（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 高一（上）期末测试卷（B卷 能力提升）（原卷版+解析）

这是一份（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 高一（上）期末测试卷（B卷 能力提升）（原卷版+解析），共19页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，化简等内容，欢迎下载使用。

高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：泸教版必修一2020。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、填空题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。）
1．集合且，用列举法表示集合________
2．若，且，则________.
3．若，则的最小值为___________.
4．函数是幂函数，则__________．
5．已知，，则________.
6．化简：=_____________．
7．已知函数y＝tanωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
8．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称声强.日常生活中能听到的声音其声强范围很大，最大和最小之间的比值可达倍.用声强的物理学单位表示声音强弱很不方便。当人耳听到两个强度不同的声音时，感觉的大小大致上与两个声强比值的常用对数成比例.所以引入声强级来表示声音的强弱.
某一处的声强级，是指该处的声强P与参考声强的比值的常用对数，单位为贝尔（B），其中参考声强瓦/米2实际生活中一般用1贝尔的十分之一，即分贝（）来作为声强级的单位，其公式为声强级.若某工厂环境内有一台机器（声源）单独运转时，发出噪声的声强级为80分贝，那么两台相同的机器一同运转时（声强为原来的两倍），发出噪声的声强级为分______贝（精确到0.1分）.
9．如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的，两点到点的距离分别为km，km，且，则隧道长度为______km．
10．如图是某自行车的平面结构示意图，已知圆(前轮)、圆(后轮)的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形；设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为______.
11．砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气，如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为______.
12．设，若关于的方程在区间上有5个解，且它们的和为，则______.
第Ⅱ卷
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．定义在R上的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
14．已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，则“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
15．“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
16．有下列命题：（1）终边相同的角的同名三角比的值相等；（2）终边不同的角的同名三角比的值不同；（3）若，则是第一或第二象限角；（4）△中，若，则；其中正确命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知全集，集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18．已知函数是定义域为上的奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；
（3）若在上的最小值为，求的值.
.
19．（1）已知，求的值；
（2）已知（、都是锐角），求的值.
20．（1）已知关于的方程（）的两根为、.
（1）求的取值范围；
（2）求的最小值；
（3）求的值.
21．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
22．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.
（1）已知，，若函数为集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；
（2）已知点满足条件：，；若向量的“相伴函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围.
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2023-2024学年上学期 期末测试卷（B卷 能力提升）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：泸教版必修一2020。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、填空题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。）
1．集合且，用列举法表示集合________
【答案】
【分析】
由已知可得，则，解得且，结合题意，逐个验证，即可求解.
【详解】
由题意，集合且，可得，则，
解得且，
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，此时分母为零，不满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，满足题意；
综上可得，集合.
故答案为：.
2．若，且，则________.
【答案】
【分析】
将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得的值.
【详解】
,,.
,.
又∵,
,
即,,.
故答案为：
3．若，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】
利用对数运算法则得出满足的等式，然后利用基本不等式求最值．
【详解】
∵，∴，即，
∴，则或，
若，，则，，不合题意，
∴．
∴，当且仅当，即时等号成立，∴所求最小值为8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查对数的运算法则，考查基本不等式求最值．属于中档题．
4．函数是幂函数，则__________．
【答案】2或-1
【分析】
根据幂函数的定义，即可求解.
【详解】
是幂函数，
，解得，或.
故答案为: 2或-1.
5．已知，，则________.
【答案】
【分析】
把已知等式两边平方，求出的值，再利用完全平方公式求出的值，联立求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得的值．
【详解】
已知，平方得，得，
，，，
，，解得.
故答案为：
【点睛】
本题考查同角三角函数间的基本关系，齐次方程的求解，属于中档题．
6．化简：=_____________．
【答案】1
【详解】
.
故答案为1
点睛：利用＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan 可以实现角的弦切互化, 注意公式逆用及变形应用：1＝，＝1－，＝1－.
7．已知函数y＝tanωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
【答案】[－1,0)
【详解】
∵函数在内是单调减函数，
∴，解得，
∴ω的取值范围是．
答案：
点睛：
求解的范围时，可从函数的单调性和周期性两个方面考虑，由复合函数的单调性可得为负值．又函数在内是单调减函数，故为一个周期的子集，由此可得关于的不等式组，解不等式组即可．
8．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称声强.日常生活中能听到的声音其声强范围很大，最大和最小之间的比值可达倍.用声强的物理学单位表示声音强弱很不方便。当人耳听到两个强度不同的声音时，感觉的大小大致上与两个声强比值的常用对数成比例.所以引入声强级来表示声音的强弱.
某一处的声强级，是指该处的声强P与参考声强的比值的常用对数，单位为贝尔（B），其中参考声强瓦/米2实际生活中一般用1贝尔的十分之一，即分贝（）来作为声强级的单位，其公式为声强级.若某工厂环境内有一台机器（声源）单独运转时，发出噪声的声强级为80分贝，那么两台相同的机器一同运转时（声强为原来的两倍），发出噪声的声强级为分______贝（精确到0.1分）.
【答案】83.0.
【分析】
根据公式求，再求的值.
【详解】
根据题意得，
即 ,

