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人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式练习
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式练习，共6页。试卷主要包含了条件等式求最值2，常数代换法2，消参法3，双换元法4，二次商式的最值5，常见求最值模型等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练2
\l "_Tc170135645" 题型一、条件等式求最值2
\l "_Tc170135645" 题型二、常数代换法2
\l "_Tc170135646" 题型三、消参法3
\l "_Tc170135647" 题型四、双换元法4
\l "_Tc170135648" 题型五、二次（一次）商式的最值5
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（13题）8
一、重要不等式
，有，当且仅当时，等号成立.
二、基本不等式
如果，，则，当且仅当时，等号成立.
叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
三、与基本不等式相关的不等式
（1）当时，有，当且仅当时，等号成立.
（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立.
（3）当时，有，当且仅当时，等号成立.
四、利用基本不等式求最值
已知，，那么
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.
五、利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.
(4)消参法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
六、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号
【题型一 条件等式求最值】
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（23-24高一上·云南大理·阶段练习）已知，则的最小值是 .
4．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ．
5．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为
【题型二 常数代换法】
一、单选题
1．（23-24高一上·山东·期中）已知，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．
3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．6
4．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知且，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
5．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【题型三 消参法】
一、单选题
1．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．6D．
3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若，且，的最小值为（ ）
A．15B．C．17D．
4．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ．
6．（23-24高一上·浙江·期中）已知实数，，且满足，则的最小值是 .
【题型四 双换元法】
一、填空题
1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ．
2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ．
3．（22-23高三上·江苏泰州·阶段练习）已知，，则的最小值 .
【题型五 二次（一次）商式的最值】
一、单选题
1．（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）设 ,则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ．
4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 .
5．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ．
一、单选题
1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
2．（23-24高一上·重庆·期末）已加正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．10D．11
3．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．D．
4．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则的最小值为（ ）
A．5B．C．4D．
5．（23-24高一下·湖南·开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．2
6．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、多选题
8．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下面不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．最大值为8D．的最大值为6
三、填空题
10．（24-25高一上·上海·课后作业）设、是正实数，给出以下不等式：①；②；③，其中恒成立的为 （填序号）．
11．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若实数，满足，则的最大值是 ．
（2）设，则的最小值是 ．
12．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ．
13．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 .
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练2
\l "_Tc170135645" 题型一、条件等式求最值2
\l "_Tc170135645" 题型二、常数代换法2
\l "_Tc170135646" 题型三、消参法3
\l "_Tc170135647" 题型四、双换元法4
\l "_Tc170135648" 题型五、二次（一次）商式的最值5
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（13题）8
一、重要不等式
，有，当且仅当时，等号成立.
二、基本不等式
如果，，则，当且仅当时，等号成立.
叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
三、与基本不等式相关的不等式
（1）当时，有，当且仅当时，等号成立.
（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立.
（3）当时，有，当且仅当时，等号成立.
四、利用基本不等式求最值
已知，，那么
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.
五、利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.
(4)消参法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
六、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号
【题型一 条件等式求最值】
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（23-24高一上·云南大理·阶段练习）已知，则的最小值是 .
4．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ．
5．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为
【题型二 常数代换法】
一、单选题
1．（23-24高一上·山东·期中）已知，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．
3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．6
4．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知且，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
5．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【题型三 消参法】
一、单选题
1．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．6D．
3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若，且，的最小值为（ ）
A．15B．C．17D．
4．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ．
6．（23-24高一上·浙江·期中）已知实数，，且满足，则的最小值是 .
【题型四 双换元法】
一、填空题
1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ．
2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ．
3．（22-23高三上·江苏泰州·阶段练习）已知，，则的最小值 .
【题型五 二次（一次）商式的最值】
一、单选题
1．（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）设 ,则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ．
4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 .
5．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ．
一、单选题
1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
2．（23-24高一上·重庆·期末）已加正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．10D．11
3．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．D．
4．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则的最小值为（ ）
A．5B．C．4D．
5．（23-24高一下·湖南·开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．2
6．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、多选题
8．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下面不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．最大值为8D．的最大值为6
三、填空题
10．（24-25高一上·上海·课后作业）设、是正实数，给出以下不等式：①；②；③，其中恒成立的为 （填序号）．
11．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若实数，满足，则的最大值是 ．
（2）设，则的最小值是 ．
12．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ．
13．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 .
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