(人教A版选择性必修第一册)高二数学同步讲义第三章《圆锥曲线的方程》综合检测卷(基础A卷)(原卷版+解析)

这是一份(人教A版选择性必修第一册)高二数学同步讲义第三章《圆锥曲线的方程》综合检测卷(基础A卷)(原卷版+解析)，共22页。
第三章《圆锥曲线的方程》综合检测卷（基础A卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．已知椭圆过点，则其焦距为（    ）A．8 B．12 C． D．2．航天器的轨道有很多种，其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点，若地球同步转移轨道的远地点（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为，近地点与地球表面的距离为，设地球的半径为，试用，，表示出地球同步转移轨道的短轴长为（    ）A． B． C． D．3．已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若 ，则（    ）A．1或21 B．14或36 C．2 D．214．双曲线方程为,,为其左､右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点和点，满足，,则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．5．在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（    ）A．6 B．8 C．9 D．126．是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（    ）A．3 B． C． D．7．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是（    ）A．10 B．9 C．8 D．78．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且,曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则（    ）.A． B． C． D．多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．若椭圆：的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（    ）A． B．的长轴长为 C．的短轴长为 D．的离心率为10．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于，两点，则以下结论中正确的是（    ）A． B．C． D．11．已知双曲线，则（    ）A．双曲线的离心率为B．双曲线的焦点到渐近线的距离为C．双曲线的两条准线之间的距离为D．双曲线左支上的点到右焦点的最短距离为12．已知方程表示的曲线为则以下四个判断正确的为（    ）A．当时，曲线表示椭圆B．当或时，曲线表示双曲线C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设为坐标原点，直线与拋物线交于两点，若，则的焦点坐标为___________.14．已知双曲线的焦距等于，则双曲线的渐近线方程为______．15．椭圆上一点满足到左焦点的距离为，则的面积是________.16．如图，双曲线的左，右焦点分别为，，过作直线与C交于Q点，且．若等腰三角形的底边的长等于C的半焦距．则C的离心率为______________四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．若抛物线，过焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求．18．已知椭圆：的离心率，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交于另一点，若，求直线的斜率.19．已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个顶点与点A关于直线对称，设直线l过点A，斜率为k．(1)求双曲线C的方程；(2)当时，在双曲线C的上支上求点B，使其与直线l的距离为．20．已知抛物线C：的焦点与椭圆：的一个焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：．21．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点.若，，双曲线的离心率.22．已知O为坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设C的左､右焦点分别为，，过作直线l交C于P，Q两点，若的面积为，求直线l的斜率.第三章《圆锥曲线的方程》综合检测卷（基础A卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．已知椭圆过点，则其焦距为（    ）A．8 B．12 C． D．【答案】D【分析】将点坐标代入椭圆方程求得，然后利用得到，即可得到焦距.【详解】将点代入椭圆方程得，解得，又，所以，焦距为.故选：D.2．航天器的轨道有很多种，其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点，若地球同步转移轨道的远地点（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为，近地点与地球表面的距离为，设地球的半径为，试用，，表示出地球同步转移轨道的短轴长为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，由条件列方程求，再根据的关系求，结合短轴长的定义求短轴长即可.【详解】解：设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，则由题意可知：，，故短半轴长为，所以短轴长为.故选：B.3．已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若 ，则（    ）A．1或21 B．14或36 C．2 D．21【答案】D【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离范围进行求解即可.【详解】解：由双曲线方程得 由双曲线的定义得：，又，解得：或又点P在该双曲线上时要满足：或者所以.故选：D.4．双曲线方程为,,为其左､右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点和点，满足，,则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用双曲线的定义和勾股定理建立a与c方程，即可求得离心率.【详解】如图由题，设，则，设，则因为A、B都在双曲线上，所以即，解得，又，所以，则离心率.故选：C.5．在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（    ）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】D【分析】根据重心的性质可得，然后根据抛物线的定义可知即可求解.【详解】解：由题意得：F为ABC的重心故设点A，B，C的坐标分别为，，抛物线 ，F为其焦点故选：D6．是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（    ）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】设出线段的长度，用余弦定理求得的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，将进行转化，再结合不等式即可求得其最小值.【详解】设，，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如下所示：则，，因为点为线段的中点，根据梯形中位线定理可得：点到抛物线的准线的距离为，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故．所以的最小值为故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要注意到不等式的应用，属综合中档题.7．