故答案为：
【点睛】
本题考查应用题，意在考查理解能力和对数运算能力，属于中档题型.
9．如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的，两点到点的距离分别为km，km，且，则隧道长度为______km．
【答案】
【分析】
由余弦定理直接求解.
【详解】
在中，由余弦定理得，
所以（km）.
故答案为：.
10．如图是某自行车的平面结构示意图，已知圆(前轮)、圆(后轮)的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形；设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为______.
【答案】
【分析】
根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．
【详解】
解：据题意：圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．点为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：
则，，，，．
圆的方程为，
可设，，，
所以，，．
故
，当且仅当时，取得最大值36．
故答案为：36．
11．砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气，如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为______.
【答案】
【分析】
根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：环形面积，
故答案为：．
12．设，若关于的方程在区间上有5个解，且它们的和为，则______.
【答案】或．
【分析】
根据函数的周期，得含有函数的两个周期，这样结合图形分析在5个解，按大小顺序排列后，第1，3，5个解首先可确定，第2、4个解利用和也可确定，然后利用函数值相等可得．
【详解】
由题意函数周期为，，区间含有两个周期，
设在上的5个解分别为且，
则，，
由，得，
所以，，
又，所以或．
第Ⅱ卷
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．定义在R上的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
分和两种情况讨论，利用函数的奇偶性和单调性可解得结果.
【详解】
当时，可化为，
又为偶函数且，所以不等式可化为，
因为在上是增函数，所以，解得；
当时，可化为，
又为偶函数且，所以不等式可化为，
因为在上是增函数，所以，解得；
综上所述：不等式的解集为.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：利用函数的奇偶性和单调性求解是解题关键.
14．已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，则“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据充分不必要条件的定义判断可得结果.
【详解】
已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，
则当“x1＞1且x2＞1”时，可得“x1+x2＞2且”
当x1＝0.99，x2＝2，满足：“x1+x2＞2且x1•x2＞1”但是“x1＞1且x2＞1”不成立，
故“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1•x2＞1”的充分不必要条件，
故选：A．
15．“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】
先考查充分性，再考虑必要性得解.
【详解】
当时，，但是当时，分母为零，没有意义.
所以“”是“”的非充分条件；
当时，.
所以，
所以“”是“”的必要条件.
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选B
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义域和三角恒等变换，考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．有下列命题：（1）终边相同的角的同名三角比的值相等；（2）终边不同的角的同名三角比的值不同；（3）若，则是第一或第二象限角；（4）△中，若，则；其中正确命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】
（1），根据终边相同的角的同名三角函数值相等，判断命题正确；（2），根据终边不同的角的同名三角函数值也可能相等，判断命题错误；（3），当时，是第一或第二象限角，或为终边在轴的正半轴上，判断命题错误；（4），根据大角对大边，利用正弦定理即可判断结论正确．
【详解】
对于（1），终边相同的角的同名三角函数值相等，所以比值相等，（1）正确；
对于（2），终边不同的角的同名三角函数值也可能相等，如，
所以比值也可能相同，（2）错误；
对于（3），若，则是第一或第二象限角，或终边在轴的正半轴上，（3）错误；
对于（4），中，若，则，
由正弦定理得，
，
，（4）正确；
综上，其中正确命题的序号为（1）和（4），共2个．
故选．
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断，涉及三角函数的定义，角的取值和三角函数的符号，是基础题．
三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知全集，集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）先化简集合，再由集合的补集和交集运算求解即可；
（2）由得，再讨论，两种情况，根据包含关系得出不等式组，求解得出实数的取值范围.
【详解】
（1）
或
或
（2）
当时，满足，由，解得
当时，要使得，必须，解得
综上，
【点睛】
关键点睛：在第二问中，关键是将并集运算转化为包含关系，即得，注意不要忽略集合为空集的情况.
18．已知函数是定义域为上的奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；
（3）若在上的最小值为，求的值.
【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）．
【分析】
（1）因为是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质，结合已知，即可求得答案；
（2）先根据定义法判断的单调性，结合奇函数性质，即可求解不等式的解集；
（3）因为，令，可得，分别讨论和，即可求得的值.
【详解】
（1）是定义域为上的奇函数，
根据奇函数性质可得
当时，可得
即：
解得：
（2）由（1）可得：
可知的定义为
在上任取，且，即
在上单调递增，
可化简为：
，即，解得或．
不等式的解集为．
（3）
．
令，
则．
，．
当时，则当时，，解得；
当时，则当时，，解得，(舍去)．
综上所述，．
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了根据奇偶性和单调性解不等式和根据函数最值求参数，解题关键是掌握定义法判断函数单调性的步骤和根据函数最值求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
19．（1）已知，求的值；
（2）已知（、都是锐角），求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意利用两角和的正切公式求得的值，再利用同角三角函数的基本关系化简要求的式子，可得结果．（2）先由题意求得，再把它代入要求式子，利用两角差的正弦公式求出结果．
【详解】
（1）已知，，
．
（2）已知，都是锐角），
．
．
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．
20．（1）已知关于的方程（）的两根为、.
（1）求的取值范围；
（2）求的最小值；
（3）求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用判别式△进行求解即可；（2）利用根与系数之间的关系，求出与，利用两角和差的正切公式进行求解；（3）利用1的代换，结合弦化切进行求解即可.
【详解】
（1）方程的两根为，，
判别式△，
得且．
即实数的取值范围是且．
（2）由根与系数之间的关系得，
则，
即求的最小值是．
（3）
．
【点睛】
本题主要考查三角函数值的化简和求解，结合根与系数之间的关系以及两角和差的正切公式，是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
21．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
【答案】，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．
【详解】
解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.
再由，得，因此.
而建造费用为
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
（Ⅱ），令，即.
解得，（舍去）.
当时，，当时，，故是 的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．
22．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.
（1）已知，，若函数为集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；
（2）已知点满足条件：，；若向量的“相伴函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）只要将化为 即可，再利用向量的模的计算公式以及三角函数值域的求法即可解出；
（2）利用三角函数求取最大值时的值，结合倍角公式以及换元即可求出的范围．
【详解】
(1) 证明: ,
函数的相伴向量
,
时, 时,.
的模的取值范围为.
(2)的相伴函数,
其中.
当, 即时, 取得最大值,
,
令, 则 ,当时, ,
.