新高考数学考前考点冲刺精练卷44《圆的方程》（2份，原卷版+教师版）

这是一份新高考数学考前考点冲刺精练卷44《圆的方程》（2份，原卷版+教师版），文件包含新高考数学考前考点冲刺精练卷44《圆的方程》教师版doc、新高考数学考前考点冲刺精练卷44《圆的方程》教师版pdf、新高考数学考前考点冲刺精练卷44《圆的方程》原卷版doc、新高考数学考前考点冲刺精练卷44《圆的方程》原卷版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。

一、选择题
圆x2＋y2＋4x﹣6y﹣3＝0的圆心坐标和半径分别为( )
A.(4，﹣6)，16 B.(2，﹣3)，4 C.(﹣2,3)，4 D.(2，﹣3)，16
【答案解析】答案为：C
解析：将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y﹣3)2＝16，则圆心坐标为(﹣2,3)，半径为4.
若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A.(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝1 B.(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1
C.(x＋2)2＋(y﹣1)2＝1 D.(x﹣2)2＋(y＋1)2＝1
【答案解析】答案为：B
解析：设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)，由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝eq \f(|4a－3b|,5)＝r＝1，化简得|4a﹣3b|＝5，①
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1(舍去)，
把b＝1代入①得4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣eq \f(1,2)(舍去)，
所以圆心坐标为(2,1)，则圆的标准方程为(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1.
已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A.x2＋y2﹣2x﹣3＝0 B.x2＋y2＋4x＝0
C.x2＋y2＋2x﹣3＝0 D.x2＋y2﹣4x＝0
【答案解析】答案为：D
解析：设圆心为(a，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝eq \f(|3a＋4|,\r(32＋42))＝eq \f(3a＋4,5)＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C的方程为(x﹣2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2﹣4x＝0，故选D.
点P(4，﹣2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x﹣2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x﹣2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x＋4)2＋(y﹣2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y﹣1)2＝1
【答案解析】答案为：A
解析：设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4＋x0,2)，,y＝\f(－2＋y0,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2.))因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，
即(2x﹣4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x﹣2)2＋(y＋1)2＝1.
点A为圆(x﹣1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是( )
A.(x﹣1)2＋y2＝4 B.(x﹣1)2＋y2＝2 C.y2＝2x D.y2＝﹣2x
【答案解析】答案为：B
解析：∵|PA|＝1，∴点P和圆心的距离恒为eq \r(2)，又圆心坐标为(1,0)，设P(x，y)，∴由两点间的距离公式，得(x﹣1)2＋y2＝2.
圆(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A.(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y﹣2)2＝1
C.(x＋2)2＋(y﹣1)2＝1 D.(x﹣1)2＋(y＋2)2＝1
【答案解析】答案为：A
解析：已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，所以圆(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1.
自圆C：(x﹣3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A.8x﹣6y﹣21＝0 B.8x＋6y﹣21＝0
C.6x＋8y﹣21＝0 D.6x﹣8y﹣21＝0
【答案解析】答案为：D
解析：由题意得，圆心C的坐标为(3，﹣4)，半径r＝2，连接PC，CQ(图略)，因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x﹣3)2＋(y＋4)2，即6x﹣8y﹣21＝0，所以点P的轨迹方程为6x﹣8y﹣21＝0.
当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )
A.(x＋3)2＋y2＝1 B.(x﹣3)2＋y2＝1
C.(2x﹣3)2＋4y2＝1 D.(2x＋3)2＋4y2＝1
【答案解析】答案为：C
解析：设M(x，y)，P(x0，y0)，因为PQ的中点为M，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))又因为P在圆x2＋y2＝1上，
所以(2x﹣3)2＋4y2＝1，所以M的轨迹方程即为(2x﹣3)2＋4y2＝1.
已知圆C：(x﹣3)2＋(y﹣4)2＝1和两点A(﹣m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案解析】答案为：B
解析：∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，∴|OC|﹣r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，又C(3,4)，r＝1，∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6.
若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，A(﹣1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A.2 B.2eq \r(2) C.4eq \r(2) D.4
【答案解析】答案为：B
解析：由已知得线段AB为圆的直径.所以|PA|2＋|PB|2＝4，由基本不等式得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PA|＋|PB|,2)))2≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝2，所以|PA|＋|PB|≤2eq \r(2)，当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(2)时，等号成立.
