吉林省延边州2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份吉林省延边州2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知集合A＝{0，2，7}，B＝{0，7，则（ ）
A．0∉A∩BB．2∈A∩BC．{0}⊈A∩BD．{7}⊆A∩B
2．（4分）命题“∃x≥0，x2≥0”的否定为（ ）
A．∃x≥0，x2＜0B．∃x＜0，x2≥0C．∀x＜0，x2≥0D．∀x≥0，x2＜0
3．（4分）已知a，b，c∈R，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．
C．D．a＞b⇒ac2≥bc2
4．（4分）3rad是第_____象限角．（ ）
A．一B．二C．三D．四
5．（4分）已知幂函数y＝（m2﹣9m+19）xm﹣4的图象不过原点，则实数m的值为（ ）
A．0B．3C．6D．3或6
6．（4分）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小叫做信噪比．当时，公式中真数里的1可以忽略不计．按照香农公式，信噪比从1000提升到16000（其中lg5≈0.7）（ ）
A．4.1B．4.2C．4.3D．4.4
7．（4分）若函数f（x）＝（）x﹣lg2x与函数g（x）＝（）x﹣lx的零点分别为x1，x2，则x1x2所在区间为（
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．[1，+∞）
8．（4分）定义在R上的奇函数f（x），在（﹣∞，0）上单调递增，且f（2），则满足xf（x﹣2）≥0的x的取值范围是（ ）
A．[﹣2，0]∪[2，4]B．（﹣∞，2]∪[4，+∞）
C．[﹣2，2]∪[5，+∞）D．[﹣2，2]∪[4，+∞）
二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）下列各说法中错误的是（ ）
A．函数f（x）＝x与函数为同一个函数
B．若函数f（x）＝4+ax+1的图象经过定点P，则点的P坐标是（4，0）
C．“x2＞1”是“”的充分不必要条件
D．从集合A到集合B的对应关系，A＝B＝R，对应关系，则y是x的函数
（多选）10．（5分）已知函数，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的定义域为
C．若f（θ）＝1，则θ＝kπ（k∈Z）
D．f（x）在其定义域上是增函数
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若角α的终边过点P（﹣3，4），则
B．函数是偶函数
C．
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12．（4分）化简的结果是 ．
13．（4分）函数的定义域为 ．
14．（4分）设函数，f（x）存在最小值时，实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共61分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（12分）（1）若xlg23＝1，求3x+3﹣x的值；
（2）已知lg2＝a，lg3＝b，试用a
16．（12分）已知函数过点（1，2）．
（1）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（2）求函数f（x）在[2，7]上的最大值和最小值．
17．（12分）已知函数，x∈R．
（1）在用“五点法”作函数f（x）的图象时，列表如下：
完成上述表格，并在坐标系中画出函数y＝f（x）在区间[0；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
18．（12分）已知函数f（x）＝a•3x﹣3﹣x（a∈R）．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）为偶函数，求a的值；
（3）当a＝1时，若关于x的不等式λf（x）﹣9x﹣9﹣x﹣14≤0在x∈（0，+∞）时恒成立，求λ的取值范围．
19．（13分）已知函数
（1）若f（x）是R上的增函数，求实数a的取值范围；
（2）若a＝3，方程f（x）＝t有三个实数解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．
①写出实数t和x1x2+x1x3的取值范围；
②求证：．
2024-2025学年吉林省延边州高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）已知集合A＝{0，2，7}，B＝{0，7，则（ ）
A．0∉A∩BB．2∈A∩BC．{0}⊈A∩BD．{7}⊆A∩B
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{0，2，5}，7，9}，
