2024-2025学年吉林省长春市吉大附中实验学校高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省长春市吉大附中实验学校高二（上）第一次月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(1,3,5)，点Q(−1,3,−5)，则( )
A. 点P和点Q关于x轴对称B. 点P和点Q关于y轴对称
C. 点P和点Q关于z轴对称D. 点P和点Q关于原点中心对称
2.向量a=(2x,1,3)，b=(1,−2y,9)，若a//b，则( )
A. x=−16，y=23B. x=16，y=−32
C. x=12，y=−12D. x=y=1
3.直三棱柱ABC−A1B1C1中，若CA=a，CB=b，CC1=c，则A1B=( )
A. a+b−cB. a−b+cC. −a+b+cD. −a+b−c
4.下列可使a，b，c构成空间的一个基底的条件是( )
A. a，b，c两两垂直B. b=λc
C. a=mb+ncD. a+b+c=0
5.已知2b=a+c，则直线ax+by+c=0恒过定点( )
A. (1,−2)B. (1,2)C. (−1,2)D. (−1,−2)
6.已知⊙C1：2x2+2y2+4x+16y−16=0，⊙C2：2x2+2y2+8x−8y−4=0，则两圆的位置关系为( )
A. 相切B. 外离C. 相交D. 内含
7.已知点P为椭圆C：x216+y212=1上任意一点，直线l过⊙M：x2+y2−4x+3=0的圆心且与⊙M交于A，B两点，则PA⋅PB的取值范围是( )
A. [3,35]B. (3,35]C. [2,6]D. (2,6]
8.已知圆C1：x2+y2−2x−4y−7=0和圆C2：(x+3)2+(y+1)2=12交于两点，点P在圆C1上运动，点Q在圆C2上运动，则下列说法正确的是( )
A. 圆C1和圆C2关于直线8x+6y−5=0对称
B. 圆C1和圆C2的公共弦长为2 23
C. |PQ|的取值范围为[0,5+2 3]
D. 若M为直线x−y+8=0上的动点，则|PM|+|MQ|的最小值为 109−4 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−1,2,0)，b=(−2,4,0)，则下列正确的是( )
A. a/​/bB. a⊥b
C. |b|=2|a|D. a在b方向上的投影向量为(−1,2,0)
10.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达⋅芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达⋅芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体.若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是( )
A. CQ=−2AB−AD+2AA1B. 点C1到直线CQ的距离是 53
C. |CQ|=3D. 异面直线CQ与BD所成角的正切值为4
11.已知实数x，y满足方程x2+y2−4x+1=0，则下列说法正确的是( )
A. y−x的最大值为 6−2B. x2+y2的最大值为7+4 3
C. yx的最大值为 32D. |x|+|y|的最小值为2− 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.O为空间任意一点，若OP=34OA+18OB+tOC，若ABCP四点共面，则t= ______．
13.已知点A(−2,0)和点B(2,0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于−34，则动点P的轨迹方程为______．
14.已知点P为圆C1:(x−5)2+y2=4上位于第一象限内的点，过点P作圆C2:x2+y2−2ax+a2−a+2=0(2−1)，
椭圆C经过点M(1,32)，
则12+λ+94(1+λ)=1，解得λ=2或λ=−74(舍去)，
故椭圆C的标准方程为x24+y23=1．
16.解：(1)kAB=6−43−1=1，AB的中点为(2,5)，AB的垂直平分线方程为y−5=−1×(x−2)，即y=−x+7，
将y=−x+73x−4y=0联立可得x=4y=3，即圆C的圆心坐标为C(4,3)，
圆C的半径为|BC|= (3−4)2+(6−3)2= 10，
所以圆C的标准方程为(x−4)2+(y−3)2=10；
(2)设圆心C到直线l的距离为d，由弦长公式得2 r2−d2=2 10−d2=2，故d=3，
若直线l的斜率不存在，则x=1，此时圆心C(4,3)到直线l的距离为3，符合题意．
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y−1=kx−k，即kx−y−k+1=0，
所以d=|4k−3−k+1| k2+1=3，解得k=−512，
则直线l的方程为−512x−y+1712=0．
故直线l的方程为x=1或5x+12y−17=0．
17.解：(1)证明：
因为FB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以FB⊥AD．
又FM⊥AD，且FB∩FM=F，
所以AD⊥平面BFM．
因为BC//AD，所以BC⊥平面BFM．
(2)如图，过点E作EN⊥AD，垂足为N，则FM//EN．
又EF//AD，所以四边形FMNE是平行四边形，
又EN⊥AD，所以四边形FMNE 是 矩形，
又四边形ADEF为等腰梯形，且AD=4，EF=2，
所以AM=1．
由(1)知AD⊥平面BFM，所以BM⊥AD．
又AB= 2，所以BM=1．
在中，FM= AF2−AM2= 10．
在Rt▵FMB中，∴FB= FM2−BM2=3．
由上述可知，BM，BC，BF两两垂直，以BM，BC，BF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(−1,−1,0)，B(0,0,0)，F(0,0,3)，D(−1,3,0)，E(0,2,3)，
所以AB=(1,1,0)，BF=(0,0,3)，BD=(−1,3,0)，BE=(0,2,3)，
设平面ABF的法向量为m=x1,y1,z1，
由m⋅AB=0m⋅BF=0，得x1+y1=0,z1=0,可取m=(1,−1,0).
