新高考数学考前考点冲刺精练卷56《成对数据的统计分析》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是( )
A.r2＜r4＜0＜r3＜r1 B.r4＜r2＜0＜r1＜r3
C.r4＜r2＜0＜r3＜r1 D.r2＜r4＜0＜r1＜r3
【答案解析】答案为：A
解析：由散点图知图(1)与图(3)是正相关，故r1＞0，r3＞0，图(2)与图(4)是负相关，故r2＜0，r4＜0，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r2＜r4＜0＜r3＜r1.
下表是关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)的统计表.
由上表可得经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.81x＋eq \(a,\s\up6(^))，若规定：维修费用y不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案解析】答案为：D
解析：由表格，得eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，eq \x\t(y)＝eq \f(1,5)×(3.4＋4.2＋5.1＋5.5＋6.8)＝5，
因为经验回归直线恒过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，所以5＝0.81×4＋eq \(a,\s\up6(^))，解得eq \(a,\s\up6(^))＝1.76，所以经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.81x＋1.76，由y≤10，得0.81x＋1.76≤10，解得x≤eq \f(824,81)≈10.17，
由于x∈N*，所以据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为10.
用模型y＝cekx拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝ln y，其变换后得到经验回归方程为z＝0.5x＋2，则c等于( )
A.0.5 B.e0.5 C.2 D.e2
【答案解析】答案为：D
解析：因为y＝cekx，两边取对数得，ln y＝ln(cekx)＝ln c＋ln ekx＝kx＋ln c，
则z＝kx＋ln c，而z＝0.5x＋2，于是得ln c＝2，即c＝e2.
为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：
则a﹣b﹣c等于( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案解析】答案为：C
解析：根据题意，可得c＝120﹣73﹣25＝22，a＝74﹣22＝52，b＝73﹣52＝21，
∴a﹣b﹣c＝52﹣21﹣22＝9.
如表是2×2列联表，则表中的a，b的值分别为( )
A.27,38 B.28,38 C.27,37 D.28,37
【答案解析】答案为：A
解析：a＝35﹣8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.
根据如表样本数据：
得到的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，则( )
A.eq \(a,\s\up6(^))＞0，eq \(b,\s\up6(^))＞0 B.eq \(a,\s\up6(^))＞0，eq \(b,\s\up6(^))＜0 C.eq \(a,\s\up6(^))＜0，eq \(b,\s\up6(^))＞0 D.eq \(a,\s\up6(^))＜0，eq \(b,\s\up6(^))＜0
【答案解析】答案为：B
解析：由表中的数据可得，变量y随着x的增大而减小，则eq \(b,\s\up6(^))＜0，
eq \x\t(x)＝eq \f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq \x\t(y)＝eq \f(4＋2.5－0.5－2－3,5)＝0.2，
又经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))经过点(4,0.2)，可得eq \(a,\s\up6(^))＞0.
某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间的关系如表：
y与x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，当广告支出6万元时，随机误差的残差为( )
A.﹣5 B.﹣5.5 C.﹣6 D.﹣6.5
【答案解析】答案为：D
解析：由题意结合经验回归方程的预测作用可得，当x＝6时，eq \(y,\s\up6(^))＝6.5×6＋17.5＝56.5，则随机误差的残差为50﹣56.5＝﹣6.5.
蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y关于x的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.25x＋k，则下列说法不正确的是( )
A.k的值是20
B.变量x，y呈正相关关系
C.若x的值增加1，则y的值约增加0.25
D.当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预测值为33.5 ℃
【答案解析】答案为：D
解析：由题意，得eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)×(20＋30＋40＋50＋60)＝40，eq \x\t(y)＝eq \f(1,5)×(25＋27.5＋29＋32.5＋36)＝30，则k＝eq \x\t(y)﹣0.25eq \x\t(x)＝30﹣0.25×40＝20，故A正确；
由经验回归方程可知，eq \(b,\s\up6(^))＝0.25＞0，变量x，y呈正相关关系，故B正确；
若x的值增加1，则y的值约增加0.25，故C正确；
当x＝52时，eq \(y,\s\up6(^))＝0.25×52＋20＝33，故D不正确.
二、多选题
(多选)下列选项中正确的是( )
A.经验回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和越小
B.若一组观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒为0，则R2＝1
C.经验回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法
D.画残差图时，纵坐标为残差，横坐标一定是编号
【答案解析】答案为：ABC
解析：对于A，经验回归分析中，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好，则残差平方和越小，A对；
对于B，若一组观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒为0，则R2＝1，B对；
对于C，经验回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，C对；
对于D，残差图中横坐标可以是样本编号，也可以是身高数据，还可以是体重的估计值等，D错.
(多选)某医疗研究机构为了了解免疫与注射疫苗的关系，进行一次抽样调查，得到数据如表1.
