新高考数学考前考点冲刺精练卷55《用样本估计总体》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据( )
A.众数为2 B.平均数为2.5 C.方差为1.6 D.标准差为4
【答案解析】答案为：C
解析：由题中数据可得，众数为2和3，故A错误；
平均数为eq \x\t(x)＝eq \f(5＋5＋…＋2＋1,10)＝3，故B错误；
方差s2＝eq \f(5－32＋5－32＋…＋2－32＋1－32,10)＝1.6，标准差为eq \r(1.6)≠4，故C正确，D错误.
某机构调査了10种食品的卡路里含量，结果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是( )
A.138，160.5 B.138，146 C.138，175 D.135，160.5
【答案解析】答案为：A
解析：将10个数按从小到大排列，因为10×25%＝2.5，所以第25百分位数为第3项138；中位数为eq \f(146＋175,2)＝160.5.
若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，方差为s2，则4x1﹣3，4x2﹣3，…，4xn﹣3的平均数和标准差分别为( )
A.eq \x\t(x)，s B.4eq \x\t(x)﹣3，s C.4eq \x\t(x)﹣3，4s D.4eq \x\t(x)﹣3，eq \r(16s2－24s＋9)
【答案解析】答案为：C
解析：因为eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)，s2＝eq \f(1,n)[(x1﹣eq \x\t(x))2＋(x2﹣eq \x\t(x))2＋…＋(xn﹣eq \x\t(x))2]，
所以4x1﹣3，4x2﹣3，…，4xn﹣3的平均数为
eq \x\t(x′)＝eq \f(1,n)[(4x1﹣3)＋(4x2﹣3)＋…＋(4xn﹣3)]＝eq \f(1,n)[4(x1＋x2＋…＋xn)﹣3n]＝4eq \x\t(x)﹣3，
标准差为eq \r(\f(1,n)[4x1－3－4\x\t(x)＋32＋4x2－3－4\x\t(x)＋32＋…＋4xn－3－4\x\t(x)＋32])
＝4eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2])＝4eq \r(s2)＝4s.
某大学共有12 000名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取1 000名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)( )
A.中位数为6 B.众数为10
C.平均数为6.88 D.该校读书不低于8本的人数约为3 600
【答案解析】答案为：C
解析：由图知，中位数x在[4，8)内，所以0.06×4＋0.1×(x﹣4)＝0.5，解得x＝6.6，A错误；由图知，众数在[4，8)内，故众数为6，B错误；平均数为4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，C正确；由图知，该校读书不低于8本的频率之和为1﹣0.16×4＝0.36，所以该校读书不低于8本的人数约为0.36×12 000＝4 320，D错误.
已知一组数据1，2，a，b，5，8的平均数和中位数均为4，其中a，b∈N*，在去掉其中的一个最大数后，该组数据一定不变的是( )
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.标准差
【答案解析】答案为：B
解析：由题意知，eq \f(16＋a＋b,6)＝4，可得a＋b＝8，又中位数为4，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝5，))当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝5，))时，
众数为5，标准差为eq \f(4\r(3),3)；当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝4))时，众数为4，标准差为eq \r(5).
∴去掉其中的一个最大数后，数据为1，2，a，b，5，
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝5，))时，平均数为eq \f(16,5)，众数为5，中位数为3，标准差为eq \f(8,5)；
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝4))时，平均数为eq \f(16,5)，众数为4，中位数为4，标准差为eq \f(3\r(6),5).
综上，数据变化前后一定不变的是众数.
某同学掷骰子5次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为2.4的统计结果，则下列点数中一定不出现的是( )
A.1 B.2 C.5 D.6
【答案解析】答案为：D
解析：因为eq \f(6－22,5)＝3.2，根据方差的计算公式知，方差大于2.4，因此不能出现点数6，
因为eq \f(5－22,5)＝1.8＜2.4，eq \f(2－22,5)＝0＜2.4，eq \f(1－22,5)＝0.2＜2.4，则其余的点数1，2，5都有可能出现.
小华同学每天晚上睡觉前要求自己背诵15个英文单词，若超出记为“＋”，不足记为“﹣”，则上周一至周五，他的完成情况分别为﹣2，﹣1，x，＋4，y，已知这五个数据的平均数是0，方差是5.2，则上周一至周五，小华背诵的单词数量的众数和中位数分别是( )
A.13，14 B.﹣2，﹣1 C.13，13 D.﹣2，﹣2
【答案解析】答案为：A
解析：因为﹣2，﹣1，x，＋4，y这五个数据的平均数是0，方差是5.2，所以有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－2－1＋x＋4＋y,5)＝0，,\f(－2－02＋－1－02＋x－02＋4－02＋y－02,5)＝5.2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－2，))不管取哪一组解，这5天的单词量均是以下几个数，13，14，13，19，16，所以众数和中位数分别是13，14.
