌腿，恰好配成方桌150张．
【分析】利用一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，利用桌面桌腿数量，进而得出等式计算即可．
【详解】解：设用立方米木料做桌面，那么桌腿用木料立方米，根据题意，得：
，
解得：，
，
，
答：用3立方米木料制作桌面，用2立方米木料制作桌腿，恰好配成方桌150张．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．
题型05 一元一次方程的应用--工程问题
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）修一条公路，甲工程队单独承包要40天完成，乙工程队单独承包要60天完成．
(1)现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？
(2)如果甲、乙两工程队合作12天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条路共需要几天？
【答案】(1)24天
(2)42天
【分析】（1）设两队合作需要x天完成，由工程问题的数量关系建立方程求出其解即可；
（2）设乙队单独做还需要y天完成，根据甲乙完成的工作量之和为1建立方程求出其解即可．
【详解】（1）设两队合作需要x天完成，由题意，得
解得：．
答：两人合做需要24天完成；
（2）设乙单独做还需要y天完成，由题意，得
解得：．
（天）．
答：修好这条路共需要42天．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，抓住关键描述语，找到等量关系列出方程．
【变式训练】
1．（2022秋·安徽淮北·七年级统考期末）柳孜隋唐大运河遗址是我市的一张文化名片，为打造古运河风光带，现有一段长为280米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治10米，两个工程队共用时25天．求A工程队整治河道多少米？
【答案】设A工程队整治河道180米
【分析】设A工程队整治河道x米，根据两个工程队共用时25天即可建立一元一次方程求解．
【详解】解：设A工程队整治河道x米，
根据题意得：，
．
答：设A工程队整治河道180米．
【点睛】本题考查一元一次方程与工程问题．正确理解题意是关键．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）某童装工厂甲组的3名工人1天完成的总工作量比日人均定额的3倍多60件，乙组的4名工人1天完成的总工作量比日人均定额的5倍少20件．
(1)如果两组工人实际完成的日人均工作量相同，那么日人均定额是多少件？
(2)如果甲组工人实际完成的日人均工作量比乙组多10件，那么日人均定额是多少件？
(3)如果乙组工人实际完成的日人均工作量比甲组多10件，那么日人均定额是多少件？
【答案】(1)如果两组工人实际完成的日人均工作量相同，那么日人均定额是100件
(2)如果甲组工人实际完成的日人均工作量比乙组多10件，那么日人均定额是60件
(3)如果乙组工人实际完成的日人均工作量比甲组多10件，那么日人均定额是140件
【分析】（1）设日人均定额是件，用含的代数式分别表示出两组工人实际完成的日人均工作量，列方程即可求解；
（2）设日人均定额是件，根据题意列一元一次方程，即可求解；
（3）设日人均定额是件，根据题意列一元一次方程，即可求解；
【详解】（1）解：设日人均定额是件．
由题意，得，
解得．
答：如果两组工人实际完成的日人均工作量相同，那么日人均定额是100件．
（2）解：设日人均定额是件．
由题意，得，
解得．
答：如果甲组工人实际完成的日人均工作量比乙组多10件，那么日人均定额是60件．
（3）解：设日人均定额是件．
由题意，得，
解得．
答：如果乙组工人实际完成的日人均工作量比甲组多10件，那么日人均定额是140件．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，根据所给数量关系正确列出方程是解题的关键．
题型06 一元一次方程的应用--行程问题
例题：（2023秋·湖北·七年级校考周测）如图，在数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为6．点从点出发以每秒2个单位长度的速度由运动，同时，点从点出发以每秒1个单位长度的速度由运动，当点到达点时两点停止运动，设运动时间为（单位：秒）．

(1)求点与点第一次重合时的________
(2)当________，点表示的有理数与点表示的有理数距离是3个单位长度．
【答案】(1)4
(2)3，5，9
【分析】（1）根据题意可以列出相遇关于的方程，从而可以求得的值；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】（1）
，
答：点与点第一次重合时的值为4；
（2）点和点第一相遇前，
，
解得，；
当点和点相遇后，点到达点前，
，
解得，；
当点从点向点运动时，
，
解得，；
由上可得，当的值为3，5，9时，点表示的有理数与点表示的有理数距离是3个单位长度．
【点睛】本题考查数轴、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的解答．
【变式训练】
1．（2023秋·河南洛阳·七年级校考阶段练习）某检查团从单位出发去A处检查，在A处检查1h后，又绕路去B处检查，在B处停留h后返回单位，去时的速度是5km/h，返回时速度是4km/h，来回共用了6.5h，如果回来时因为绕道关系，路程比去时多2km，求去时的路程．
