新高考数学考前考点冲刺精练卷57《两个计数原理》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种
【答案解析】答案为：D
解析：要想同时取4个不同的数使其和为偶数，则取法有三类：
①4个数都是偶数，有1种取法；
②2个数是偶数，2个数是奇数，有Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(2,5)＝60(种)取法；
③4个数都是奇数，有5种取法.根据分类加法计数原理，不同的取法共有1＋60＋5＝66(种).
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有( )
A.50个 B.45个 C.36个 D.35个
【答案解析】答案为：C
解析：由题意，知十位上的数字可以是1，2，3，4，5，6，7，8，共8类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理，知符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).
某学校的3个班级将要去甲、乙、丙、丁4个工厂参观学习，要求每个班只能去1个工厂参观学习，且甲工厂必须有班级参观学习，则不同的参观方案有( )
A.16种 B.25种 C.37种 D.48种
【答案解析】答案为：C
解析：每个班级都可以从这4个工厂中选1个参观学习，各有4种选择，根据分步乘法计数原理，共有43＝64(种)参观方案，若甲工厂没有班级参观学习，此时每个班级都可以从其余3个工厂中选1个参观学习，各有3种选择，共有33＝27(种)参观方案，所以甲工厂必须有班级参观学习，不同的参观方案有64﹣27＝37(种).
某人要给厨房中装有不同调料的5个瓶子贴上对应的标签，若恰好贴错了3个，则贴错的可能情况种数为( )
A.9 B.12 C.18 D.20
【答案解析】答案为：D
解析：由题意，可分为两步：第一步，从5个瓶子中选出3个瓶子，有Ceq \\al(3,5)＝10(种)情况，第二步，对选出的3个瓶子进行错位重排，有2种情况，所以贴错的可能情况种数为10×2＝20.
从6人中选出4人参加数学、物理、化学、生物比赛，每人只能参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数为( )
A.94 B.180 C.240 D.286
【答案解析】答案为：C
解析：第一步，因为甲、乙两人都不能参加化学比赛，所以从剩下的4人中选1人参加化学比赛，共有4种选法；
第二步，在剩下的5人中任选3人参加数学、物理、生物比赛，共有5×4×3＝60(种)选法.
由分步乘法计数原理，得不同的参赛方案的种数为4×60＝240.
甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4名同学中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A.150种 B.180种 C.300种 D.345种
【答案解析】答案为：D
解析：这名女同学可以在甲组选出也可以在乙组选出，故分两类计算.甲组中选出1名女同学有Ceq \\al(1,5)×Ceq \\al(1,3)×Ceq \\al(2,6)＝225(种)选法；乙组中选出一名女同学有Ceq \\al(2,5)×Ceq \\al(1,6)×Ceq \\al(1,2)＝120(种)选法.故共有345种选法.
用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数的个数为( )
A.12 B.18 C.24 D.30
【答案解析】答案为：B
解析：分三步完成，第1步，确定被使用了2次的数字，有3种方法；
第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个数位上，有3种方法；
第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个数位上，有2种方法，
由分步乘法计数原理知，不同的四位数有3×3×2＝18(个).
某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学.在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为( )
A.8 B.9 C.12 D.24
【答案解析】答案为：B
解析：设四个班分别是A，B，C，D，对应的数学老师分别是a，b，c，d.让a老师先选，可从B，C，D班中选一个，有3种选法，不妨假设a老师选的是B，则b老师从剩下的三个班级中任选一个，有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法.由分步乘法计数原理，知共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法.
如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择.则不同的涂色方法种数是( )
A.48 B.54 C.72 D.108
【答案解析】答案为：C
解析：设“赵爽弦图”ABCD为①区，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形分别为②，③，④，⑤区.
第一步给①区涂色，有4种涂色方法.
第二步给②区涂色，有3种涂色方法.
第三步给③区涂色，有2种涂色方法.
第四步给④区涂色，若④区与②区同色时，⑤区有2种涂色方法.
若④区与②区不同色时，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法.
所以共有4×3×2×(2＋1×1)＝72.
算盘是中国古代的一项重要发明.现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为( )
图1 图2
A.16 B.15 C.12 D.10
【答案解析】答案为：C
解析：由题意，拨动三枚算珠，有4种拨法：
①个位拨动三枚，有2种结果：3，7；
②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有4种结果：12，16，52，56；
③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有4种结果：21，25，61，65；
④十位拨动三枚，有2种结果：30，70.
综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为2＋4＋4＋2＝12.
二、多选题
(多选)有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是( )
A.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种
B.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种
C.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有33种
【答案解析】答案为：AC
解析：对于A，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步乘法计数原理知共有34种结果，A正确，B错误；对于C，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步乘法计数原理知共有4×3×2＝24(种)结果，C正确，D错误.
(多选)现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人，则下列说法正确的是( )
A.选1人为负责人的选法种数为34
B.每组选1名组长的选法种数为5 400
C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为420
D.若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有37种
【答案解析】答案为：AD
解析：对于A，4个数学课外兴趣小组共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故选1人为负责人的选法共有34种，A对；
对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选1名组长，
所以不同的选法共有7×8×9×10＝5 040(种)，B错；
对于C，分六类：从第一、二组中各选1人，有7×8种不同的选法；
从第一、三组中各选1人，有7×9种不同的选法；
从第一、四组中各选1人，有7×10种不同的选法；
从第二、三组中各选1人，有8×9种不同的选法；
从第二、四组中各选1人，有8×10种不同的选法；
从第三、四组中各选1人，有9×10种不同的选法.
所以不同的选法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)，C错；
对于D，若不考虑限制条件，每个人都有4种选法，共有43＝64(种)选法，
其中第一组没有人选，每个人都有3种选法，共有33＝27(种)选法，
所以不同的选法有64﹣27＝37(种)，D对.
三、填空题
甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 (用数字作答).
【答案解析】答案为：336
解析：甲有7种站法，乙有7种站法，丙有7种站法，故不考虑限制共有7×7×7＝343(种)站法，其中三个人站在同一级台阶上有7种站法，故符合本题要求的不同站法有343﹣7＝336(种).
某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为 .(用数字作答)
【答案解析】答案为：7 200
解析：最先选出的1个人有30种方法，则这个人所在的行和列不能再选人，还剩一个5行4列的队形，可知选第2个人有20种方法，则该人所在的行和列也不能再选人，还剩一个4行3列的队形，可知选第3个人有12种方法，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7 200.
人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位吉祥数(首位不能是零)共有 个.
【答案解析】答案为：448
解析：第一步，确定千位，除去0和6，有8种不同的选法；第二步，确定百位，除去6和千位数字外，有8种不同的选法；第三步，确定十位，除去6和千位、百位上的数字外，有7种不同的选法.故共有8×8×7＝448(个)不同的“吉祥数”.
3个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至多放1个小球，共有 种放法.
【答案解析】答案为：24
解析：分三步来完成：
第一步，放第一个小球，有4种放法，
第二步，放第二个小球，有3种放法，
第三步，放第三个小球，有2种放法，
根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(种)放法.
4张卡片的正、反面分别写有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成 个不同的三位数.
【答案解析】答案为：168
解析：要组成三位数，根据百位、十位、个位应分三步：第一步：百位可放8﹣1＝7(个)数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数.故由分步乘法计数原理，得共可组成7×6×4＝168(个)不同的三位数.
从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种(用数字作答).
【答案解析】答案为：36
解析：第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法.第二步，从剩下的4人中选学习委员，有4种选法.第三步，从剩下的3人中选体育委员，有3种选法.由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种).