新高考数学考前考点冲刺精练卷06《函数的概念及其表示》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
下列函数中，不能表示y是x的函数的是( )
【答案解析】答案为：A
解析：在B，C，D中，对于任意一个x，均存在唯一的y与x对应，而在A中，存在一个x对应着两个y，不满足函数的定义.
函数f(x)＝的定义域是( )
A.(﹣3,0) B.(﹣3,0]
C.(﹣∞，﹣3)∪(0，＋∞) D.(﹣∞，﹣3)∪(﹣3,0)
【答案解析】答案为：A.
解析：∵f(x)＝，∴要使函数f(x)有意义，需使eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3>0，,1－2x>0，))
解得﹣3＜x＜0，即函数的定义域为(﹣3,0).故选A.
函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ＋eq \r(4－x2)的定义域为( )
A.[﹣2，0)∪(0，2] B.(﹣1，0)∪(0，2]
C.[﹣2，2] D.(﹣1，2]
【答案解析】答案为：B
解析：要使函数有意义，则需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x＋1≠1，,4－x2≥0，))解得﹣1＜x≤2且x≠0，
所以x∈(﹣1，0)∪(0，2].所以函数的定义域为(﹣1，0)∪(0，2].
函数y＝lg(x2﹣4)＋eq \r(x2＋6x)的定义域是( )
A.(﹣∞，﹣2)∪[0，＋∞) B.(﹣∞，﹣6]∪(2，＋∞)
C.(﹣∞，﹣2]∪[0，＋∞) D.(﹣∞，﹣6)∪[2，＋∞)
【答案解析】答案为：B
解析：由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4>0，,x2＋6x≥0，))解得x＞2或x≤﹣6.
因此函数的定义域为(﹣∞，﹣6]∪(2，＋∞).
已知函数f(x)＝eq \f(x,\r(1－2x))，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为( )
A.(﹣∞，1) B.(﹣∞，﹣1)
C.(﹣∞，﹣1)∪(﹣1，0) D.(﹣∞，﹣1)∪(﹣1，1)
【答案解析】答案为：D
解析：令1﹣2x＞0，即2x＜1，即x＜0.∴f(x)的定义域为(﹣∞，0).
∴函数 SKIPIF 1 < 0 中，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1<0，,x＋1≠0，))解得x＜1且x≠﹣1.
故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为(﹣∞，﹣1)∪(﹣1，1).
函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－4x2))＋ln(3x﹣1)的定义域为( )
A.(eq \f(1,3)，eq \f(1,2)] B.(eq \f(1,3)，eq \f(1,2)) C.[﹣eq \f(1,2)，eq \f(1,4)) D.[﹣eq \f(1,2)，eq \f(1,2)]
【答案解析】答案为：B
解析：要使函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－4x2))＋ln(3x﹣1)有意义，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－4x2>0，,3x－1>0))⇒eq \f(1,3)＜x＜eq \f(1,2).∴函数f(x)的定义域为(eq \f(1,3)，eq \f(1,2)).
下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( )
A.y＝eq \r(x－1) B.y＝ln x C.y＝eq \f(1,3x－1) D.y＝eq \f(x＋1,x－1)
【答案解析】答案为：D.
解析：对于A，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B，定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足题意；对于C，定义域为(﹣∞，0)∪(0，＋∞)，又3x>0，且3x≠1，故3x﹣1>﹣1，且3x﹣1≠0，故y<﹣1或y>0.故值域为(﹣∞，﹣1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D，y＝eq \f(x＋1,x－1)＝1＋eq \f(2,x－1)，定义域为(﹣∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(﹣∞，1)∪(1，＋∞).
下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A.y＝x B.y＝lg x C.y＝2x D.y＝eq \f(1,\r(x))
【答案解析】答案为：D；
解析：函数y＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lg x的值域为R，排除B.故选D.
若函数f(1﹣2x)＝eq \f(1－x2,x2)(x≠0)，则f(eq \f(1,2))＝( )
A.1 B.3 C.15 D.30
【答案解析】答案为：C.
解析：由于f(1﹣2x)＝eq \f(1－x2,x2)(x≠0)，则当1﹣2x＝eq \f(1,2)时，x＝eq \f(1,4)，所以f(eq \f(1,2))＝15.故选C.
设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋4x，x≤4，,lg2x，x>4.))若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞，1] B.[1,4]
C.[4，＋∞) D.(﹣∞，1]∪[4，＋∞)
【答案解析】答案为：D.
解析：作出函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D.
二、多选题
(多选)下列函数中，与y＝x是同一个函数的是( )
A.y＝eq \r(3,x3) B.y＝eq \r(x2) C.y＝lg 10x D.y＝10lg x
【答案解析】答案为：AC
解析：y＝x的定义域为x∈R，值域为y∈R，
对于A选项，函数y＝eq \r(3,x3)＝x的定义域为x∈R，故是同一函数；
对于B选项，函数y＝eq \r(x2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))≥0，与y＝x的解析式、值域均不同，故不是同一函数；
对于C选项，函数y＝lg 10x＝x，且定义域为R，故是同一函数；
对于D选项，y＝10lg x＝x的定义域为(0，＋∞)，与函数y＝x的定义域不相同，故不是同一函数.
(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A.f(x)＝x2﹣2x﹣1，g(s)＝s2﹣2s﹣1
B.f(x)＝x﹣1，g(x)＝eq \f(x2－1,x＋1)
C.f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0))
D.f(x)＝eq \r(－x3)，g(x)＝xeq \r(－x)
【答案解析】答案为：AC
(多选)若函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值可以是( )
A.0 B.1 C.4 D.10
【答案解析】答案为：ABD.