【答案】10km
【分析】设去时的路程为，则回来的路程为，利用来回的时间和停留的时间和为6.5h建立等量关系得，然后解方程即可．
【详解】解：设去时的路程为，根据题意得：
，
解得．
答：去时的路程为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
2．（2023秋·陕西汉中·七年级校考阶段练习）如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为．

(1)两点间的距离是___________；
(2)现在有一只电子蚂蚁从点出发时，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．
①若两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数；
②当两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度时，求t的值．
【答案】(1)
(2)①点对应的数；②当或时，两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度
【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法即可求解；
（2）①根据相遇问题求出时间，再根据两点之间距离的计算方法即可求解；②根据题意，分类讨论，第一种情况，相遇前相距个单位长度；第二种情况，相遇后相距个单位长度；根据行程问题的数量关系即可求解．
【详解】（1）解：点对应的数为，点对应的数为，
∴两点间的距离是，
故答案为：．
（2）解：①蚂蚁从点出发时，以每秒个单位长度，蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度，设运动时间为秒，
∴，解得，，
∴蚂蚁走的路程为，
∴点表示的数为，即点对应的数；
②第一种情况，相遇前两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度，
∴，解得，；
第二种情况，相遇后两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度，
∴，解得，；
∴当或时，两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度．
【点睛】本题主要考查数轴上动点的行程问题，掌握数轴上两点之间距离的方法，动点运动的规律，行程问题的数量关系等知识是解题的关键．
题型07 一元一次方程的应用--电费和水费问题
例题：（2023秋·安徽六安·七年级阶段练习）电信公司推出两种移动电话计费方法：
方法：免收月租费，按每分钟0.5元收通话费；
方法：每月收取月租费30元，再按每分钟0.2元收通话费．
现在设通话时间是分钟．
(1)请分别用含的代数式表示计费方法、的通话费用．
(2)用计费方法的用户一个月累计通话150分钟所需的话费，若改用计费方法，则可通话多少分钟？
(3)当通话多少分钟时，两种计费方法产生的费用相差15元？
【答案】(1)方法通话分钟的费用为元；方法通话分钟的费用为元
(2)改用计费方法，可通话分钟
(3)150分或50分
【分析】（1）根据计费方法A、B表示出通话费用即可；
（2）根据计费方法A、B列方程求出出通话费用即可；
（3）根据题意，分两种情况列出方程，求出方程的解即可得到结果；
【详解】（1）解：由题意可得：
方法A：，方法B：；
（2）方法A通话150分钟所需的话费=，
依题意得：，
解得：，
答：改用计费方法B，则可通话分钟；
（3）由题意得，，
解得：或
答：当通话时间150分或50分时，两种计费方法产生的费用相差15元．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）南京市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水吨，计划内用水每吨收费元，超计划部分每吨按元收费．
(1)用代数式表示（所填结果需化简）：设用水量为吨，当用水量小于等于吨，需付款____元；当用水量大于吨，需付款_____元；
(2)某月该单位用水吨，水费是____元；若用水吨，水费____元；
(3)若某月该单位缴纳水费元，则该单位用水多少吨？
【答案】(1)，
(2)1112，952
(3)该单位用水400吨．
【分析】（1）根据单价×数量=总价根据条件就可以分别求出结论；
（2）把数据分别代入（1）中的代数式求出结果即可．
（3）设该单位用水为x吨，则费用为，求出其解即可．
【详解】（1）解：设用水量为x吨，由题意，得
当用水量小于等于300吨，需付款元，
当用水量大于300吨，需付款（元），
故答案为：，；
（2）解：用水320吨，水费是（元），
用水280吨，水费是（元）．
故答案为：1112，952；
（3）解：设该单位用水x吨，由题意，得
，
解得：．
答：该单位用水400吨．
【点睛】本题考查了代数式的运用，代数式的值的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据单价×数量=总价建立方程是关键．
2．（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如下图．
价目表
注：水费按月结算
(1)若某户居民1月份用水，则水费为_________元．
(2)若某户居民某月用水，请用含x的代数式表示水费．
(3)若某户居民3，4月份共用水，且4月份用水量超过，3月份用水量超过，共交水费94元，则该户居民3、4月份各用水多少m³?
