新高考数学考前考点冲刺精练卷03《等式性质与不等式性质》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
若a＜0，b＜0，则p＝eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为( )
A.p＜q B.p≤q C.p＞q D.p≥q
【答案解析】答案为：B
解析：p﹣q＝eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)﹣a﹣b＝eq \f(b2－a2,a)＋eq \f(a2－b2,b)＝(b2﹣a2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－\f(1,b)))
＝eq \f(b2－a2b－a,ab)＝eq \f(b－a2b＋a,ab)，因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0.
若a＝b，则p﹣q＝0，故p＝q；若a≠b，则p﹣q＜0，故p＜q.综上，p≤q.
已知0＜a＜eq \f(1,b)，且M＝eq \f(1,1＋a)＋eq \f(1,1＋b)，N＝eq \f(a,1＋a)＋eq \f(b,1＋b)，则M，N的大小关系是( )
A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.不能确定
【答案解析】答案为：A
解析：∵0＜a＜eq \f(1,b)，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1﹣ab＞0.
∴M﹣N＝eq \f(1－a,1＋a)＋eq \f(1－b,1＋b)＝eq \f(21－ab,1＋a1＋b)＞0，∴M＞N.
下列命题为真命题的是( )
A.若a＞b，则ac2＞bc2 B.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
C.若c＞a＞b＞0，则eq \f(a,c－a)＜eq \f(b,c－b) D.若a＞b＞c＞0，则eq \f(a,b)＞eq \f(a＋c,b＋c)
【答案解析】答案为：D
解析：对于A选项，当c＝0时，显然不成立，故A选项为假命题；
对于B选项，当a＝﹣3，b＝﹣2时，满足a＜b＜0，但不满足a2＜ab＜b2，故B选项为假命题；
对于C选项，当c＝3，a＝2，b＝1时，eq \f(a,c－a)＝eq \f(2,3－2)＞eq \f(b,c－b)＝eq \f(1,2)，故C选项为假命题；
对于D选项，由于a＞b＞c＞0，所以eq \f(a,b)﹣eq \f(a＋c,b＋c)＝eq \f(ab＋c－ba＋c,bb＋c)＝eq \f(ac－bc,bb＋c)＝eq \f(a－bc,bb＋c)＞0，即eq \f(a,b)＞eq \f(a＋c,b＋c)，故D选项为真命题.
若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式恒成立的是( )
A.eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) B.a2＞b2 C.a|c|＞b|c| D.eq \f(a,c2＋1)＞eq \f(b,c2＋1)
【答案解析】答案为：D
解析：对于A，若a＞0＞b，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，故A错误；
对于B，取a＝1，b＝﹣2，则a2＜b2，故B错误；
对于C，若c＝0，a|c|＝b|c|，故C错误；
对于D，因为c2＋1≥1，所以eq \f(1,c2＋1)＞0，又a＞b，所以eq \f(a,c2＋1)＞eq \f(b,c2＋1)，故D正确.
已知a，b∈R，满足ab＜0，a＋b＞0，a＞b，则( )
A.eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) B.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＞0 C.a2＞b2 D.a＜|b|
【答案解析】答案为：C
解析：因为ab＜0，a＞b，则a＞0，b＜0，eq \f(1,a)＞0，eq \f(1,b)＜0，A不正确；
eq \f(b,a)＜0，eq \f(a,b)＜0，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＜0，B不正确；
又a＋b＞0，即a＞﹣b＞0，则a2＞(﹣b)2，a2＞b2，C正确；
由a＞﹣b＞0得a＞|b|，D不正确.
已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则eq \f(c,a)的取值范围是( )
A.﹣3＜eq \f(c,a)＜﹣1 B.﹣1＜eq \f(c,a)＜﹣eq \f(1,3)
C.﹣2＜eq \f(c,a)＜﹣1 D.﹣1＜eq \f(c,a)＜﹣eq \f(1,2)
【答案解析】答案为：A
解析：因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝﹣2a﹣c，
因为a＞b＞c，所以﹣2a﹣c＜a，即3a＞﹣c，解得eq \f(c,a)＞﹣3，
将b＝﹣2a﹣c代入b＞c中，得﹣2a﹣c＞c，
即a＜﹣c，得eq \f(c,a)＜﹣1，所以﹣3＜eq \f(c,a)＜﹣1.