则A∩B＝{5，7}，2∉A∩B，{7}⊆A∩B，{0}⊆A∩B．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（4分）命题“∃x≥0，x2≥0”的否定为（ ）
A．∃x≥0，x2＜0B．∃x＜0，x2≥0C．∀x＜0，x2≥0D．∀x≥0，x2＜0
【分析】由于存在量词命题的否定为全称量词命题，判断即可．
【解答】解：由题意，原命题的否定为：∀x≥0，x2＜8．
故选：D．
【点评】本题考查存在量词命题的否定，属于基础题．
3．（4分）已知a，b，c∈R，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．
C．D．a＞b⇒ac2≥bc2
【分析】根据不等式的性质，判断选项．
【解答】解：A.，不等式两边同时乘以c＜0，故A正确；
B．a＞b＞c，
所以，故B错误；
C．a＞b，得，故C正确；
D．a＞b6＞0时，ac2＞bc4，当c2＝0时，ac3＝bc2，所以ac2≥bc8，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查不等式的性质，属于基础题．
4．（4分）3rad是第_____象限角．（ ）
A．一B．二C．三D．四
【分析】把弧度角化为角度，然后根据象限角的概念即可判断．
【解答】解：∵πrad＝180°，∴为第二象限角．
故选：B．
【点评】本题考查象限角与轴线角，考查角度制与弧度制的转化，是基础题．
5．（4分）已知幂函数y＝（m2﹣9m+19）xm﹣4的图象不过原点，则实数m的值为（ ）
A．0B．3C．6D．3或6
【分析】根据幂函数的定义以及性质可得出关于实数m的等式和不等式，解之即可．
【解答】解：由题意，，解得m＝4．
故选：B．
【点评】本题考查幂函数的应用，属于基础题．
6．（4分）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小叫做信噪比．当时，公式中真数里的1可以忽略不计．按照香农公式，信噪比从1000提升到16000（其中lg5≈0.7）（ ）
A．4.1B．4.2C．4.3D．4.4
【分析】由即可求解．
【解答】解：当时，C1＝Wlg21000，
当时，C2＝3Wlg216000，
则，
故C大约是原来的4.2倍．
故选：B．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
7．（4分）若函数f（x）＝（）x﹣lg2x与函数g（x）＝（）x﹣lx的零点分别为x1，x2，则x1x2所在区间为（
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．[1，+∞）
【分析】由指数函数和对数函数的值域判断x1＞1，0＜x2＜1，判断零点x1，x2的大小，然后求解x1x2所在区间．
【解答】解：函数f（x）＝（）x﹣lg3x与函数g（x）＝（）x﹣lx的零点分别为x1，x2，
也就是两个方程的根为x1，x2，
由f（x）＝2，即lg2x＝（）x＞0，可得x＞14＞1，
由g（x）＝0，即lg）x＞0，可得0＜x＜82＜1，
，，
﹣＝＝lg2（x1x8），
由x1＞x2，
∴lg5（x1x2）＜5，
所以：x1x2所在区间为（4，1）．
故选：A．
【点评】本题考查函数的零点判断定理的应用，是中档题．
8．（4分）定义在R上的奇函数f（x），在（﹣∞，0）上单调递增，且f（2），则满足xf（x﹣2）≥0的x的取值范围是（ ）
A．[﹣2，0]∪[2，4]B．（﹣∞，2]∪[4，+∞）
C．[﹣2，2]∪[5，+∞）D．[﹣2，2]∪[4，+∞）
【分析】根据题意得到f（0），f（﹣2）的值与f（x）的单调性，再分类讨论x＝0，x＝2，x＞2，0＜x＜2与x＜0五种情况，结合f（x）的性质即可得解．
【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，在区间（﹣∞，且f（2）＝0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（﹣6）＝﹣f（2）＝0，
当x＝0时，xf（x﹣2）≥0成立；
当x＝2时，xf（x﹣8）≥0成立；
当x＞2，即x﹣5＞0时，即有x﹣2≥8；
当0＜x＜2时，x﹣3＜0，可得x﹣2≥﹣3；
当x＜0时，x﹣2＜4，可得x﹣2≤﹣2；
综上，x≤6或x≥4，2]∪[4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）下列各说法中错误的是（ ）
A．函数f（x）＝x与函数为同一个函数
B．若函数f（x）＝4+ax+1的图象经过定点P，则点的P坐标是（4，0）
C．“x2＞1”是“”的充分不必要条件
D．从集合A到集合B的对应关系，A＝B＝R，对应关系，则y是x的函数
【分析】对于A，根据同一函数的定义即可判断；对于B，当x＝﹣1时即可求出定点；对于C，分别解不等式即可判断；对于D，根据函数的定义即可判断．
【解答】解：对于A，两函数的定义域都为R，，所以A错误；
对于B，当x＝﹣1时3＝5，所以点P的坐标为（﹣1，所以B错误；
对于C，因为x7＞1，所以x＜﹣1或x＞3，