(表1)
(表2)
则下列说法中正确的是( )
A.χ2≈8.35
B.P(χ2≥6.635)≈0.001
C.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗有关系
D.依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗有关系
【答案解析】答案为：AC
解析：由表中数据，得χ2＝eq \f(60×10×34－6×102,20×40×16×44)≈8.352≈8.35，所以A正确；
因为P(χ2≥6.635)≈0.01，所以B错误；
χ2≈8.352＞6.635＝x0.01，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗有关系，所以C正确；
χ2≈8.352＜10.828＝x0.001，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗没有关系，故D错误.
(多选)下列说法正确的是( )
A.设有一个经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位
B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1
C.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D.在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明回归的效果越好
【答案解析】答案为：CD
解析：A选项，因为eq \(y,\s\up6(^))＝3﹣5x，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；
B选项，线性相关性具有正负，相关性越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1，故B错误；
C选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故C正确；
D选项，在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明模型拟合的精度越高，即回归的效果越好，故D正确.
(多选)2021年5月18日，《佛山市第七次全国人口普查公报》发布.公报显示，佛山市常住人口为9 498 863人.为了进一步分析数据特征，某数学兴趣小组先将近五次人口普查数据作出散点图(横坐标为人口普查的序号，第三次普查记为1，…，第七次普查记为5，纵坐标为当次人口普查佛山市人口数(单位：万人)，再利用不同的函数模型作出回归分析，如图，以下说法正确的是( )

A.佛山市人口数与普查序号呈正相关关系
B.散点的分布呈现出很弱的线性相关特征
C.经验回归方程2的拟合效果更好
D.应用经验回归方程1可以预测第八次人口普查时佛山市人口会超过1 400万人
【答案解析】答案为：AC
解析：对于A，散点图中的点的分布从左下方至右上方，故呈正相关关系，故A正确；
对于B，利用模型1，样本点基本分布在直线的两侧，故具有较强的线性相关特征，故B错误；
对于C，因为0.979 4＞0.972 6，所以经验回归方程2的拟合效果更好，故C正确；
对于D，利用模型1，当x＝6时，y＝183.5×6﹣1.7＝1 099.3＜1 400，故D错误.
三、填空题
某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如下表：
若用最小二乘法求得经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9，则a的值为________.
【答案解析】答案为：68
解析：由已知eq \x\t(x)＝eq \f(10＋20＋30＋40＋50,5)＝30，eq \x\t(y)＝eq \f(62＋a＋75＋81＋89,5)＝61＋eq \f(2＋a,5)，所以61＋eq \f(2＋a,5)＝0.67×30＋54.9，解得a＝68.
某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个.根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过________.
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d；
【答案解析】答案为：0.025
解析：由题意可得列联表如下，
χ2＝eq \f(105×45×20－10×302,55×50×75×30)≈6.109＞5.024＝x0.025.
根据下面的数据：
求得y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝19.2x＋12，则这组数据相对于所求的经验回归方程的4个残差的方差为________.(注：残差是指实际观测值与预测值之间的差)
【答案解析】答案为：3.2
解析：把x＝1,2,3,4依次代入经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝19.2x＋12，所得预测值依次为eq \(y,\s\up6(^))1＝31.2，
eq \(y,\s\up6(^))2＝50.4，eq \(y,\s\up6(^))3＝69.6，eq \(y,\s\up6(^))4＝88.8，对应的残差依次为0.8，﹣2.4,2.4，﹣0.8，它们的平均数为0，所以4个残差的方差为s2＝eq \f(0.82＋－2.42＋2.42＋－0.82,4)＝3.2.
四、解答题
2021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告：我国脱贫攻坚战取得全面胜利.目前，河南省53个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列.2016年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加.该地的经济收入变化及构成比例如图所示：

(1)根据以上图表，试分析：与2016年相比，2020年第三产业与种植业收入变化情况；
(2)求经济收入y关于x的经验回归方程，并预测2025年该地区的经济收入.
【答案解析】解：(1)①与2016年相比，2020年第三产业的收入占比大幅度增加；
②2016年第三产业的收入为0.3百万元，2020年第三产业的收入为6百万元，收入大幅度增加；
③与2016年相比，种植业收入占比减少，但种植业收入依然保持增长.
(2)由表格中的数据可知，
eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq \x\t(y)＝eq \f(5＋9＋14＋17＋20,5)＝13，
eq \i\su(i＝1,5,x)eq \\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝1×5＋2×9＋3×14＋4×17＋5×20＝233，
则eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)＝＝eq \f(233－5×3×13,55－5×32)＝3.8，所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)﹣eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝1.6，
故经济收入y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝3.8x＋1.6，
当x＝10时，eq \(y,\s\up6(^))＝39.6，则预测2025年该地区的经济收入为39.6百万元.
为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导.根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量y(千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据如下.
(1)由上表数据可知，可用经验回归模型拟合y与x的关系，请计算样本相关系数r并加以说明(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用经验回归模型拟合)；
(2)求y关于x的经验回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克？参考数据：eq \r(10)≈3.16.