已知a＞0，b＞0，M＝eq \r(a＋b)，N＝eq \r(a)＋eq \r(b)，则M与N的大小关系为( )
A.M＞N B.M＜N C.M≤N D.M，N大小关系不确定
【答案解析】答案为：B
解析：M2﹣N2＝(a＋b)﹣(a＋b＋2eq \r(ab))＝﹣2eq \r(ab)＜0，∴M＜N.
已知非零实数a，b满足a＜b，则下列命题成立的是( )
A.a2＜b2 B.ab2＜a2b C.eq \f(1,ab2)＜eq \f(1,a2b) D.eq \f(b,a)＜eq \f(a,b)
【答案解析】答案为：C
解析：若a＜b＜0，则a2＞b2，故A不成立；若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab>0，,a若a＝1，b＝2，则eq \f(b,a)＝2，eq \f(a,b)＝eq \f(1,2)，eq \f(b,a)＞eq \f(a,b)，故D不成立，由不等式的性质知，C正确.
已知﹣3＜a＜﹣2，3＜b＜4，则eq \f(a2,b)的取值范围为( )
A.(1，3) B.(eq \f(4,3)，eq \f(9,4)) C.(eq \f(2,3)，eq \f(3,4)) D.(eq \f(1,2)，1)
【答案解析】答案为：A
解析：因为﹣3＜a＜﹣2，所以a2∈(4，9)，而3＜b＜4，故eq \f(a2,b)的取值范围为(1，3).
若a＞1，m＝lga(a2＋1)，n＝lga(a＋1)，p＝lga(2a)，则m，n，p的大小关系是( )
A.n＞m＞p B.m＞p＞n C.m＞n＞p D.p＞m＞n
【答案解析】答案为：B
解析：由a＞1知，a2＋1﹣2a＝(a﹣1)2＞0，
即a2＋1＞2a，而2a﹣(a＋1)＝a﹣1＞0，即2a＞a＋1，
∴a2＋1＞2a＞a＋1，而y＝lgax在定义域上单调递增，∴m＞p＞n.
若(eq \f(1,3))a＜(eq \f(1,3))b＜1，则下列各式中一定成立的是( )
A.ln(a﹣b)＞0 B.2b﹣a＞1 C.﹣eq \f(1,a)＞﹣eq \f(1,b) D.lgca＞lgcb(c＞0且c≠1)
【答案解析】答案为：C
解析：指数函数y＝(eq \f(1,3))x在(﹣∞，＋∞)上单调递减，
由(eq \f(1,3))a＜(eq \f(1,3))b＜1可知，a＞b＞0.所以eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，则﹣eq \f(1,a)＞﹣eq \f(1,b)，故C正确；
a﹣b＞0，但不一定有a﹣b＞1，则不一定有ln(a﹣b)＞0，故A错误；
函数y＝2x在(﹣∞，＋∞)上单调递增，b﹣a＜0.则2b﹣a＜20＝1，故B错误；
当0＜c＜1时，函数y＝lgcx在(0，＋∞)上单调递减，则lgca＜lgcb，故D错误.
已知a，b，c∈(0，3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是( )
A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.c＞b＞a D.a＞c＞b
【答案解析】答案为：C
解析：a5＝5a，即eq \f(ln a,a)＝eq \f(ln 5,5)，b4＝4b，即eq \f(ln b,b)＝eq \f(ln 4,4)，c3＝3c，即eq \f(ln c,c)＝eq \f(ln 3,3)，设f(x)＝eq \f(ln x,x)，则f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)(x＞0)，当x＞e时，f′(x)＜0，f(x)＝eq \f(ln x,x)单调递减，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)＝eq \f(ln x,x)单调递增，因为a，b，c∈(0，3)，f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，所以a，b，c∈(0，e)，因为f(5)＜f(4)＜f(3)，所以f(a)＜f(b)＜f(c)，a＜b＜c.
