(人教A版选择性必修第一册)高二数学同步讲义第三章《圆锥曲线的方程》综合检测卷(拔尖C卷)(原卷版+解析)

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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》综合检测卷（拔尖C卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．已知点是抛物线：上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（    ）A． B． C． D．2．已知直线与双曲线交于，两点，线段中点在第一象限，且在抛物线上，到抛物线焦点的距离为，则直线斜率为（    ）A． B． C． D．3．设椭圆的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为（    ）A． B． C． D．4．若双曲线的左、右焦点分别为，点为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积（    ）A．有最大值4 B．有最小值2 C．为 D．为5．已知双曲线的左、右顶点分别为，圆与双曲线交于两点，记直线的斜率分别为，则为（    ）A． B． C． D．6．已知双曲线的左焦点为，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点，则双曲线C的离心率为A． B． C． D．27．已知、是椭圆C：的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，且.若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为（    ）A． B．C． D．8．已知椭圆：（）与双曲线：（）有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则取最大值时的值为（       ）A． B． C． D．多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（    ） A．椭圆的长轴长为B．线段AB长度的取值范围是C．面积的最小值是4D．的周长为10．已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （    ）A．点的轨迹为抛物线B．圆面积最小值为C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为D．存在点，使得，其中为坐标原点11．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（    ）A． B．E的离心率等于C．的内切圆半径是 D．双曲线渐近线的方程为12．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．△的面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.14．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，它们的离心率分别为是它们的一个公共点.若，则的最小值为__________.15．已知为双曲线的右焦点，经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为．若，则双曲线的离心率为______．16．已知为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．双曲线，焦点为A，B，点C在双曲线上，，求△ABC的周长.18．如图双曲线的焦点为，过左焦点倾斜角为的直线与交于两点．(1)求弦长的值；(2)求的周长．19．已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．(1)求C的方程；(2)若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．20．已知抛物线的焦点为为上一点，的最小值为1.(1)求抛物线的标准方程；(2)过焦点作互相垂直的两条直线与抛物线相交于两点，与抛物线相交于两点.若分别是线段的中点，求的最小值.21．已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线的距离为2．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在斜率为k的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M，N，且?若存在，请求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．22．已知椭圆：()的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点，若点关于轴的对称点为，证明：直线与轴相交于定点.第三章《圆锥曲线的方程》综合检测卷（拔尖C卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．已知点是抛物线：上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】抛物线的焦点为，准线方程为，由已知条件结合抛物线的定义，得，求解即可．【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，所以，当且仅当点在线段上时等号成立，所以的最小值为．故选：A．2．已知直线与双曲线交于，两点，线段中点在第一象限，且在抛物线上，到抛物线焦点的距离为，则直线斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用抛物线的定义，确定的坐标，利用点差法将线段中点的坐标代入，化简整理由斜率公式即可求得结论．【详解】在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为，则由抛物线的定义可得，，的横坐标为，，设，，即有，，则，，两式相减，并将线段中点的坐标代入，可得，直线的斜率为：．故选：A．3．设椭圆的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据，设出，，，从而得到椭圆，直线：，联立椭圆和直线得到，，再求直线BC的斜率即可.【详解】由题知：，，，，设，则，，则椭圆，直线：.所以，解得，，则.因为，所以.故选：C4．若双曲线的左、右焦点分别为，点为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积（    ）A．有最大值4 B．有最小值2 C．为 D．