新高考数学考前考点冲刺精练卷02《常用逻辑用语》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
设a、b、c是任意非零平面向量，且相互不共线，则：
①(a·b)c＝(c·a)b；
②|a|－|b|＜|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2，
是真命题的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
【答案解析】答案为：D；
解析：①错，数量积不满足结合律；②对，由向量减法的三角形法则可知有|a|－|b|＜|a－b|；③[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0.∴③错；④对.
命题“f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)·g(x)，若f(x)，g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案解析】答案为：B
解析：由f(x)，g(x)均为奇函数可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，
如h(x)＝x2，f(x)＝eq \f(x2,x2＋1)，g(x)＝x2＋1，h(x)是偶函数，但f(x)，g(x)都不是奇函数，
故原命题的逆命题是假命题，其否命题也是假命题，只有其逆否命题是真命题.故选B.
在△ABC中，“A＞B”是“cs A＜cs B”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：C
解析：因为A，B是△ABC的内角，且A＞B，所以0＜B＜A＜π，
因为y＝cs x在(0，π)上单调递减，所以cs A＜cs B，故充分性成立；
反之，y＝cs x在(0，π)上单调递减，0＜A＜π，0＜B＜π，
若cs A＜cs B，则A＞B，故必要性成立，
所以在△ABC中，“A＞B”是“cs A＜cs B”的充要条件.
已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：B
解析：由a·c＝b·c，得到(a﹣b)·c＝0，所以(a﹣b)⊥c或a＝b，
所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件.
在空间中，设m，n是两条直线，α，β表示两个平面，如果m⊂α，α∥β，那么“m⊥n”是“n⊥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：B
解析：当m⊥n时，∵m⊂α，α∥β，则n与β可能平行，∴充分性不成立；
当n⊥β时，∵α∥β，∴n⊥α，∵m⊂α，∴m⊥n，∴必要性成立，
∴“m⊥n”是“n⊥β”的必要不充分条件.
若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：C
解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，
所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；
反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，
“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件.故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件.
已知p：x≥a，q：|x＋2a|＜3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞，﹣1] B.(﹣∞，﹣1) C.[1，＋∞) D.(1，＋∞)
【答案解析】答案为：A
解析：因为q：|x＋2a|＜3，所以q：﹣2a﹣3＜x＜﹣2a＋3，
记A＝{x|﹣2a﹣3＜x＜﹣2a＋3}，p：x≥a，记为B＝{x|x≥a}.
因为p是q的必要不充分条件，所以A⫋B，所以a≤﹣2a﹣3，解得a≤﹣1.
等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案解析】答案为：B
解析：当a1＜0，q＞1时，an＝a1qn﹣1＜0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1﹣Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞0；若a1＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在.所以甲是乙的必要条件.
已知命题p：∃x∈(0，＋∞)，ln x＋x＜0，则¬p为( )
A.∀x∈(0，＋∞)，ln x＋x＜0
B.∃x∉(0，＋∞)，ln x＋x＜0
C.∀x∈(0，＋∞)，ln x＋x≥0
D.∀x∉(0，＋∞)，ln x＋x≥0
【答案解析】答案为：C
解析：因为原命题p为存在量词命题，所以其否定¬p为∀x∈(0，＋∞)，ln x＋x≥0.
已知命题p：∀x∈R，2x2＋2x＋eq \f(1,2)＜0；命题q：∃x0∈R，sin x0－cs x0＝eq \r(2)，则下列判断正确的是( )
A.p是真命题 B.q是假命题 C.¬p是假命题 D.¬q是假命题
【答案解析】答案为：D
解析：p：2x2＋2x＋eq \f(1,2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋x＋\f(1,4)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2≥0，∴p为假命题，¬p为真命题.
q：sin x0－cs x0＝eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(π,4)))，∴x0＝eq \f(3,4)π时成立.故而q为真，而¬q为假命题.
命题“∀x＞0，xsin x＜2x﹣1”的否定是( )
A.∀x＞0，xsin x≥2x﹣1 B.∃x＞0，xsin x≥2x﹣1
C.∀x≤0，xsin x＜2x﹣1 D.∃x≤0，xsin x≥2x﹣1
【答案解析】答案为：B
解析：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x＞0，xsin x＜2x﹣1”的否定是：∃x＞0，xsin x≥2x﹣1.
若命题“∃x∈(0，＋∞)，使得ax＞x2＋4成立”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A.(4，＋∞) B.(﹣∞，4) C.[4，＋∞) D.(﹣∞，4]
【答案解析】答案为：D
解析：若命题“∃x∈(0，＋∞)，使得ax＞x2＋4成立”是假命题，
则有“∀x∈(0，＋∞)，使得ax≤x2＋4成立”是真命题.