某高校分配给某中学一个保送名额，该中学进行校内举荐评选，评选条件除了要求该生获得该校“三好学生”称号，还要求学生在近期连续3次大型考试中，每次考试的名次都在全校前5名(每次考试无并列名次).现有甲、乙、丙、丁四位同学都获得了“三好学生”称号，四位同学在近期连续3次大型考试名次的数据分别为
甲同学：平均数为3，众数为2；乙同学：中位数为3，众数为3；
丙同学：众数为3，方差小于3；丁同学：平均数为3，方差小于3.
则一定符合推荐要求的同学有( )
A.甲和乙 B.乙和丁 C.丙和丁 D.甲和丁
【答案解析】答案为：D
解析：对于甲同学，平均数为3，众数为2，则3次考试的成绩的名次为2，2，5，满足要求；
对于乙同学，中位数为3，众数为3，可举反例：3，3，6，不满足要求；对于丙同学，众数为3，方差小于3，可举特例：3，3，6，则平均数为4，方差s2＝eq \f(1,3)×[2×(3﹣4)2＋(6﹣4)2]＝2＜3，不满足要求；对于丁同学，平均数为3，方差小于3，设丁同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，若x1，x2，x3中至少有一个大于等于6，则方差s2＝eq \f(1,3)[(x1﹣3)2＋(x2﹣3)2＋(x3﹣3)2]＞3，与已知条件矛盾，所以x1，x2，x3均不大于5，满足要求.
二、多选题
(多选)某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40，100]内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示.观察图形，则下列说法正确的是( )
A.频率分布直方图中第三组的频数为10
B.根据频率分布直方图估计样本的众数为75分
C.根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
D.根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
【答案解析】答案为：ABC
解析：分数在[60，70)内的频率为1﹣10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三组的频数为100×0.10＝10，故A正确；
因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；
因为(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35＜0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.030)×10＝0.65＞0.5，所以中位数位于[70，80)内，设中位数为x，则0.35＋0.03(x﹣70)＝0.5，解得x＝75，所以中位数的估计值为75分，故C正确；
样本平均数的估计值为45×(10×0.005)＋55×(10×0.020)＋65×(10×0.010)＋75×(10× 0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73(分)，故D错误.
(多选)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是( )
A.样本x1，x2，…，xn的标准差
B.样本x1，x2，…，xn的中位数
C.样本x1，x2，…，xn的极差
D.样本x1，x2，…，xn的平均数
【答案解析】答案为：AC
解析：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势.
(多选)若甲组样本数据x1，x2，…，xn(数据各不相同)的平均数为2，方差为4，乙组样本数据3x1＋a，3x2＋a，…，3xn＋a的平均数为4，则下列说法正确的是( )
A.a的值为﹣2
B.乙组样本数据的方差为36
C.两组样本数据的样本中位数一定相同
D.两组样本数据的样本极差不同
【答案解析】答案为：ABD
解析：由题意可知，3×2＋a＝4，故a＝﹣2，故A正确；
乙组样本数据方差为9×4＝36，故B正确；
设甲组样本数据的中位数为xi，则乙组样本数据的中位数为3xi﹣2，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误；
甲组数据的极差为xmax﹣xmin，则乙组数据的极差为(3xmax﹣2)﹣(3xmin﹣2)＝3(xmax﹣xmin)，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确.
(多选)甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是( )
A.68 B.65 C.296 D.306
【答案解析】答案为：AC
解析：由题意可知eq \x\t(x)甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为eq \f(1,1＋4)＝eq \f(1,5)，eq \x\t(x)乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为eq \f(4,1＋4)＝eq \f(4,5)，则甲、乙两队全部队员的平均体重为eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)×60＋eq \f(4,5)×70＝68，甲、乙两队全部队员的体重方差为s2＝eq \f(1,5)×[200＋(60﹣68)2]＋eq \f(4,5)×[300＋(70﹣68)2]＝296.
三、填空题
高考某题的第(1)问的得分情况如下：
其中得分的众数是________.
【答案解析】答案为：0.
解析：众数是指一组数据中出现次数最多的数据，根据所给表格知，百分率最高的是0.
已知数据x1，x2，…，x9的方差为5，则数据3x1＋1，3x2＋1，…，3x9＋1的方差为________.
【答案解析】答案为：45
解析：原数据的方差为5，则线性变换后的数据的方差为32×5＝45.
已知一组数据a，b，3，5的中位数为7，平均数为8，则ab＝________.
【答案解析】答案为：135.
