专题01 集合（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略练习（人教A版2019必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练2
\l "_Tc170135645" 题型一、集合的子集、真子集及参数问题2
\l "_Tc170135646" 题型二、集合的交、并、补运算及参数问题3
\l "_Tc170135647" 题型三、韦恩图及容斥原理的应用4
\l "_Tc170135648" 题型四、集合中的结构不良问题5
\l "_Tc170135648" 题型五、集合中的新定义问题6
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（12题）8
说明：试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定：
一、集合的有关概念
1．集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉．
4．五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
二、集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AB.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
三、集合的基本运算
四、集合中的新定义问题
1.集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
2.集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
3.集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
4.集合新定义问题处理步骤
①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么
②看：看所求是什么？
③代：将已知条件代入新定义的要素
④解：结合数学知识进行解答
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
【题型一 集合的子集、真子集及参数问题】
一、单选题
1．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，.则集合M，P之间的关系为（ ）
A． B．C．D．
二、填空题
2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 .
3．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中：
①；②；
③；④．
与集合相等的集合序号是 .
4．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合，对它的非空子集，将中的每个元素都乘以再求和，如，可求得和为，试对的所有非空子集，求这些和的总和 .
5．（22-23高二下·北京·期中）已知全集，非空集合. 若在平面直角坐标系中，对中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题：
①若，则；
②若，则S中至少有8个元素；
③若，则S中元素的个数可以为奇数；
④若，则.
其中正确命题的序号为 ．
【题型二 集合的交、并、补运算及参数问题】
一、单选题
1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（ ）
A．若P有2个元素，则Q有3个元素
B．若P有2个元素，则有4个元素
C．若P有2个元素，则有1个元素
D．存在满足条件且有3个元素的集合P
2．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（ ）
A．1B．C．D．与的取值有关
二、填空题
3．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 .
4．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则实数的值所组成的集合为 ．
三、解答题
5．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，；
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
6．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，且满足，则．
(1)求出只含2个元素的集合；
(2)满足题设条件的集合共有几个？列举出来．
【题型三 韦恩图及容斥原理的应用】
一、单选题
1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记
是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出（ ）
A．16B．17C．18D．19
4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（ ）．
A．B．
C．D．
二、填空题
5．（23-24高一上·陕西·阶段练习）某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论：
①同时报名舞蹈和报名太极的有3人；
②只报名舞蹈的有36人；
③只报名声乐的有20人；
④报名两门课程的有14人.
其中，所有正确结论的序号是 .
【题型四 集合中的结构不良问题】
一、解答题
1．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）在①，②这二个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.设集合_________，集合.
(1)若集合的子集有2个，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.
2．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知.
(1)若，求；
(2)在①“”是“”的充分不必要条件；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.
问题：若__________，求实数的取值范围构成的集合.
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分.
3．（22-23高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，.
(1)若，求；
(2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.
问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【题型五 集合中的新定义问题】
一、单选题
1．（24-25高一上·上海·单元测试）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1），；（2）对于X的任意子集A，B，当且时，有；（3）对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M——集合类”，例如：是集合的一个“M——集合类”．已知，则所有含{b，c}的“M——集合类”的个数为（ ）．
A．9B．10C．11D．12
2．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对B．①对②错C．①错②对D．①错②错
二、填空题
3．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 .
三、解答题
4．（23-24高一上·北京·阶段练习）设整数集合，其中，且对于任意，若，则．
(1)请写出一个满足条件的集合A；
(2)证明：任意，．
5．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于.
(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
(2)证明：且对任意都是的因数；
(3)当时，若，求集合.
6．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数．
(1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集；
(2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由；
(3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值．
7．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）对于正整数集合（），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；
(1)判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）；
(2)求证：四个元素的集合一定不是“可分集合”；
(3)若集合是“可分集合”，证明：为奇数.
8．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合A为非空数集.定义：
(1)若集合，直接写出集合S，T；
(2)若集合且．求证：；
(3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值.
一、单选题
1．（24-25高一上·上海·单元测试）若集合，，则能使成立的所有a的集合是（ ）．
A．B．
C．D．
2．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．5B．6C．8D．9
4．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
二、多选题
5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
三、填空题
6．（2024·辽宁丹东·一模）若为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为 ．
7．（2023高一·全国·专题练习）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题：
①若具有性质，则可以是有限集；
②若具有性质，且，则具有性质；
③若、具有性质，且，则具有性质；
④若、具有性质，则具有性质.
其中所有真命题的序号是 .
四、解答题
8．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合．
(1)设，求集合A的元素个数；
(2)设，证明：若，则．
9．设全集为，或，．
(1)若，求，.
(2)已知________，求实数的取值范围.
从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答.
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
10．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质．
条件（1）：，，且，都至少含有两个元素；
条件（2）：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有．
(1)当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合；
(2)若集合，具有性质，且，，求证：；
(3)若存在集合，具有性质，求的最大值．
11．（2024·广西·模拟预测）已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性．
(1)判断集合和集合是否具有“包容”性；
(2)若集合具有“包容”性，求的值；
(3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C．
12．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域．
(1)求元素个数最小的数环；
(2)证明：记，证明：是数域；
(3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由．
定义
名称
符号
闭区间
开区间
半闭半开区间
半开半闭区间
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为CUA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x ∉A}