已知函数f(x)=e1＋x＋e1－x，则满足f(x－2)＜e2＋1的x的取值范围是( )
A.x＜3 B.0＜x＜3 C.1＜x＜e D.1＜x＜3
【答案解析】答案为：D；
解析：∵f(x)=e1＋x＋e1－x=e·ex＋eq \f(e,ex)=eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex＋\f(1,ex)))，令t=ex，可得y=eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,t)))，
内函数t=ex为增函数，而外函数y=eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,t)))在(0,1)上为减函数，
在(1，＋∞)上为增函数，
∴函数f(x)=e1＋x＋e1－x的减区间为(－∞，0)，增区间为(0，＋∞).
又f(x)=e1＋x＋e1－x为偶函数，
∴由f(x－2)＜e2＋1，得f(|x－2|)＜f(1)，
得|x－2|＜1，解得1＜x＜3，故选D.
二、多选题
(多选)设a＞b＞1＞c＞0，下列四个结论正确的是( )
A.eq \f(1,ac)＞eq \f(1,bc) B.bac＞abc C.(1﹣c)a＜(1﹣c)b D.lgb(a＋c)＞lga(b＋c)
【答案解析】答案为：CD.
解析：由题意知，a＞b＞1＞c＞0，所以对于A，ac＞bc＞0，故eq \f(1,ac)＜eq \f(1,bc)，所以A错误；
对于B，取a＝3，b＝2，c＝eq \f(1,2)，则bac＝2eq \r(3)，abc＝3eq \r(2)，所以bac＜abc，故B错误；
对于C，因为0＜1﹣c＜1，且a＞b，所以(1﹣c)a＜(1﹣c)b，故C正确；
对于D，a＋c＞b＋c＞1，所以lgb(a＋c)＞lgb(b＋c)＞lga(b＋c)，故D正确.
(多选)设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的有( )
A.c2＜cd B.a﹣c＜b﹣d C.ac＜bd D.eq \f(c,a)﹣eq \f(d,b)＞0
【答案解析】答案为：AD
解析：因为a＞b＞0＞c＞d，所以a＞b＞0，0＞c＞d，
对于A，因为0＞c＞d，由不等式的性质可得c2＜cd，故选项A正确；
对于B，取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，则a﹣c＝3，b﹣d＝3，
所以a﹣c＝b﹣d，故选项B错误；
对于C，取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，则ac＝﹣2，bd＝﹣2，
所以ac＝bd，故选项C错误；
对于D，因为a＞b＞0，d＜c＜0，则ad＜bc，所以eq \f(c,a)＞eq \f(d,b)，故eq \f(c,a)﹣eq \f(d,b)＞0，故选项D正确.
(多选)若0＜a＜1，b＞c＞1，则( )
A.(eq \f(b,c))a＞1 B.eq \f(c－a,b－a)＞eq \f(c,b) C.ca﹣1＜ba﹣1 D.lgca＜lgba
【答案解析】答案为：AD
解析：对于A，∵b＞c＞1，∴eq \f(b,c)＞1.∵0＜a＜1，则(eq \f(b,c))a＞(eq \f(b,c))0＝1，故选项A正确；
对于B，若eq \f(c－a,b－a)＞eq \f(c,b)，则bc﹣ab＞bc﹣ac，即a(c﹣b)＞0，这与0＜a＜1，b＞c＞1矛盾，故选项B错误；
对于C，∵0＜a＜1，∴a﹣1＜0.∵b＞c＞1，∴ca﹣1＞ba﹣1，故选项C错误；
对于D，∵0＜a＜1，b＞c＞1，∴lgca＜lgba，故选项D正确.
(多选)设实数a，b，c满足b＋c＝6﹣4a＋3a2，c﹣b＝4﹣4a＋a2，则下列不等式成立的是( )
A.c＜b B.b≥1 C.b≤a D.a＜c
【答案解析】答案为：BD
解析：∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋c＝6－4a＋3a2，,c－b＝4－4a＋a2，))两式相减得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，∴b≥1.
又b﹣a＝a2＋1﹣a＝(a﹣eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)＞0，∴b＞a.