为【答案】D【分析】由双曲线定义得到，且，进而求出，求出的面积.【详解】由双曲线方程知，，恰好为圆的直径，所以，如图所示：由双曲线定义知，，∴，所以∴，故选：D.5．已知双曲线的左、右顶点分别为，圆与双曲线交于两点，记直线的斜率分别为，则为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题知，进而结合题意设，再结合，计算即可得答案.【详解】解：由题知，因为圆与双曲线交于两点，所以，根据对称性可设， 所以，，所以，因为，即，所以故选：B6．已知双曲线的左焦点为，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点，则双曲线C的离心率为A． B． C． D．2【答案】D【解析】设线段AB的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB的中点坐标为，则有，设，代入双曲线方程有，两式相减得， 可得，即，.故选:D.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键要把问题转为相交弦的中点，利用点差法求出参数关系式，属于中档题.7．已知、是椭圆C：的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，且.若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题干条件得到，为的中点，作出辅助线，利用相似得到，即，结合直角三角形的性质得到，求出，得到椭圆方程.【详解】因为，所以，因为，所以，即，所以为的中点，又因为，所以，过点O作OM⊥AB于点M，则，根据，可得，所以，因为A为上顶点，所以根据双曲线定义可知：，所以，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：，即，所以，故，所以椭圆方程为：故选：D8．已知椭圆：（）与双曲线：（）有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则取最大值时的值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用三角换元求的最大值，并求此时的的值.【详解】设为第一象限的交点，、，则、，解得、，在中，由余弦定理得：，∴，∴，∴，∴，∴，设，，则，当时，取得最大值，此时，，，故选：B多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（    ）A．椭圆的长轴长为B．线段AB长度的取值范围是C．面积的最小值是4D．的周长为【答案】ABD【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆性质可判断B；取特值，结合OA长度的取值范围可判断C；由椭圆定义可判断D.【详解】由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确；，由椭圆性质可知，所以，B正确；记，则取，则，C错误；由椭圆定义知，，所以的周长，D正确.故选：ABD10．已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （    ）A．点的轨迹为抛物线B．圆面积最小值为C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为D．存在点，使得，其中为坐标原点【答案】ACD【分析】由抛物线定义可知A正确；由抛物线性质可知当为坐标原点时，圆面积最小，可知B错误；设，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得圆的半径，知C正确；设存在点，由可求得点坐标，知D正确.【详解】对于A，由题意知：点到点与到定直线的距离相等，且点不在直线上，符合抛物线定义，点的轨迹为抛物线，A正确；对于B，由A知，点的轨迹为抛物线，则当为坐标原点时，点到直线距离最小，即此时圆的半径最小，即，圆面积的最小值为，B错误；对于C，由A得：点的轨迹方程为，设，则圆的半径，点到轴的距离，，解得：，圆的半径，C正确；对于D，假设存在点，使得，设，则，整理可得：，解得：，，或，D正确.故选：ACD.11．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（    ）A． B．E的离心率等于C．的内切圆半径是 D．双曲线渐近线的方程为【答案】AB【分析】由几何关系得轴，再由离心率，渐近线的概念对选项逐一判断，【详解】因为M，O分别是，的中点，所以在中，，所以轴，对于A，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确，对于B，中，，，，所以，得：，故B正确，对于C，的周长为，设内切圆半径为r，根据三角形的等面积法，有，得：，故C错误，对于D，，双曲线渐近线的方程为，故D错误，故选：AB12．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．△的面积为【答案】BCD【分析】选项A由抛物线的定义可得可判断；选项B将点坐标代入抛物线方程可判断；当时，直线的方程为：，可求出，从而可得，由，同理可得时的情况，从而可判断C，D.【详解】选项A. 由抛物线的定义可得，解得，所以A不正确.选项B. 所以，，抛物线方程为将点坐标代入抛物线方程，得，所以，所以B正确选项C. 当时，则，则直线的方程为： 则 ，得，解得或所以，则，同理当时，可得，所以C正确.选项D.由上可知当时， 同理当时，，所以D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，过焦点的弦的性质，解答本题的关键是由抛物线的定义可得，解得的值，由求解面积，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.【答案】【分析】作出图象，结合题意可知A，P及P到准线的垂足三点共线时，所求距离之和最小，此时P点的纵坐标为1，代入抛物线即可求得P点的坐标.【详解】根据题意，由y2＝－4x得p＝2，焦点坐标为(－1，0)，作出图象，如图，.因为等于到准线的距离，所以，可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，此时点P的纵坐标为1，将y＝1代入抛物线方程求得，所以点P的坐标为.故答案为：.14．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，它们的离心率分别为是它们的一个公共点.若，则的最小值为__________.【答案】【分析】根据椭圆和双曲线的定义、余弦定理列方程，结合基本不等式求得的最小值.【详解】设椭圆对应，双曲线对应，，所以，两边平方得①，，两边平方得②，①+②并整理得；①-②并整理得.