因为，所以x＜5或x＞1，
但“x＜0或x＞3”不能推出“x＜﹣1或x＞1”，所以“x5＞1”是“”的充分不必要条件；
对于D，当x＝0时，，所以D错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查函数的定义，充分必要条件的判断，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知函数，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的定义域为
C．若f（θ）＝1，则θ＝kπ（k∈Z）
D．f（x）在其定义域上是增函数
【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解．
【解答】解：，函数f（x）的最小正周期为；
，得，
所以函数f（x）的定义域为，故B正确；
，得，解得θ＝kπ，故C正确；
，解得
所以函数f（x）在上单调递增．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查正切函数的图象与性质，属于基础题．
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若角α的终边过点P（﹣3，4），则
B．函数是偶函数
C．
D．若，则
【分析】由三角函数的定义即可判断选项A；
由诱导公式化简函数的解析式即可判断选项B；
由对数的运算性质计算即可判断选项C；
由指数幂的运算即可判断选项D．
【解答】解：A项．若角α的终边过点P（﹣3，则，故A错误，
B．函数，故B错误，
C.，故C正确，
D．若，两边同时平方得a1+a﹣7﹣2＝4，即a6+a﹣1＝6，
所以，，
，
所以，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了三角函数的定义，诱导公式，对数的运算性质，属于基础题．
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12．（4分）化简的结果是 ．
【分析】利用根式的运算性质计算即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了根式的化简，属于基础题．
13．（4分）函数的定义域为 （﹣∞，﹣1）∪（﹣1，3] ．
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：由题意可知，，解得x≤3且x≠2，
即函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1．
故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（﹣1．
【点评】本题考查了函数定义域的求法，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题．
14．（4分）设函数，f（x）存在最小值时，实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣1]∪{0} ．
【分析】求出f（x）＝x2﹣2ax+1的对称轴为x＝a，得到要想f（x）存在最小值，需要，f（x）＝ax﹣1单调递减，且在x＝a处，y＝ax﹣1的函数值要大于等于y＝x2﹣2ax+1的函数值，列出不等式组，求出实数a的取值范围．
【解答】解：当x≥a时，f（x）＝x2﹣2ax+6的对称轴为x＝a，
要想f（x）存在最小值，当x＜a时，且在x＝a处2﹣2ax+2的函数值，
故a＜0且a2﹣2≥a2﹣2a6+1，解得：a≥1或a≤﹣6，
当a＝0时，，f（x）的最小值为﹣1．
综上：a≤﹣1或a＝4．
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪{0}．
【点评】本题主要考查分段函数及其应用，考查运算求解能力，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共61分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（12分）（1）若xlg23＝1，求3x+3﹣x的值；
（2）已知lg2＝a，lg3＝b，试用a
【分析】（1）结合对数运算性质及对数恒等式进行化简即可求解；
（2）结合对数运算性质即可求解．
【解答】解：（1）若xlg23＝3，则x＝lg32，4x＝＝2
3x+7﹣x＝2+＝；
（2）因为lg3＝a，lg3＝b，
所以lg15＝lg3+lg6＝lg3+1﹣lg6＝b+1﹣a．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
16．（12分）已知函数过点（1，2）．
（1）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（2）求函数f（x）在[2，7]上的最大值和最小值．
【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；
