高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精练，共5页。试卷主要包含了基本不等式证明2，柯西不等式证明3，权方和不等式4等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练2
\l "_Tc170135645" 题型一、基本不等式证明2
\l "_Tc170135646" 题型二、柯西不等式证明3
\l "_Tc170135647" 题型三、权方和不等式4
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（9题）4
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
3.扩展：，当且仅当时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.
二、权方和不等式
权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立.
证明1：
要证
只需证
即证
故只要证
当且仅当时，等号成立
即，当且仅当时，等号成立.
证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立．
推广1：当时，等号成立．
推广:2：若，则，当时，等号成立.
推广3：若，则，当时，等号成立.
【题型一 基本不等式证明】
一、解答题
1．（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数.
(1)证明：；
(2)若，证明：.
(3)已知是正数，且，求证：．
2．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数.
(1)若，证明：；
(2)若，求的最小值.
3．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：；
（2）已知，，，求证：．
4．（2023·全国·模拟预测）已知，且．
(1)求证：；
(2)求的最大值．
5．（22-23高一上·天津·期中）已知，.
(1)求证：；
(2)求的最大值.
【题型二 柯西不等式证明】
一、解答题
1．（22-23高一上·江西景德镇·阶段练习）已知，，，且.
(1)求证：；
(2)求证：.
2．（2023·广西南宁·二模）已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)若，则；
(2).
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知均为正数，且．
(1)证明：；
(2)求的最小值．
4．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）（1）已知，求的最大值.
（2）已知且，求的最大值.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足．
(1)若，求证：；
(2)若a，b，，求证：．
【题型三 权方和不等式】
一、填空题
1．（2023高三·全国·专题练习）已知正数，，满足，则的最小值为
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的最小值是 ．
3．（2023高三·全国·专题练习）已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 .
一、填空题
1．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 .
2．（2023高三·全国·专题练习）已知，求的最小值为
二、解答题
3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知、为正实数，且满足．证明：．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知均为正实数，且．证明：
(1)；
(2)若，则．
5．（2024·四川南充·三模）若a，b均为正实数，且满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.
6．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明：
(1)；
(2)．
7．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值．
8．（22-23高一上·广东广州·阶段练习）已知正实数a，b，c满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
9．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知，，均为正数
(1)求证：；
(2)若，求证：．