【答案】(1)18
(2)水费为元
(3)该户居民3月份的用水量为，4月份的用水量为
【分析】（1）利用表格中收费标准求解即可；
（2）分不超过的部分、超过不超过的部分、超过的部分三部分计算求和即可；
（3）设3月份的用水量为，则4月份的用水量为，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：（元），
故答案为：18；
（2）解：由题意，当时，水费为元．
（3）解：设3月份的用水量为，则4月份的用水量为．
根据题意，，
则，
解得，
4月份的用水量为．
答：该户居民3月份的用水量为，4月份的用水量为．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，找到所需的等量关系，并正确列出代数式和方程是解答的关键．
一、单选题
1．（2023春·湖北武汉·九年级校考自主招生）某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利66元，则这种商品每件的进价为（ ）
A．180元B．200元C．225元D．150元
【答案】D
【分析】设这种商品每件的进价为x元，根据利润售价进价，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这种商品每件的进价为x元，
由题意得，
解得：．
故这种商品每件的进价为150元．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握利润售价进价．
2．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．设大和尚有人，则下列列式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设大和尚有人，根据有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程即可．
【详解】解：设大和尚有人，则小和尚有人，
由题意，得：；
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意正确的列出方程，是解题的关键．
3．（2023秋·全国·七年级课堂例题）一项工程，甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天．若先由甲队单独做天，剩下部分由甲、乙两队合作完成，则还需要的天数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设甲、乙两队合作完成还需的天数为天，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，列出方程，即可．
【详解】设甲、乙两队合作完成还需的天数为天，
∵甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天
∴甲队的工作效率为：，乙队的工作效率为：，甲、乙两队合作的工作效率为：，
∴
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握一元一次方程的实际运用．
4．（2023秋·七年级课时练习）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（ ）

A．60人B．61人C．62人D．63人
【答案】D
【分析】设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设七年级三个班级共有人，
根据题意得，
解方程组得：，
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程．
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管3小时可注满一池水，单独开放乙管6小时可注满一池水，单独开放丙管4小时可放尽一池水．若甲管先开放1小时，而后同时开放乙、丙两个水管，则还需（ ）小时可注满水池．
A．B．C．3D．4
【答案】A
【分析】设还需小时可注满水池，由题意即可建立方程求解．
【详解】解：设还需小时可注满水池，由题意得：
解得：
故选：A
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．注意正确理解题意．
二、填空题
6．（2023春·吉林长春·七年级校考期中）某种商品进价为元，标价为元．现打折销售，要使利润率为，则需打 折销售．
【答案】
【分析】设需要打折，根据利润率为，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设需打折，根据题意得：
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
7．（2022秋·湖北武汉·七年级统考开学考试）若干个老人分梨，若每人7个，则多5个梨；若每人9个，则有一个老人没有分到梨，则共有 只梨．
【答案】54
【分析】设共有个老人，根据题意列出一元一次方程并求解，可知老人人数，即可获得答案．
【详解】解：设共有个老人，
根据题意，可得 ，
解得 ，
则（只），
即共有54只梨．
故答案为：54．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
8．（2023春·湖北黄冈·七年级校考开学考试）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米．……”．问题：有2斗的粟（1斗升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为 升．
【答案】12
【分析】先将单位换成升，根据：单位的粟，可换得单位的粝米．……，列比例式计算可得结论．
【详解】解：根据题意得：2斗升，
设可以换得的粝米为x升，
则，
解得：，
故2斗的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为12升．
故选：12．
【点睛】本题考查了比例的应用，本题首先要弄清题意，正确列比例式是解决本题的关键．
9．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）中国古代数学著作《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程 ．
【答案】
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
【详解】解：设有辆车，则可列方程．
故答案是：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（2023秋·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A、B表示的数分别是0，9，现在以点C为折点将数轴向右对折，若点A的对应点落在射线上，且，则点C表示的数是 ．

【答案】或