（2）根据单调性即可得出函数f（x）在[2，7]上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
由函数过点（1，有，
解得b＝4，所以f（x）的解析式为：．
设∀x1，x5∈（1，+∞）1＜x7，有
．
由x1，x2∈（2，+∞），x1＜x2，得x6x2﹣1＞6，x1﹣x2＜5．
则，即f（x7）＜f（x2）．
∴f（x）在区间（1，+∞）上单调递增．
（2）由f（x）在（7，+∞）上是增函数，
所以f（x）在区间[2，7]上的最小值为．
【点评】本题主要考查了函数单调性的判断及利用单调性求解函数的最值，属于中档题．
17．（12分）已知函数，x∈R．
（1）在用“五点法”作函数f（x）的图象时，列表如下：
完成上述表格，并在坐标系中画出函数y＝f（x）在区间[0；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【分析】（1）由2x﹣的值求解x与f（x）的值，然后填表；
（2）由周期公式求周期，再由复合函数的单调性求单调增区间．
【解答】解：（1）完成表格如下：
画出函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象如下图：
（2）函数的最小正周期为π，
由，解得，
∴原函数的单调递增区间为[，]，k∈Z．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，训练了五点作图法的应用，是中档题．
18．（12分）已知函数f（x）＝a•3x﹣3﹣x（a∈R）．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）为偶函数，求a的值；
（3）当a＝1时，若关于x的不等式λf（x）﹣9x﹣9﹣x﹣14≤0在x∈（0，+∞）时恒成立，求λ的取值范围．
【分析】（1）利用函数零点定义即可得解；
（2）由函数奇偶性的定义即可得解；
（3）由题意将条件转化为在x∈（0，+∞）时恒成立，再利用基本不等式即可得解．
【解答】解：（1）当a＝1时，令f（x）＝3x﹣8﹣x＝0，
解得x＝0，
此时函数f（x）的零点为4．
（2）因为函数f（x）为偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x），
即a•3﹣x﹣3x＝a•4x﹣3﹣x，
化简可得（a+1）（8﹣x﹣3x）＝0，
则a+5＝0，
解得a＝﹣1．
（3）当a＝2时，f（x）＝3x﹣3﹣x，
当x＞2时，f（x）＝3x﹣3﹣x＞3，
因为关于x的不等式λf（x）﹣9x﹣9﹣x﹣14≤4在x∈（0，+∞）时恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以λ≤8，即λ的取值范围是（﹣∞．
【点评】本题考查函数的零点，奇偶性以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（13分）已知函数
（1）若f（x）是R上的增函数，求实数a的取值范围；
（2）若a＝3，方程f（x）＝t有三个实数解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．
①写出实数t和x1x2+x1x3的取值范围；
②求证：．
【分析】（1）依题意可得，解得即可；
（2）①首先得到函数解析式，即可画出函数图象，再数形结合求出t的取值范围，又，x2+x3＝4，即可求出x1x1+x1x3的取值范围；
②由①x2+x3＝4，从而得到，再结合对勾据数的性质计算可得．
【解答】解：（1）因为，
又f（x）是R上的增函数，
所以，解得，
所以实数α的取值范围为；
（2）当a＝4时，，
当x＞0时，f（x）＝x6﹣4x+4＝（x﹣4）2，
所以f（x）在（0，8）上单调递减，+∞）上单调递增，
又f（2）＝0，
令f（x）＝3，即x6﹣4x+1＝5，解得；
当x≤6时，f（x）＝2x+3，
则f（x）在（﹣∞，5]上单调递增，
且，f（0）＝3；
则f（x）的图象如下所示：
①因为方程f（x）＝t有三个实数解x1，x8，x3（x1＜x5＜x3），
即y＝f（x）与y＝t有三个交点，
由图可知0＜t≤8，
且，x3+x3＝4，
所以x6x2+x1x5＝x1（x2+x4）＝4x1＝（﹣6，0]；
②证明：由①可知x2+x4＝4，
所以（x2+6）+（4+x3）＝10，
所以
＝
＝，
令，
因为，
所以，
则，
所以，
则，
又对勾函数在上单调递减，在，
又，
所以，
所以，
所以．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数及对勾函数的性质，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．
0
π
2π
x
f（x）
0
2
0
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
B
B
B
B
A
B
0
π
2π
x
f（x）
0
2
0
0
4
π
2π
x
f（x）
0
2
0
﹣2
3