即a≤x＋eq \f(4,x)，则a≤(x＋eq \f(4,x))min，又x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(4)＝4，当且仅当x＝2时取等号，故a≤4.
已知集合M＝[﹣1，1]，那么“a≥﹣eq \f(2,3)”是“∃x∈M，4x﹣2x＋1﹣a≤0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
【答案解析】答案为：A
解析：∵∃x∈M，4x﹣2x＋1﹣a≤0，∴a≥(4x﹣2x＋1)min，x∈[﹣1，1]，设t＝2x，则f(t)＝t2﹣2t＝(t﹣1)2﹣1，t∈[eq \f(1,2)，2]，∴f(t)min＝f(1)＝﹣1，∴a≥﹣1，∵[﹣eq \f(2,3)，+∞)[﹣1，＋∞)，∴“a≥﹣eq \f(2,3)”是“∃x∈M，4x﹣2x＋1﹣a≤0”的充分不必要条件.
已知函数f(x)在R上单调递增，若∃x0∈R，f(|x0＋1|)≤f(lg2a－|x0＋2|)，则实数a的取值范围是( )
A.[2，＋∞) B.[4，＋∞) C.[8，＋∞) D.(0，2]
【答案解析】答案为：A；
解析：∵函数f(x)在R上单调递增，∴∃x0∈R，f(|x0＋1|)≤f(lg2a－|x0＋2|)，
等价为∃x0∈R，|x0＋1|≤lg2a－|x0＋2|成立，即|x＋1|＋|x＋2|≤lg2a有解，
∵|x＋1|＋|x＋2|≥|x＋2－x－1|＝1，∴lg2a≥1，即a≥2.
在下列给出的命题中，正确命题的个数为( )
①函数f(x)＝2x3﹣3x+1的图象关于点(0，1)中心对称;
②若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1;
③若实数x，y满足x2+y2＝1，则的最大值为eq \f(\r(3),3);
④若△ABC为锐角三角形，则sin A＜cs B.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案解析】答案为：C.
解析：对于①，由f(x)+f(﹣x)＝2x3﹣3x+1﹣2x3+3x+1＝2，得函数f(x)＝2x3﹣3x+1的图象关于点(0，1)中心对称，∴①正确;对于②，“若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1”的逆否命题为“若x＝1且y＝﹣1，则x+y＝0”，该逆否命题正确，∴②正确;对于③，实数x，y满足x2+y2＝1，如图，表示过圆O上任一点(x，y)和点(﹣2，0)的连线的斜率，则的最大值为eq \f(\r(3),3)，∴③正确;
对于④，△ABC为锐角三角形，则A+B＞eq \f(π,2)，则A＞eq \f(π,2)﹣B，
又A＜eq \f(π,2)，eq \f(π,2)﹣B＞0，∴sin A＞sin(eq \f(π,2)﹣B)＝cs B，∴④错误.∴正确命题的个数是3.
二、多选题
(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且是真命题的是( )
A.∃x∈R，x2﹣x＋eq \f(1,4)＜0
B.所有正方形都是矩形
C.∃x∈R，x2＋2x＋2＝0
D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0
【答案解析】答案为：AC
解析：由题意可知，原命题需为存在量词命题且为假命题.
选项A，原命题为存在量词命题，x2﹣x＋eq \f(1,4)＝(x﹣eq \f(1,2))2≥0，
所以原命题为假命题，所以选项A满足条件；
选项B, 原命题是全称量词命题，所以选项B不满足条件；
选项C，原命题为存在量词命题，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≠0，所以原命题为假命题，所以选项C满足条件；
选项D，当x＝﹣1时，命题成立.
所以原命题为真命题，所以选项D不满足条件.
(多选)下列四个命题中是真命题的有( )
A.∀x∈R，3x＞0 B.∀x∈R，x2＋x＋1≤0
C.∀x∈R，sin x＜2x D.∃x∈R，cs x＞x2＋x＋1
【答案解析】答案为：AD
解析：∀x∈R，3x＞0恒成立，A是真命题；
∵x2＋x＋1＝(x＋eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)＞0，∴B是假命题；
由sin(﹣eq \f(3π,2))＝1＞ SKIPIF 1 < 0 错误！未找到引用源。，知C是假命题；
取x＝﹣eq \f(1,2)，cs(﹣eq \f(1,2))＞cs(﹣eq \f(π,6))＝eq \f(\r(3),2)，但x2＋x＋1＝eq \f(3,4)＜eq \f(\r(3),2)，则D是真命题.