而c﹣b＝4﹣4a＋a2＝(a﹣2)2≥0，∴c≥b，从而c≥b＞a.
三、填空题
已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z﹣π，则M________N.(填“＞”“＜”或“＝”)
【答案解析】答案为：＞
解析：M﹣N＝x2＋y2＋z2﹣2x﹣2y﹣2z＋π＝(x﹣1)2＋(y﹣1)2＋(z﹣1)2＋π﹣3≥π﹣3＞0，
故M＞N.
已知﹣eq \f(1,2)≤2x＋y≤eq \f(1,2)，﹣eq \f(1,2)≤3x＋y≤eq \f(1,2)，则9x＋y的取值范围是________.
【答案解析】答案为：[﹣eq \f(13,2),eq \f(13,2)].
解析：设9x＋y＝a(2x＋y)＋b(3x＋y)，则9x＋y＝(2a＋3b)x＋(a＋b)y，
于是比较两边系数得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋3b＝9，,a＋b＝1，))得a＝﹣6，b＝7.
由已知不等式得﹣3≤﹣6(2x＋y)≤3，﹣eq \f(7,2)≤7(3x＋y)≤eq \f(7,2)，所以﹣eq \f(13,2)≤9x＋y≤eq \f(13,2).
设a，b为正实数，现有下列命题：
①若a2﹣b2＝1，则a﹣b＜1；
②若eq \f(1,b)﹣eq \f(1,a)＝1，则a﹣b＜1；
③若|eq \r(a)﹣eq \r(b)|＝1，则|a﹣b|＜1；
④若|a3﹣b3|＝1，则|a﹣b|＜1.
其中的真命题有____________.(写出所有真命题的序号)
【答案解析】答案为：①④
解析：对于①，由条件可得a＞1，b＞0，则a＋b＞1，又a2﹣b2＝(a＋b)(a﹣b)＝1，所以a﹣b＜1，故①正确.对于②，令a＝2，b＝eq \f(2,3)，则eq \f(1,b)﹣eq \f(1,a)＝1，但a﹣b＝eq \f(4,3)＞1，故②错.对于③，令a＝4，b＝1，则|eq \r(a)﹣eq \r(b)|＝1，但|a﹣b|＝3＞1，故③错.对于④，|a3﹣b3|＝|(a﹣b)(a2＋ab＋b2)|＝1，由条件可得，a，b中至少有一个大于等于1，则a2＋ab＋b2＞1，则|a﹣b|＜1，故④正确.综上，真命题有①④.
若0＜a＜b，且a＋b＝1，则将a，b，eq \f(1,2)，2ab，a2＋b2从小到大排列为_____________.
【答案解析】答案为：a＜2ab＜eq \f(1,2)＜a2＋b2＜b
解析：方法一 令a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(2,3)，则2ab＝eq \f(4,9)，a2＋b2＝eq \f(1,9)＋eq \f(4,9)＝eq \f(5,9)，故a＜2ab＜eq \f(1,2)＜a2＋b2＜b.
方法二 ∵0＜a＜b且a＋b＝1，∴a＜eq \f(1,2)＜b＜1，∴2b＞1且2a＜1，
∴a＜2b·a＝2a(1﹣a)＝﹣2a2＋2a＝﹣2(a﹣eq \f(1,2))2＋eq \f(1,2)＜eq \f(1,2)，即a＜2ab＜eq \f(1,2).
又a2＋b2＝(a＋b)2﹣2ab＝1﹣2ab＞1﹣eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，即a2＋b2＞eq \f(1,2).∵eq \f(1,2)＜b＜1，
∴(a2＋b2)﹣b＝[(1﹣b)2＋b2]﹣b＝2b2﹣3b＋1＝(2b﹣1)(b﹣1)＜0，即a2＋b2＜b，
综上可知a＜2ab＜eq \f(1,2)＜a2＋b2＜b.
若a＝eq \f(ln 2,2)，b＝eq \f(ln 3,3)，则a____b(填“＞”或“＜”).
【答案解析】答案为：＜
解析：易知a，b都是正数，eq \f(b,a)＝eq \f(2ln 3,3ln 2)＝lg89＞1，所以b＞a.