解析：因为一组数据a，b，3，5的平均数为8，所以eq \f(1,4)(a＋b＋3＋5)＝8，解得a＋b＝24，若a＝b，则a＝b＝12，此时4个数为3，5，12，12，显然中位数不是7，不妨设a＜b，若a≤3，则b≥21，此时4个数排列为a，3，5，b，中位数为4，不符合题意，若3＜a≤5，则19≤b＜21，此时4个数排列为3，a，5，b，显然中位数不是7，若a＞5，则4个数排列为3，5，a，b，则中位数为eq \f(5＋a,2)＝7，解得a＝9，则b＝15，所以ab＝9×15＝135.
四、解答题
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
(1)根据上表补全如图所示的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
【答案解析】解：(1)补全后的频率分布直方图如图所示.
(2)质量指标值的样本平均数为eq \x\t(x)＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为s2＝(﹣20)2×0.06＋(﹣10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.
某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛，为此某班开展了10次模拟测试，以此选拔选手代表班级参赛，下表为甲、乙两名学生的历次模拟测试成绩.
甲、乙两名学生测试成绩的平均数分别记作eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，方差分别记作seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2).
(1)求eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)；
(2)以这10次模拟测试成绩及(1)中的结果为参考，请你从甲、乙两名学生中选出一人代表班级参加比赛，并说明你作出选择的理由.
【答案解析】解：(1)eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)(98＋94＋97＋97＋95＋93＋93＋95＋93＋95)＝95，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)(92＋94＋93＋94＋95＋94＋96＋97＋97＋98)＝95，
seq \\al(2,1)＝eq \f(1,10)[32＋(﹣1)2＋22＋22＋0＋(﹣2)2＋(﹣2)2＋0＋(﹣2)2＋0]＝3，
seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)[(﹣3)2＋(﹣1)2＋(﹣2)2＋(﹣1)2＋0＋(﹣1)2＋12＋22＋22＋32]＝3.4.
(2)答案一：
由(1)可知，eq \x\t(x)＝eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)＜seq \\al(2,2)，甲、乙两人平均分相同，但甲发挥更稳定，所以可以派甲同学代表班级参赛.
答案二：
由(1)可知，eq \x\t(x)＝eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)＜seq \\al(2,2)，甲、乙两人平均分相同，两人成绩的方差差距不大，但从10次测试成绩的增减趋势可以发现，甲的成绩总体呈下降趋势，乙的成绩总体呈上升趋势，说明乙的状态越来越好，所以可以派乙同学代表班级参赛.
自中国进入工业化进程以来，个人的文化水平往往影响或在某种程度上决定了个人的薪酬高低，文化水平较高的人往往收入较高.将个人的文化水平用数字表示，记“没有接受过系统学习或自学的成年人”为最低分25分，“顶级尖端人才”为最高分95分.为了分析A市居民的受教育程度，从A市居民中随机抽取1 000人的文化水平数据X，将样本分成小学[25，35)，初中[35，45)，高中[45，55)，专科[55，65)，本科[65，75)，硕士[75，85)，博士[85，95]七组，整理后得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求样本数据的众数和中位数(保留一位小数)；
(2)请估计该市居民的平均文化水平.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
【答案解析】解：(1)样本数据的众数为eq \f(65＋75,2)＝70.0.
X∈[25，65)的频率为0.05＋0.05＋0.15＋0.20＝0.45＜0.50，
X∈[25，75)的频率为0.05＋0.05＋0.15＋0.20＋0.30＝0.75＞0.50.
所以中位数在区间[65，75)上，中位数为65＋10×eq \f(0.50－0.45,0.30)＝65＋eq \f(5,3)≈66.7.
(2)平均文化水平eq \x\t(X)＝30×0.05＋40×0.05＋50×0.15＋60×0.20＋70×0.30＋80×0.20＋90×0.05＝64.5.
某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如图.
(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求(在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？
【答案解析】解：(1)由题图可知，区间[80，90)的频率最大，所以众数为85，
中位数设为x，则0.025＋0.1＋(x﹣80)×0.04＝0.5，可得x＝89.375.
平均数为eq \x\t(x)＝(65×0.002 5＋75×0.01＋85×0.04＋95×0.035＋105×0.01＋115×0.002 5) ×10＝89.75.
(2)日销售量[60，100)的频率为0.875＜0.9，日销售量[60，110)的频率为0.975＞0.9，
故所求的量位于[100，110).由0.9﹣0.025﹣0.1﹣0.4﹣0.35＝0.025，
得100＋eq \f(0.025,0.01)＝102.5，故每天应该进102.5千克苹果.
得分(分)
0
1
2
3
4
百分率(%)
37.0
8.6
6.0
28.2
20.2
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
98
94
97
97
95
93
93
95
93
95
乙
92
94
93
94
95
94
96
97
97
98