【答案解析】解：(1)由已知数据可得
eq \x\t(x)＝eq \f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq \x\t(y)＝eq \f(300＋400＋400＋400＋500,5)＝400，
所以eq \i\su(i＝1,5, )(xi﹣eq \x\t(x))(yi﹣eq \x\t(y))＝(﹣3)×(﹣100)＋(﹣1)×0＋0×0＋1×0＋3×100＝600，
eq \r(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)＝eq \r(－32＋－12＋02＋12＋32)＝2eq \r(5)，
eq \r(\i\su(i＝1,5, )yi－\x\t(y)2)＝eq \r(－1002＋02＋02＋02＋1002)＝100eq \r(2)，
所以样本相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2) \r(\i\su(i＝1,5, )yi－\x\t(y)2))＝eq \f(600,2\r(5)×100\r(2))＝eq \f(3,\r(10))≈0.95.
因为|r|＞0.75，所以可用经验回归模型拟合y与x的关系.
(2)eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(600,20)＝30，eq \(a,\s\up6(^))＝400﹣5×30＝250，
所以经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝30x＋250.当x＝15时，eq \(y,\s\up6(^))＝30×15＋250＝700，
即当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为700千克.
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否以此推断甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
【答案解析】解：(1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是eq \f(150,200)＝0.75，乙机床生产的产品中一级品的频率是eq \f(120,200)＝0.6.
(2)零假设为H0：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异.根据2×2列联表，可得
χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq \f(400×150×80－50×1202,270×130×200×200)
≈10.256＞6.635＝x0.01.
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度(单位：μg/m3)，整理数据得到下表：
若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题.
(1)估计事件“该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150”的概率；
(2)完成下面的2×2列联表，
(3)根据(2)中的列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否据此推断该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？
【答案解析】解：(1)由表格可知，该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150的天数为28＋6＋5＋7＝46，则“该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150”的概率P＝eq \f(46,100)＝0.46.
(2)由表格数据可得列联表如下，
(3)零假设为H0：该市一天的空气质量与当天SO2的浓度无关.
由(2)知χ2＝eq \f(100×46×20－24×102,70×30×56×44)≈8.936＞6.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关.
机动车行经人行横道时，应当减速慢行：遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.如表是某市一主干路口监控设备所抓拍的1﹣5月份驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
(1)请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，并预测该路口10月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数；
(2)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，如表所示：
依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否据此判断“礼让行人”行为与驾龄有关？
【答案解析】解：(1)由表中的数据可知，eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，
eq \x\t(y)＝eq \f(120＋105＋100＋95＋80,5)＝100，所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,5,x)\\al(2,i)－5\x\t(x)2)＝eq \f(1 410－1 500,55－45)＝﹣9，
故eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)﹣eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝100﹣(﹣9)×3＝127，
所以所求的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝﹣9x＋127；
令x＝10，则eq \(y,\s\up6(^))＝﹣9×10＋127＝37.
(2)零假设为H0：“礼让行人”行为与驾龄无关，
由表中的数据可得χ2＝eq \f(70×24×14－16×162,40×30×40×30)＝eq \f(14,45)≈0.311＜2.706＝x0.1，
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即依据小概率值α＝0.1的独立性检验，不能判断“礼让行人”行为与驾龄有关.
x
2
3
4
5
6
y
3.4
4.2
5.1
5.5
6.8
男
女
合计
爱好
a
b
73
不爱好
c
25
合计
74
y1
y2
合计
x1
a
8
35
x2
11
34
45
合计
b
42
80
x
2
3
4
5
6
y
4
2.5
﹣0.5
﹣2
﹣3
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
x(次数/分钟)
20
30
40
50
60
y(℃)
25
27.5
29
32.5
36
免疫
不免疫
合计
注射疫苗
10
10
20
未注射疫苗
6
34
40
合计
16
44
60
α
0.10
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
a
75
81
89
α
0.05
0.025
0.010
0.001
xα
3.841
5.024
6.635
10.828
集中培训
分散培训
合计
一次考过
45
30
75
一次未考过
10
20
30
合计
55
50
105
x
1
2
3
4
y
32
48
72
88
年份
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
年份代号x
1
2
3
4
5
经济收入y(单位：百万元)
5
9
14
17
20
x(千克)
2
4
5
6
8
y(千克)
300
400
400
400
500
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
SO2的浓度
空气质量等级
[0，50]
(50，150]
(150，475]
1(优)
28
6
2
2(良)
5
7
8
3(轻度污染)
3
8
9
4(中度污染)
1
12
11
SO2的浓度
空气质量
[0，150]
(150，475]
合计
空气质量好
空气质量不好
合计
SO2的浓度
空气质量
[0，150]
(150，475]
合计
空气质量好
46
10
56
空气质量不好
24
20
44
合计
70
30
100
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
120
105
100
95
80
不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过1年
24
16
驾龄1年以上
16
14