由余弦定理得，整理得，所以，，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：15．已知为双曲线的右焦点，经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为．若，则双曲线的离心率为______．【答案】【分析】设，与双曲线两渐近线联立可求得坐标，利用可构造齐次方程求得离心率.【详解】由题意可设：，由得：，即；由得：，即；，，即，，即，，解得：，即双曲线的离心率为.故答案为：.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.16．已知为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为___________.【答案】【分析】由题设探求出与都是以B为直角顶点的直角三角形，令，并表示相关量，再借助勾股定理建立方程组，求出a，b的关系即可.【详解】因点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点，则，设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，则，有，如图，令，则，，，又，在中，，即，在中，，即于是得，解得，即，所以双曲线的渐近线的斜率为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．双曲线，焦点为A，B，点C在双曲线上，，求△ABC的周长.【答案】24【分析】利用双曲线方程求解a，b，c，结合余弦定理，以及双曲线的定义，转化求解即可.【详解】解：双曲线，可得a＝2，c＝4，A（﹣4，0），B（4，0），不妨设C在第一象限，由双曲线的定义可知|AC|﹣|CB|＝2a＝4，可得|AC|2+|BC|2﹣2|AC||BC|＝16，，由余弦定理可得|AB|2＝|AC|2+|BC|2﹣2|AC||BC|cos∠ACB，即，解得|AC|＝10，|BC|＝6，|AB|＝8，则△ABC的周长为：24.18．如图双曲线的焦点为，过左焦点倾斜角为的直线与交于两点．(1)求弦长的值；(2)求的周长．【答案】(1)3；(2)【分析】（1）联立直线l与椭圆的方程，消元整理得，根据根与系数的关系可求得弦长；（2）根据双曲线的定义可求得三角形的周长.【详解】（1）解：因为双曲线的焦点为，所以，设．联立，整理得：，.（2）解：记的周长为，则．，又得．点在右支，故．同理：点在左支，．19．已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．(1)求C的方程；(2)若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)不存在，理由见详解【分析】（1）根据题意利用点差法运算求解；（2）根据对称结合（1）中的结论求直线ON，再联立方程求N的坐标，结合椭圆方程判断点N是否在椭圆内部，分析理解.【详解】（1）设，则∵在椭圆上，则两式相减得，整理得∴，即，则又∵点在椭圆C：上，则联立解得∴椭圆C的方程为（2）不存在，理由如下：假定存在P，Q两点关于l：对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接ON∵，则，即由（1）可得，则，即直线联立方程，解得即∵，则在椭圆C外∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称【点睛】本题重点考查点差法：点代入方程，做差整理得，结合相关斜率理解可得，这是处理相交弦和弦的中点问题的常用方法.20．已知抛物线的焦点为为上一点，的最小值为1.(1)求抛物线的标准方程；(2)过焦点作互相垂直的两条直线与抛物线相交于两点，与抛物线相交于两点.若分别是线段的中点，求的最小值.【答案】(1)；(2)16.【分析】（1）将化为标准方程，再由的最小值为1，可得，即可得出抛物线的标准方程；（2）设直线斜率为，则的斜率为，设直线的方程为，设，，联立直线的方程与抛物线的方程，可求出，同理，再由均值不等式，结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】（1）将化为标准方程得，，因为的最小值为1，所以，解得，所以抛物线的标准方程为.（2）由（1）得，点，显然直线，的斜率都存在且不为0，设直线斜率为，则的斜率为，直线的方程为，由消去并整理得，，设，，则，所以线段中点，，同理，所以，令，当且仅当，即时等号成立.所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为16.21．已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线的距离为2．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在斜率为k的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M，N，且?若存在，请求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2) 存在，k的范围为.【分析】（1）可设椭圆的方程，用待定系数法求出椭圆的方程；（2）假设存在直线符合题意.将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点的坐标即可求得斜率的取值范围，从而解决问题.【详解】（1）因为椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A(0，-1)，由题意，可设椭圆的方程，则其右焦点，由F到直线的距离d=3，解得，所以椭圆的方程.（2）假设存在直线符合题意.与椭圆方程联立，得：，消去y得:.设则有，所以所以MN的中点P的坐标.因为AN=AM，所以AP是线MN的垂直平分线，所以AP⊥MN.根据斜率之积为-1，可得，将其代入，并整理得：，解得：.故存在满足条件的直线l，其斜率的取值范围.【点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.22．已知椭圆：()的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点，若点关于轴的对称点为，证明：直线与轴相交于定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据已知条件，求得，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，、，则，联立，根据，求得的范围，利用韦达定理求得，，求得直线的方程，令，即可得出结论.【详解】解：（1）由题意可知，，，则解得，∴椭圆的标准方程为；（2）由题意可知直线一定存在斜率，设斜率为，设直线的方程为，联立消去并化简得：，∵，∴，设、，则，，，∴直线的斜率，则直线的方程为，当直线与轴相交时， 则，∴直线与轴相交于定点.