(多选)已知a，b，c是实数，则下列结论正确的是( )
A.“a2＞b2”是“a＞b”的充分条件
B.“a2＞b2”是“a＞b”的必要条件
C.“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分条件
D.“|a|＞|b|”是“a＞b”的既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：CD
(多选)下列命题是真命题的是( )
A.∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2﹣x在R上为偶函数
B.∀x∈R，函数y＝sin x＋cs x＋eq \r(2)的值恒为正数
C.∃x∈R，2x＜x2
D.∀x∈(﹣10，＋∞)，(eq \f(1,3))x＞ SKIPIF 1 < 0
【答案解析】答案为：AC
解析：当a＝1时，y＝2x＋2﹣x为偶函数，故A为真命题；
y＝sin x＋cs x＋eq \r(2)＝eq \r(2)sin(x+eq \f(π,4))＋eq \r(2)，当sin(x+eq \f(π,4))＝﹣1时，y＝0，故B为假命题；
当x∈(2，4)时，2x＜x2，故C为真命题；
当x＝eq \f(1,3)时， SKIPIF 1 < 0 ∈(0，1)， SKIPIF 1 < 0 ＝1，∴ SKIPIF 1 < 0 ＜ SKIPIF 1 < 0 ，故D为假命题.
三、填空题
若命题p：∀x∈(0，＋∞)，eq \r(x)＞x＋1，则命题p的否定为________.
【答案解析】答案为：∃x∈(0，＋∞)，eq \r(x)≤x＋1
若命题“∃x∈R，x2﹣mx﹣m＜0”为真命题，则实数m的取值范围是________.
【答案解析】答案为：(﹣∞，﹣4)∪(0，＋∞)
解析：依题意，Δ＝m2＋4m＞0，∴m＞0或m＜﹣4.
已知命题“∃x∈R，使ax2﹣x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________.
【答案解析】答案为：a＞eq \f(1,8).
解析：因为命题“∃x∈R，使ax2﹣x＋2≤0”是假命题，
所以命题“∀x∈R，使得ax2﹣x＋2＞0”是真命题，
当a＝0时，得x＜2，故命题“∀x∈R，使得ax2﹣x＋2＞0”是假命题，不符合题意；
当a≠0时，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝1－8a<0，))解得a＞eq \f(1,8).
若不等式(x﹣a)2＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜2，则实数a的取值范围是________.
【答案解析】答案为：[1，2]
解析：由(x﹣a)2＜1得a﹣1＜x＜a＋1，
因为1＜x＜2是不等式(x﹣a)2＜1成立的充分不必要条件，
所以满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1≤1，,a＋1≥2))且等号不能同时取得，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤2，,a≥1，))解得1≤a≤2.
已知p：实数m满足3a＜m＜4a(a＞0)，q：方程eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________.
【答案解析】答案为：[eq \f(1,3)，eq \f(3,8)].
解析：由2﹣m＞m﹣1＞0，得1＜m＜eq \f(3,2)，即q：1＜m＜eq \f(3,2).
因为p是q的充分条件，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a≥1，,4a≤\f(3,2)，))解得eq \f(1,3)≤a≤eq \f(3,8).
已知命题p：“∀x∈[1，＋∞)，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2﹣a＝0”，若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围为____________________.
【答案解析】答案为：{a|a≤﹣2或a＝1}
解析：由题意可知p和q均为真命题，由命题p为真命题，得∀x∈[1，＋∞)，x2≥a恒成立，(x2)min＝1，得a≤1；由命题q为真命题，知Δ＝4a2﹣4(2﹣a)≥0成立，得a≤﹣2或a≥1，所以实数a的取值范围为{a|a≤﹣2或a＝1}.
f(x)＝﹣x2﹣6x﹣3，记max{p，q}表示p，q二者中较大的一个，函数g(x)＝max{(eq \f(1,2))x﹣2，lg2(x＋3)}，若m＜﹣2，且∀x1∈[m，﹣2]，∃x2∈[0，＋∞)，使f(x1)＝g(x2)成立，则m的最小值为________.
【答案解析】答案为：﹣5.
解析：y＝(eq \f(1,2))x﹣2为减函数，y＝lg2(x＋3)为增函数，观察尝试可知当且仅当x＝1时，
(eq \f(1,2))x﹣2＝lg2(x＋3).由题意得，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2，0≤x<1，,lg2x＋3，x≥1，))
∴在[0，＋∞)上，g(x)min＝g(1)＝2，g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)＝﹣(x＋3)2＋6≤6.
“∀x1∈[m，﹣2]，∃x2∈[0，＋∞)，使f(x1)＝g(x2)成立”等价于f(x)在[m，﹣2]上的函数值域是g(x)在[0，＋∞)上的值域的子集，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，如图所示，
令f(x)＝﹣x2﹣6x﹣3＝2，解得x＝﹣5或x＝﹣1，则m的最小值为﹣5.