新高考数学考前冲刺卷03（A3版，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前冲刺卷03（A3版，原卷版+解析版），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

新高考数学考前冲刺卷
数 学（三）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知命题，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．若存在复数同时满足，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在等边中，，向量在向量上的投影向量为（ ）

A． B． C． D．
7．设数列为等差数列，为数列的前项和，若，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知的内角所对边的长分别为，，，，若满足条件的有两个，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．为响应政府部门疫情防控号召．某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，下列选项正确的是（ ）
A．若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法
B．共有64种不同的安排方法
C．若甲乙两人不能去地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法
D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法
12．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，则甲班恰好分配到两个名额的概率为________．
14．设的展开式中项的系数为_________．
15．已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B，则线段的中点M的轨迹长度为_________．
16．已知等边三角形的边长为2，点，分别在边，上，且，将沿折起，则四棱锥的体积的最大值为________，此时四棱锥的外接球的表面积为________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等差数列的各项均为正数，且，，求数列的前项和．












18．（12分）已知锐角的内角所对的边分别，角．
（1）若是的平分线，交于，且，求的最小值；
（2）若的外接圆的圆心是，半径是1，求的取值范围．












19．（12分）已知平面四边形中，，，现将沿折起，使得点移至点的位置(如图)，且．
（1）求证：；
（2）若满足，，且二面角的余弦值为，求．
















20．（12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫()内的数字均含1﹣9，不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据：
(天)
1
2
3
4
5
6
7
(秒)
990
990
450
320
300
240
210
现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？
参考数据(其中)






参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．

















21．（12分）已知函数．
（1）若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；
（2）若，证明：．




















22．（12分）已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为，右顶点为，过点的直线与轴正半轴交于点，与椭圆交于点，且轴，过点的另一直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．








新高考数学考前冲刺卷
数 学（三）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，，
因此，，故选A．
2．已知命题，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由特称命题的否定可知为：，，故选C．
3．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以
，
故选A．
4．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①当，即时，∴，即，
∴，∴，
又∵，∴无解；
②当，即时，∴，
∴，∴，∴，
又∵，∴，故选B．
5．若存在复数同时满足，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可设，则有，
又因为，即，所以，
可设，，（为任意角），
则
，
当时取到最大值；当时取到最小值，
所以实数的取值范围是，故选C．
6．如图，在等边中，，向量在向量上的投影向量为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，
则，
，
，
则向量在向量上的投影向量为：
，
故选D．
7．设数列为等差数列，为数列的前项和，若，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】可将此题看成关于和的线性规划问题，
根据题意可知化简为，
求的最大值，将其转化为，求的最大值问题，
作图，由，得，平移直线，
由图可知，当直线过点时，有最大值，
∴，即的最大值为，故选D．

8．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，，
则表示曲线上的点与直线上的点之间距离的平方，
，令，得，
又，在处的切线方程为，
曲线上的点与直线上的点之间距离的最小值即为直线与之间的距离，
，故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A，（当且仅当，即时取等号），A正确；
对于B，当时，，令，在上单调递增，
，即，B错误；
对于C，当时，，则，
当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，当时，，此时，D错误，
故选BD．
10．已知的内角所对边的长分别为，，，，若满足条件的有两个，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】在中，由余弦定理，得，
即，
依题意，关于c的一元二次方程有两个不等的正根，
所以，
并且，
而，则，取或，选项B，C符合条件，
故选BC．
11．为响应政府部门疫情防控号召．某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，下列选项正确的是（ ）
A．若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法
B．共有64种不同的安排方法
C．若甲乙两人不能去地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法
D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法
【答案】AD
【解析】对于A，若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，将4人安排到这两个地方，有种选取方法，A正确；
对于B，安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，每人有3种安排方法，则有种安排方法，B错误；
对于C，根据题意，需要将4人分为3组，若甲乙在同一组，有1种分组方法，
则甲乙所在的组不能去地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有种情况，此时有种安排方法；
若甲乙不在同一组，有种分组方法，若甲乙两人不能去地，只能安排没有甲乙的1组去地，甲乙所在的两组安排到、两地，有种情况，此时有种安排方法，
则一共有种安排方法，C错误；
对于D，只需要将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入挡板，就可以将20辆救护车分为3组，依次对应，，三地即可，有种安排方法，
故选AD．
12．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】因为偶函数对于任意的满足，
所以构造函数，则，
∴为偶函数且在上单调递增，，
，，
由函数单调性可知，即，
对于AB，，故AB错误；
对于C，，，故C错误；
对于D，，即，故D正确，
故选ABC．