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知 所以 因为 为线段长度，都大于0，由基本不等式可知，此时所以选B【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且,曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则（   ）.A． B． C． D．【答案】B【分析】根据.可得，可得，设，.可得，根据余弦定理化简，利用离心率计算公式即可得出.【详解】解：如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为.∵椭圆的上顶点为，且.∴，∴，∴.∴.不妨设点在第一象限，设，.∴，.∴.在中，由余弦定理可得：∴.两边同除以，得，解得：.∴,.故选：B多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．若椭圆：的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（    ）A． B．的长轴长为 C．的短轴长为 D．的离心率为【答案】AD【分析】首先根据条件列式，得到椭圆方程，再判断选项.【详解】由已知可得，解得或(舍去)，椭圆的方程为 ∴， ，即，，长轴长为，短轴长，离心率.故选：AD.10．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于，两点，则以下结论中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】设过焦点的直线方程，与抛物线方程联立，由韦达定理可知根与系数的关系，进而可判断A,B选项是对的.对于C,D选项，根据焦半径公式以及根与系数的关系，代入化简即可知C对D错.【详解】由题意知，直线的斜率不可能为0，故可设其方程为，联立，消去，得,,故B对故，故A对由抛物线的定义知，,又∴＝＝＝，即选项C对，D错.故选:ABC11．已知双曲线，则（    ）A．双曲线的离心率为B．双曲线的焦点到渐近线的距离为C．双曲线的两条准线之间的距离为D．双曲线左支上的点到右焦点的最短距离为【答案】ABC【分析】求出、、的值，利用离心率公式可判断A选项；求出双曲线的焦点到渐近线的距离，可判断B选项；求出双曲线的两条准线之间的距离，可判断C选项；利用两点间的距离公式可判断D选项.【详解】在双曲线中，，，，对于A选项，双曲线的离心率为，A对；对于B选项，双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，即，所以，双曲线的焦点到渐近线的距离为，B对；对于C选项，双曲线的两条准线之间的距离为，C对；对于D选项，设双曲线上左支上一点为，则，且，双曲线的右焦点为，则，D错.故选：ABC.12．已知方程表示的曲线为则以下四个判断正确的为（    ）A．当时，曲线表示椭圆B．当或时，曲线表示双曲线C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则【答案】BCD【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程，逐项判断正误；【详解】若曲线：表示椭圆，则且，故A不正确；若曲线：表示双曲线，则或，故B正确；若曲线：表示焦点在轴上的椭圆，则，故C正确；若曲线：表示焦点在轴上的双曲线，则，故D正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设为坐标原点，直线与拋物线交于两点，若，则的焦点坐标为___________.【答案】【分析】由可求得坐标，由垂直关系可得，由此可得，进而确定焦点坐标.【详解】由得：，不妨令，，，，，，解得：，抛物线，的焦点坐标为.故答案为：.14．已知双曲线的焦距等于，则双曲线的渐近线方程为______．【答案】或【分析】由双曲线的标准方程可得到，，再结合即可求得，从而可得双曲线的渐近线方程.【详解】依题意，易得，解得，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：或.15．椭圆上一点满足到左焦点的距离为，则的面积是________.【答案】【解析】根据椭圆的定义再利用余弦定理求出，最后由面积公式计算可得；【详解】解：由椭圆的定义得，，∴，，∴，则.故答案为：16．如图，双曲线的左，右焦点分别为，，过作直线与C交于Q点，且．若等腰三角形的底边的长等于C的半焦距．则C的离心率为______________【答案】【分析】根据为等腰三角形且Q为的中点，得，再由得到．进而由双曲线的定义得到，然后在中利用勾股定理求解.【详解】如图所示：连接，由为等腰三角形且Q为的中点，得，由知．由双曲线的定义知，在中，，，，解得，故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．若抛物线，过焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求．【答案】【分析】求出直线的方程，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出原点到直线的距离，从而求出三角形的面积.【详解】由题意得：，直线的斜率为，故直线的方程为，将联立得：，设，则，则，点到直线的距离为，所以18．已知椭圆：的离心率，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交于另一点，若，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，根据椭圆弦长公式进行求解即可.【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，即，因为经过点，所以有，即，所以，因此椭圆的标准方程为：；（2）因为是椭圆的左顶点，所以由过点的直线交于另一点可知，该直线存在斜率，设为，即直线的方程为：，与椭圆方程联立为：，设所以有，因为，所以或（舍去），即.19．已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个顶点与点A关于直线对称，设直线l过点A，斜率为k．(1)求双曲线C的方程；(2)当时，在双曲线C的上支上求点B，使其与直线l的距离为．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据对称求出，确定，在由到渐近线距离为1列出方程，求出，确定双曲线方程；（2）设出，写出直线l的方程，利用点到直线距离列出方程，求出，写出点B坐标.【详解】（1）因为双曲线的焦点坐标在轴上，所以设双曲线方程为，因为，顶点与点A关于直线对称，所以，即，设双曲线渐近线为，由题意得：到渐近线距离为1，即，解得：，所以双曲线方程为.（2）设是双曲线C上到直线的距离为的点，所以，解得：，此时，即．20．已知抛物线C：的焦点与椭圆：的一个焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：．【分析】（1）由椭圆的焦点得出的值，进而得出抛物线C的方程；（2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理结合数量积公式证明即可.【详解】（1）∵椭圆：的焦点坐标为，∴，即．∴抛物线C的方程为：．（2）联立方程组消去x，整理得．∴．∴，即,∴,∴．21．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点.若，，双曲线的离心率.【答案】【分析】设出点坐标，根据坐标关系以及几何关系，结合点的坐标满足渐近线方程，即可求得离心率.【详解】如图，因为，故为的中点，又为的中点，则为的中位线，又，则，.设，，因为点在渐近线上，则，解得，又为的中点，则，又在渐近线上，故，整理得：，故双曲线的离心率.22．已知O为坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设C的左､右焦点分别为，，过作直线l交C于P，Q两点，若的面积为，求直线l的斜率.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据已知条件分别列出关于 的等式，解方程组可求得答案；（2）设直线方程和椭圆方程联立，整理得根于系数的关系式，再根据的面积，将根与系数的关系代入，即可解得答案.【详解】(1)易知，.因为的面积为，所以.，又直线AB的方程为，即，点O到直线AB的距离为，所以，联立方程组，解得，所以椭圆C的方程为；(2)显然直线l的斜率不为0，由（1）知，设l：，，，联立方程组消去x，得，由韦达定理可得，.所以.由，化简得，解得，所以直线l的斜率为.