【分析】画出对应数轴，设点C表示的数是，分类讨论①当点在点的右边②当点在点之间即可求解．
【详解】解：设点C表示的数是
①当点在点的右边，如图：

由题意得：
解得：
②当点在点之间，如图：

由题意得：
解得：
故点C表示的数是或
故答案为：或
【点睛】本题考查了一元一次方程、数轴上两点之间的距离．分类讨论是解题关键．
三、解答题
11．（2023春·河北·九年级专题练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，每题都要作答，下表记录了3位参赛者的得分情况：
(1)根据上表可知，答对一题得_____分，答错一题得_____分；
(2)参赛者小明说他得了80分．你认为可能吗？为什么？
【答案】(1)
(2)不可能，理由见解析
【分析】（1）由图表中甲的答题情况和得分可知答对一题得5分，由甲和乙可知答错一题不但不给分，还要倒扣1分；
（2）设参赛者答对x道，则答错道，根据题意列一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据图表中甲的答题情况和得分可知答对一题得分：(分)
根据乙的答题可知答错一题得分为：(分)，
故答案为：．
（2）不可能．理由如下：
设参赛者答对x道，则答错道，
根据题意得，
解得，
∴答对题数不是整数，所以不可能．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
12．（2022秋·广东清远·七年级统考期末）某校为参加校庆开幕式表演的学生购置演出服．经了解，某服装店男演出服每套元，女演出服每套元，原价购买套演出服共需元．
(1)该校购买的男演出服和女演出服各多少套？
(2)为吸引顾客，该店推出两种优惠方案：
方案一：全部演出服九折销售；
方案二：一次性购买套演出服以上免费赠送套男演出服，其余的按原价销售．
请通过计算说明学校购买套演出服应选择哪种优惠方案更合算？
【答案】(1)所以该校购买的男演出服套和女演出服套
(2)方案一更合算
【分析】（1）设该校购买的男演出服为套，女演出服为套，依题意列式为，即可作答；
（2）分别算出方案一和方案二中的学校购买套演出服所需的价格，再进行比较，即可选择哪种优惠方案更合算．
【详解】（1）解：设该校购买的男演出服为套，女演出服为套，
，
，
解得，
（套），
所以该校购买的男演出服套和女演出服套；
（2）解：依题意得：
方案一：（元）
方案二：（元），
因为，
所以应选择方案一更合算．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及方案问题，难度较小．
13．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）目前，某市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．
(1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费_________元；
(2)若该市某户12月应交电费126元，则该户12月用电量为多少度．
【答案】(1)102
(2)240
【分析】（1）根据总价单价数量，结合阶梯电价收费标准，列式进行计算即可得到答案；
（2）设该户12月用电量为度，根据题意列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：（元），
该市某户12月用电量为200度，该户应交电费102元，
故答案为：102；
（2）解：设该户12月用电量为度，
，
，
，
解得：，
该户12月用电量为240度．
【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出算式以及一元一次方程是解此题的关键．
14．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）东辉超市两次购进甲、乙两种商品进行销售，其中第一次购进乙种商品的件数比甲种商品件数的2倍多15件．
(1)若第一次购进甲种商品的件数为a件，则购进乙种商品的件数为___________件．
(2)已知甲种商品的进价49元，标价69元，乙种商品的进价35元，标价45元．该超市第一次用7665元购进甲、乙两种商品，且均按标价出售，问本次全部售出后共获利多少元？
(3)在（2）问的条件下，该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数是第一次的2倍，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品售价不变，乙商品打折销售，第二次全部售出后获得的总利润比第一次获得的总利润多10%，求第二次乙种商品按原价打几折出售？
【答案】(1)
(2)2550元
(3)八折
【分析】（1）根据题意，用运算表示数量间关系，列代数式；
（2）明确等量关系：甲商品总进价乙商品总进价7665元，列一元一次方程求解，进而求出利润；
（3）明确等量关系：第二次总利润第一次总利润，列一元一次方程求解；
【详解】（1）
（2）解：根据题意得，解得，
（件），
（元），
答：本次售出后获利2550元．
（3）解：甲：（件）乙：（件）
设第二次乙种商品打x折出售．
根据题意得，解得．
答：第二次乙种商品打八折出售．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用；审题明确题意中的等量关系是解题的关键．
15．（2023秋·全国·七年级课堂例题）甲、乙两车分别从相距的A，B两地出发，甲车速度为，乙车速度为．请根据条件列方程：
（1）若两车同时出发，相向而行，则多长时间后两车相遇？
（2）若两车同时出发，同向而行（乙车在前，甲车在后），则多长时间后甲车追上乙车？
思路分析：
（1）设后两车相遇．
如图①，根据开始相距的路程＝两车所走的路程之和即可列出方程：_______________．
（2）设后甲车追上乙车．
如图②，根据相遇时两车的路程之差＝开始相距的路程即可列出方程：______________．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据图①解析图列方程；
（2）根据图②解析图列方程；
【详解】解：（1）根据图①列方程得：；
（2）根据图②列方程得：；
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意列方程是解题的关键．
16．（2023秋·重庆大渡口·八年级校考阶段练习）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价元，售价元；乙种商品每件进价元，利润率为．
(1)甲种商品每件利润率为______，每件乙种商品售价为______；
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共件，恰好总进价为元，求购进甲乙两种商品各多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款元，第二天只购买甲种商品实际付款元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【答案】(1)，