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，则甲班恰好分配到两个名额的概率为________．
【答案】
【解析】3个班分5个名额，每班至少一个有2种情况：
一个班分3个，其余各分1个；2个班各分2个，另一个班分一个，
则分配的总数为，
甲班恰好分配到两个名额，则余下的3个名额要分配给乙、丙两班，有2种分配方法，
所以甲班恰好分配到两个名额的概率为，故答案为．
14．设的展开式中项的系数为_________．
【答案】800
【解析】由题意，，
因为的展开式的通项公式为，
的展开式的通项公式为，
所以的展开式中的项的系数是，
故答案为800．
15．已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B，则线段的中点M的轨迹长度为_________．
【答案】
【解析】当直线的斜率不存在时，，，
当直线的斜率存在时，设，
联立，消去并整理得，
设、，则，
，
设，则，即，
所以，即，代入，得，
化简得，点也满足此方程，
所以线段的中点M的轨迹方程为，
轨迹为圆心为，半径为的圆，其长度为，
故答案为．
16．已知等边三角形的边长为2，点，分别在边，上，且，将沿折起，则四棱锥的体积的最大值为________，此时四棱锥的外接球的表面积为________．
【答案】，
【解析】（1）设，分别为，的中点，，则，
，其中．
记，，
则，
令，得，此时，
所以四棱锥的体积的最大值为．
（2）设，分别为，等腰梯形的外接圆的圆心，
则为的三等分点（靠），在直线上．
设过，分别与，等腰梯形垂直的直线交于点（四棱锥的外接球的球心），连接，，，，
由（1）知，等腰梯形中，，，，
，
则在线段的延长线上，，
设，由，得，
即，解得，
则．
所以四棱锥的外接球的表面积．
故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等差数列的各项均为正数，且，，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，；
当时，，满足，
综上所述，．
（2）设等差数列的公差为，
因为，，所以，，，
则，，
故，
，


，
故．
18．（12分）已知锐角的内角所对的边分别，角．
（1）若是的平分线，交于，且，求的最小值；
（2）若的外接圆的圆心是，半径是1，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由是的平分线，得，
又，
即，化简得，

，
当且仅当，即，时，取．
（2），，



，
锐角，，
，．
19．（12分）已知平面四边形中，，，现将沿折起，使得点移至点的位置(如图)，且．

（1）求证：；
（2）若满足，，且二面角的余弦值为，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：由题意知，，即，
∵，，，
∴，∴，即，
∵，，平面，
∴平面，
∵平面，∴．
（2）解：过点作交于，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，∴，
∵平面轴，∴平面的一个法向量为，
∵二面角的余弦值为，
∴，
化简得，解得或，
∵，∴．

20．（12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫()内的数字均含1﹣9，不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据：
(天)
1
2
3
4
5
6
7
(秒)
990
990
450
320
300
240
210
现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？
参考数据(其中)






参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．
【答案】（1）回归方程为，经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒；（2）．
【解析】（1）由题意，，
令，设关于的线性回归方程为，
则，则，
∴，
又，∴关于的回归方程为，
故时，，
∴经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒．
（2）设比赛再继续进行局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，
由题意知，最多再进行4局就有胜负．
当时，小明胜，∴；
当时，小明胜，∴；
当时，小明胜，∴，
∴小明最终赢得比赛的概率为．
21．（12分）已知函数．
（1）若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；
（2）若，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），
若在区间上为单调递增函数，则在上恒成立，
即在上恒成立．
令函数，则，
当时，，在上为单调递减函数，
，，
即的取值范围为．
（2）当时，欲证，即证明．
令，则，
设，则为增函数，
又，，
存在，使得．
，，
当时，；当时，，
在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数，
，
，则，；
，
，，，则．
22．（12分）已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为，右顶点为，过点的直线与轴正半轴交于点，与椭圆交于点，且轴，过点的另一直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）根据题意可得，解得，，，
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）知，，
因为轴，所以，
因为在轴的正半轴，所以在轴上方，
因为点在椭圆上，所以，解得，
所以，即，
因为，即，解得，
所以，所以，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，，
联立，，
所以①，②，
因为，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
即③，
由①②③，解得，
所以直线的方程为，；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，不合题意，
综上可得，直线的方程为，．