解析：函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，当m＝0时，可化为f(x)＝eq \r(－3x＋1)，值域为[0，＋∞)，满足题意；当m>0时，二次根式下为二次函数，所以需满足Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－3))2﹣4m≥0，化简可得(m﹣1)(m﹣9)≥0，解得m≤1或m≥9，所以0 (多选)设x∈R，定义符号函数sgn x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))则下列说法不正确的有( )
A.|x|＝x|sgn x| B.|x|＝xsgn|x|
C.|x|＝|x|sgn x D.|x|＝xsgn x
【答案解析】答案为：ABC
解析：对于选项A，右边＝x|sgn x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≠0，,0，x＝0，))而左边＝|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0，))显然不正确；对于选项B，右边＝xsgn |x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≠0，,0，x＝0，))而左边＝|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0，))显然不正确；对于选项C，右边＝|x|sgn x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x>0，,0，x＝0，,x，x<0，))而左边＝|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0，))显然不正确；对于选项D，右边＝xsgn x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x>0，,0，x＝0，,－x，x<0，))而左边＝|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0，))显然正确.
三、填空题
函数f(x)＝ln(x﹣1)＋eq \r(4＋3x－x2)的定义域为________.
【答案解析】答案为：(1，4].
解析：依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,4＋3x－x2≥0，))解得1＜x≤4，∴f(x)的定义域为(1，4].
已知函数f(x)的定义域为[﹣2，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋eq \r(1－2x)的定义域为________.
【答案解析】答案为：[﹣1，0]
解析：由条件可知，函数的定义域需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤2x≤2，,1－2x≥0，))解得﹣1≤x≤0，
所以函数g(x)的定义域是[﹣1，0].
已知f(x2＋eq \f(1,x2))＝x4＋eq \f(1,x4)，则f(x)＝__________.
【答案解析】答案为：x2﹣2，x∈[2，＋∞).
解析：∵f(x2＋eq \f(1,x2))＝(x2＋eq \f(1,x2))2﹣2，∴f(x)＝x2﹣2，x∈[2，＋∞).
已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>1，,x2－1，x≤1，))则f(x)＜f(x＋1)的解集为________.
【答案解析】答案为：(﹣eq \f(1,2)，＋∞).
解析：当x≤0时，x＋1≤1，f(x)＜f(x＋1)，等价于x2﹣1＜(x＋1)2﹣1，解得﹣eq \f(1,2)＜x≤0；当0＜x≤1时，x＋1＞1，此时f(x)＝x2﹣1≤0，f(x＋1)＝lg2(x＋1)＞0，∴当0＜x≤1时，恒有f(x)＜f(x＋1)；当x＞1时，f(x)＜f(x＋1)⇔lg2x＜lg2(x＋1)恒成立.综上知，不等式f(x)＜f(x＋1)的解集为(﹣eq \f(1,2)，＋∞.
四、解答题
已知f(x)＝2＋lg3x，x∈[1，9]，试求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域.
【答案解析】解：∵f(x)＝2＋lg3x的定义域为[1，9]，要使[f(x)]2＋f(x2)有意义，
必有1≤x≤9且1≤x2≤9，
∴1≤x≤3，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1，3].
又y＝(2＋lg3x)2＋2＋lg3x2＝(lg3x＋3)2﹣3.
∵x∈[1，3]，
∴lg3x∈[0，1]，
∴ymax＝(1＋3)2﹣3＝13，ymin＝(0＋3)2﹣3＝6.
∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为[6，13].
已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有解析式f(x)=x2.
(1)求f(－1)和f(1.5)的值；
(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的解析式.
【答案解析】解：(1)由题意知f(－1)=－2f(－1＋1)=－2f(0)=0，
f(1.5)=f(1＋0.5)=－eq \f(1,2)f(0.5)=－eq \f(1,2)×eq \f(1,4)=－eq \f(1,8).
(2)当x∈[0,1]时， f(x)=x2；
当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1], f(x)=－eq \f(1,2)f(x－1)=－eq \f(1,2)(x－1)2；
当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1), f(x)=－2f(x＋1)=－2(x＋1)2；
当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1,0),
f(x)=－2f(x＋1)=－2×[－2(x＋1＋1)2]=4(x＋2)2.
所以f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋22，x∈[－2，－1，,－2x＋12，x∈[－1，0，,x2，x∈[0，1]，,－\f(1,2)x－12，x∈1，2].))
已知函数f(x)＝2x﹣eq \f(a,x)的定义域为(0,1](a为实数).
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)求函数y＝f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求当函数f(x)取得最值时x的值.
【答案解析】解：(1)当a＝1时，f(x)＝2x﹣eq \f(1,x)，任取0＜x2＜x1≤1，
则f(x1)﹣f(x2)＝2(x1﹣x2)﹣( SKIPIF 1 < 0 )＝(x1﹣x2)(2+ SKIPIF 1 < 0 ).
∵0＜x2＜x1≤1，∴x1﹣x2＞0，x1x2＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(0,1]上单调递增，
当x＝1时函数f(x)取得最大值1，
∴f(x)的值域为(﹣∞，1].
(2)当a≥0时，函数f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2﹣a；
当a＜0时，f(x)＝2x＋eq \f(－a,x)，
当 eq \r(－\f(a,2))≥1，即a∈(﹣∞，﹣2]时，函数f(x)在(0,1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2﹣a；
当 eq \r(－\f(a,2))＜1，即a∈(﹣2,0)时，y＝f(x)在(eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))0, eq \r(－\f(a,2)))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(,,,,))上单调递减，
在[eq \r(－\f(a,2))，1]上单调递增，无最大值，当x＝ eq \r(－\f(a,2))时取得最小值2eq \r(－2a).