人教版（2024）九年级下册27.2.2 相似三角形的性质教学ppt课件

这是一份人教版（2024）九年级下册27.2.2 相似三角形的性质教学ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了学习目标，新课引入，新知学习，课堂小结，A①和②，B②和③，C①和③，D①和④，符号语言，∠ADF∠CDE等内容，欢迎下载使用。
1. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. 2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算.
回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？
一 三边成比例的两个三角形相似
任意画一个 △ABC ，再画一个 △A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC 的各边长的 k (k>0)倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？
通过测量不难发现∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽ △A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.
证明：在线段 A′B′ (或延长线) 上截取 AD = AB，
过点 D 作 DE∥B′C′ 交A′C′于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △A′DE ∽ △A′B′C′.
∴ DE = BC，A′E = AC.
∴△A′DE ≌ △ABC，∴△ABC∽△A′B′C′ .
又 ∵ ，A′D = AB，
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．
例1. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm，A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 24 cm.
解：相似. 理由如下：∵ ∴ ∴△ABC ∽ △A′B′C′.
1. (一题多解)如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，求证：△ABC ∽ △DBA.
∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC ∴△ABC ∽ △DBA.
2. 如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连接小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是(　　)
解析：①中三边：2a 、 、②中三边：2a 、 、5a③中三边：2a 、 、④中三边： 、 、5a
3.如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D， E， F分别是AB， BC， CA的中点
∴DE= AC ，DF= BC，EF= AB
二 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
如图，在 △ABC 与△A′B′C′中，已知∠A = ∠A′，
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥ B′C′，∴ △A′DE ∽ △A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
对于△ABC 和 △A′B′C′，如果 ∠B = ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
不一定，如下图，显然∠C和∠C'不相等
结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
例2. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
∠A = 120° ，AB = 7 cm ，AC = 14 cm，∠A′ = 120° ，A′B′ = 3 cm ，A′C′= 6 cm，
解：相似. 理由如下：∵ ∴ ∴△ABC ∽ △A′B′C′.
∵ ∠ABC = ∠DBA∴△ABC ∽ △DBA.
2. 如图 △AEB 和 △FEC ( 填“相似”或“不相似”) .
3.根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm．
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，解得 AP = 9；当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和△ABC 相似．
4. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
1如图，在菱形ABCD，∠ADE，∠ CDF分别交BC，AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE=∠ CDF．
(1)求证：CE=AF．
解：∵∠ADE=∠CDF，∴∠ADF=∠CDE，∵四边形ABCD是菱形∴AD=CD，∠DAF=∠DCE在△ADF和△CDE中
∴△ ADF ≌ △ CDE(ASA)∴AF=CE
2.如图，在△ABC 中，AB=10 cm，BC=20 cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动.如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，经过几秒钟后，△PBQ 与△ABC 相似?
对应关系不明确,勿忘分类讨论本题没有明确两个三角形的对应元素,所以要分情况过论.由于∠B 是公共角,所以点B 和点B 是对应点,要分两种情况讨论.
解：设经过 t s 后，△PBQ 与△ABC 相似，那么 AP= 2 t cm，BQ=4t cm，BP=(10-2t) cm.因为∠PBQ =∠ABC，所以有两种情况：(1)当 时，△PBQ∽△ABC，此时 ，解得 t =2.5.所以经过 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似.
(2)当 时，△PBQ∽△CBA，此时 ，解得 t=1，所以经过 1 s 后，△PBQ 与△ABC 相似.综上所述，经过 1 s 或 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似.