吉林省长春吉大附中实验学校2024-2025学年高一上学期月考测试（一） 数学试卷（含解析）

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考试时间：120分钟 试卷满分：150分
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第I卷（选择题，共58分）
一、单项选择题（本大题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.
1. 若集合，则集合 （ ）
A B.
C. D.
2. 命题：，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ）
A. 充分条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充要条件D. 必要条件
4. “生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为（ ）
A. 15B. 20C. 25D. 35
5. 已知，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，当时，取得最小值为b，则（ ）
A. B. 2C. 3D. 8
7. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知全集，集合，，则（ ）
A. 子集有个B. C. D. 中的元素个数为
10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）
A. 且B.
C. D. 对任意恒成立
11. 已知正数满足，则下列结论正确是（ ）
A. 的最大值为1B. 的最小值为4
C. 的最小值为9D. 的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设集合，且，则实数m的值为______.
13. 已知关于一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________.
14. 对于一个由整数组成的集合A，A中所有元素之和称为A的“小和数”，A的所有非空子集的“小和数”之和称为A的“大和数”.已知集合，则B的“小和数”为_________，B的“大和数”为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合．
（1）若时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
16. 已知命题：，为假命题，非空集合.
（1）求实数a的取值集合A；
（2）设：；：，若是的必要不充分条件，求实数的范围.
17. （1）已知且，试比较与的大小；
（2）已知且，且，求证：.
18. 原定于2022年9月10日至25日在中国杭州举办的第19届亚洲运动会延期至2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会.杭州亚组委在亚奥理事会和中国奥委会的指导下，有关各方共同努力，为全世界人民呈现了一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会.运动会期间，杭州某互联网公司为保证直播信号的流畅，拟加大网络的研发投入.据了解，该公司原有员工200人，平均投入万元/人，现把该公司人员调整为两类：运营人员和服务人员，其中运营人员有名，调整后运营人员的人均投入调整为万元/人，服务人员的人均投入增加．

（1）若使调整后服务人员的总投入不低于调整前的200人的总投入，则调整后的服务人员最多有多少人？
（2）现在要求调整后服务人员的总投入始终不低于调整后运营人员的总投入，求的最大值及此时运营人员的人数．
19. 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；
（2）当时，解关于的不等式；
（3）当时，不等式有解，求实数的取值范