二、多选题
(多选)设有一组圆Ck：(x﹣k)2＋(y﹣k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
【答案解析】答案为：ABD
解析：圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；
令(3﹣k)2＋(0﹣k)2＝4，化简得2k2﹣6k＋5＝0，∵Δ＝36﹣40＝﹣4<0，∴2k2﹣6k＋5＝0无实数根，∴B正确；
由(2﹣k)2＋(2﹣k)2＝4，化简得k2﹣4k＋2＝0，∵Δ＝16﹣8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
(多选)已知圆C过点M(1，﹣2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )
A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B.满足条件的圆C有且只有一个
C.点(2，﹣1)在满足条件的圆C上
D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4eq \r(2)
【答案解析】答案为：ACD
解析：因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，﹣2)，所以设圆心坐标为(a，﹣a)(a>0)，故圆心在直线y＝﹣x上，A正确；圆C的方程为(x﹣a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2﹣6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，﹣1)或(5，﹣5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x﹣1)2＋(y＋1)2＝1，(x﹣5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，﹣1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；它们的圆心距为eq \r(5－12＋－5＋12)＝4eq \r(2)，D正确.
三、填空题
已知圆的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A(2，﹣3)，B(﹣2，﹣5)，则圆的一般方程为________________.
【答案解析】答案为：x2＋y2＋2x＋4y﹣5＝0.
解析：方法一 设所求圆的标准方程为(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y﹣5＝0.
方法二 线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))得交点坐标O(﹣1，﹣2)，又点O到点A的距离d＝eq \r(10)，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y﹣5＝0.
已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(﹣1,1)，B(1,3)，若M(m，eq \r(6))在圆C内，则m的取值范围为________.
【答案解析】答案为：(0,4)
解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a﹣1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝eq \r(2＋12＋12)＝eq \r(10).故圆C的方程为(x﹣2)2＋y2＝10.由题意知(m﹣2)2＋(eq \r(6))2<10，解得0 已知长为2a(a＞0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为________.
【答案解析】答案为：x2＋y2＝a2
解析：如图，不论直线怎么移动，线段AB的中点P(x，y)与原点O的连线始终为Rt△OAB斜边上的中线，即|OP|＝a，即x2＋y2＝a2.故所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
设点P(x，y)是圆x2＋(y﹣3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(﹣2,0).则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________.
【答案解析】答案为：12
解析：由题意，得eq \(PA,\s\up6(→))＝(2﹣x，﹣y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(﹣2﹣x，﹣y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2﹣4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y﹣3)2＝1，故x2＝﹣(y﹣3)2＋1，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝﹣(y﹣3)2＋1＋y2﹣4＝6y﹣12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4﹣12＝12.
已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2﹣4x﹣2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
【答案解析】答案为：2eq \r(5)
解析：因为圆C：x2＋y2﹣4x﹣2y＝0，故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝eq \r(5)的圆.设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(﹣4，﹣2).连接A′C交圆C于Q(图略)，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|﹣r＝2eq \r(5).
已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2﹣4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是______.
【答案解析】答案为：eq \r(2) [-16].
解析：圆的标准方程为(x﹣2)2＋y2＝2，圆心为C(2,0)，半径为r＝eq \r(2)，
若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为d＝|CP|＝eq \f(|6＋m|,5).所以eq \f(r,d)＝eq \f(\r(2),\f(|6＋m|,5))≥eq \f(\r(2),2)，解得﹣16≤m≤4.
四、解答题
已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(﹣1,0)，B(3,0).求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
【答案解析】解：(1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝﹣1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝﹣1，
化简得x2＋y2﹣2x﹣3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2﹣2x﹣3＝0(y≠0).
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x﹣1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，
由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，
所以x0＝2x﹣3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x﹣1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x﹣3，y0＝2y代入得(2x﹣4)2＋(2y)2＝4，
即(x﹣2)2＋y2＝1(y≠0).
因此动点M的轨迹方程为(x﹣2)2＋y2＝1(y≠0).
已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
【答案解析】解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x﹣2,2y).
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x﹣2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x﹣1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y).
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2﹣x﹣y﹣1＝0.
已知圆心为C的圆经过点A(﹣1,1)和B(﹣2，﹣2)，且圆心在直线l：x＋y﹣1＝0上.
(1)求圆心为C的圆的标准方程；
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x﹣y＋5＝0上，求|PQ|的最小值.
【答案解析】解：(1)设圆的标准方程为(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2(r>0)，
∵圆经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))和Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－2))，且圆心在直线l：x＋y﹣1＝0上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1－a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－b))2＝r2，,－2－a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2－b))2＝r2，,a＋b－1＝0，))解得a＝3，b＝﹣2，r＝5，
∴圆的标准方程为(x﹣3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)∵圆心C到直线x﹣y＋5＝0的距离为d＝eq \f(|3＋2＋5|,\r(2))＝5eq \r(2)>5，
∴直线与圆C相离，∴|PQ|的最小值为d﹣r＝5eq \r(2)﹣5.
已知点A(﹣3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值.
【答案解析】解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则eq \r(x＋32＋y2)＝2eq \r(x－32＋y2)，
化简可得(x﹣5)2＋y2＝16，此方程即为所求.
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示.
由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝eq \r(|CQ|2－|CM|2)＝eq \r(|CQ|2－16)，
当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQ⊥l1，|CQ|＝eq \f(|5＋3|,\r(2))＝4eq \r(2)，
则|QM|的最小值为eq \r(32－16)＝4.