(2)购进甲商品件，乙商品20件．
(3)小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共或件．
【分析】（1）根据利润率等于利润除以进价，直接列式计算即可；
（2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可；
（3）设第一天购买乙种商品件，设第二天购买甲种商品件，然后分别列方程求得，最后求和即可．
【详解】（1）解：，元，
所以甲种商品每件利润率为，每件乙种商品售价为元．
故答案为：，．
（2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
解得：，
则．
答：购进甲商品件，乙商品20件．
（3）解：设第一天购买乙种商品件，
依题意得， 或，
解得或（舍去），
所以第一天购买乙种商品件．
设第二天购买甲种商品件，
依题意得，或，
解得或，
所以第二天购买甲种商品或件，
（件）或（件）．
答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共或件．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有人，2班有人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共个手环．
(1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？
(2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）．
①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？
②姜经理第一次购进个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的，则第二次每个发光头饰的售价为多少元？
【答案】(1)8
(2)①，②
【分析】（1）先设出应额外给1班个手环，然后根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）①设未知数，根据题意列出一元一次方程进行求解即可；②由①可得当进购数量少于时，选择甲进货商，当进购数量多于时，选择乙进货商，再根据两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的列出一元一次方程即可．
【详解】（1）解：设应额外给1班个手环，则额外给2班个手环，
∵要使1班、2班的手环数一样多，
∴，
解得：，
所以应额外给1班8个手环；
（2）解：①设购进个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多，
对于甲批发商处进货价为：元，
对于乙批发商处进货价为：元，
∵去两个批发商处的进货价一样多，
∴，
解得：，
所以购进个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多；
②设第二次每个发光头饰的售价为元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的，
由①可得当进购数量少于时，选择甲进货商，当进购数量多于时，选择乙进货商，
第一次进购个，所以第一次进价为：元，
∵第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个，
∴第二次进购了个，
第二次进价为：元，
∵两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的，
∴，
解得：，
所以第二次每个发光头饰的售价为元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的．
【点睛】本题考查了实际问题与一元一次方程，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
18．（2023秋·四川宜宾·八年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）如图，在数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a，b，c，d，且满足a，b是方程的两个解，且与互为相反数．

(1)填空： 、 、 、 ；
(2)若线段以3个单位秒的速度向右匀速运动，同时线段以1单位长度秒向左匀速运动，并设运动时间为t秒，两点都运动在上(不与C，D两个端点重合)，若，求t的值；
(3)在（2）的条件下，线段，线段继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使？若存在，求t得值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，，12，16
(2)
(3)或
【分析】（1）根据绝对值的含义(为正数)及绝对值的非负性即可求解；
（2）、运动时，点A对应的数为：，点B对应的数为：，点C对应的数为：，点D对应的数为：，根据题意列出关于t的等式求解即可；
（3）根据题意求出t的取值范围，用含t的式子表示出和，再根据即可求出t值．
【详解】（1）解：∵，
∴或
又∵a，b是方程的两个解，
∴，，
∵与互为相反数，即
∴，，
故答案为：，，12，16；
（2）依题意得：运动时，点A对应的数为：，点B对应的数为：，点C对应的数为：，点D对应的数为：，
∴，，
∵，即，
∴
解得：或
当时，此时点B对应的数为，点C对应的数为，此时不满足题意，
故；
（3）∵点B对应的数为：，点D对应的数为：，
∴当点B运动到点D的右侧时，
，
又∵点A对应的数为：，点B对应的数为：，点C对应的数为：，点D对应的数为：，
∴，，
∵，
∴，
解得：或
经验证，或，，即符合题意
【点睛】本题考查了有理数与数轴的综合问题，涉及字母的表示，绝对值的性质，解方程，灵活应用绝对值的性质是解题的关键．类型
公式或关系式
销售问题
利润=售价-进价；
工程问题
工作总量=工作效率×工作时间
行程问题
路程=速度×时间
顺水逆水问题
顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速
购买服装的套数
1套至50套
51套至90套
91套及以上
每套服装的价格
50元
40元
30元
每月用水量
单价
不超过的部分
3元
超过不超过的部分
4元
超过的部分
6元
参赛者
答对题数
答错题数
总得分
甲
20
0
100
乙
19
1
94
丙
14
6
64
一户居民一个月用电量（单位：度）
电价（单位：元/度）
第1档
不超过180度的部分
0.5
第2档
超过180度的部分
0.6
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过元
不优惠
超过元，但不超过元
售价打九折
超过元
售价打八折