人教版A版第一章高二数学选择性必修第一册1.2 空间向量的基本定理同步练习（解析版）

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1.2 空间向量的基本定理思维导图常见考法考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】:共面，排除A共面，排除B共面，排除D三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．基底中基向量与基底基向量对应相等【答案】C【解析】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.项，空间基底有无数个, 所以错.项中因为基底不唯一，所以错.故选.2．（2018·全国高二课时练习）设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是(　　)A． B．C． D．【答案】C【解析】选项A,B中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D中，，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C中不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若a,b,c构成空间的一组基底，则( )A．b+c,b−c,a不共面 B．b+c,b−c,2b不共面C．b+c,a,a+b+c不共面 D．a+c,a−2c,c不共面【答案】A【解析】∵2b=b+c+b−c，∴b+c,b−c,2b共面∵a+b+c=b+c+a，∴b+c,a,a+b+c共面∵a+c=a−2c+3c，∴a+c,a−2c,c共面故选A考点二 基底的运用【例2】（2019·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（ ） A． B． C． D．【答案】B【解析】为的中点， ．故选：．【一隅三反】1．（2019·甘肃靖远。高二期末（理））如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】连接分别为中点 故选：2．（2019·中央民族大学附属中学高二月考）在平行六面体ABCD－中，用向量来表示向量（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为， 故选B3．（2020·江西吉安。高二期末（理））在四面体中，空间的一点满足，若共面，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由共面知，故选：考点三 基本定理的运用【例3】2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）连接,，，如图：，，在，根据向量减法法则可得：底面是平行四边形 且 又为线段中点 在中 （2）顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是由（1）可知平行四边形中故： 故：对角线的长为：.（3），又【一隅三反】1．（2019·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，设．（1）试用表示出向量；（2）求的长．【答案】（1）（2）【解析】（1）∵是PC的中点，∴（2） .2．（2017·陕西新城。西安中学高二期中（理））如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）；；（2）.【解析】（1），同理可得， ．（2）因为，所以，因为，所以．异面直线与所成角的余弦值为．3．（2020·安徽宿州.高二期末（理））已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】设，，由题可知：两两之间的夹角均为，且，（1）由所以即证.（2）由，又所以，又则又异面直线夹角范围为所以异面直线夹角的余弦值为.