设平面BDE的法向量为n=x2,y2,z2，
由n⋅BD=0n⋅BE=0，得−x2+3y2=0,2y2+3z2=0,，可取n=(9,3,−2).
因此，csm,n=m⋅n|m|⋅|n|=9−3 1+1⋅ 81+9+4=3 4747．
依题意可知，平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为3 4747．

18.解：(1)∵x2+y2−2x−2y=0，
∴(x−1)2+(y−1)2=2，即E(1,1)，rE= 2，
∵圆O与圆E内切，
∴|OE|=|r− 2|，即 2=|r− 2|，解得r=2 2或r=0(舍去)，
∴r的值为2 2．
(2)当两条直线中有一条与x轴垂直时，|AB|=|CD|=2r，
故λ=1，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立直线l与圆O的方程，y=kx+1x2+y2=8，化简整理可得，(k2+1)x2+2kx−7=0，
Δ=4k2+28(k2+1)>0，
由韦达定理可得，x1+x2=−2k1+k2，x1x2=−71+k2 ①，
∵OM⋅ON=−7，
∴x1x2+y1y2=−7，
又y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1 ②，
联立①②可得，−7+2k21+k2+8=0，解得k=±1．
(3)直线AB和CD的斜率存在且不为0，
设lAB：y−1=k(x−1)，即kx−y+1−k=0，
lCD：−kx−y+1+k=0，
O到AB的距离为|1−k| k2+1，
∴|AB|=2 8−(|1−k| k2+1)2=2 7k2+2k+7k2+1，
同理|CD|=2 7k2−2k+7k2+1，
则λ=|AB||CD|= 7k2+2k+77k2−2k+7= 1+4k7k2−2k+7= 1+47(k+1k)−2，
当k0时，k+1k≥2(当且仅当k=1时，等号成立)，λ∈(1,2 33],
故实数λ的最大值为2 33．
19.解：(1)因为底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，
所以AD//BC，BC⊥DC，
又BC⊂底面ABCD，
所以PD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PDC，
所以BC⊥平面PDC，
又PC⊂平面PDC，
所以BC⊥PC，
所以∠PBC为直线AD与PB所成的角，即，
设AB=xx>0，则PC= x2+42= x2+16，PB= x2+42+42= x2+32，
在Rt△PBC中sin∠PBC=PCPB= x2+16 x2+32，
又AD×BP=8 5，
所以4 x2+32⋅ x2+16 x2+32=8 5，解得x=2(负值已舍去)，
所以AB=2；
(2)在平面ABCD内过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F，连接PF，
因为PD⊥底面ABCD，BF⊂底面ABCD，
所以PD⊥BF，
又DF∩PD=D，DF、PD⊂平面PDF，
所以BF⊥平面PDF，
又PF⊂平面PDF，
所以BF⊥PF，
所以∠PFD为二面角P−EB−D的平面角，
因为E为AD的中点，
所以DF=2sinπ4= 2，PF= 42+ 22=3 2，
所以cs∠PFD=DFPF= 23 2=13，
设二面角P−EB−A的平面角为θ，则θ=π−∠PFD，
所以csθ=csπ−∠PFD=−cs∠PFD=−13，
即二面角P−EB−A的余弦值为−13；
(3)依题意AD×BP⊥AD，AD×BP⊥BP，又AD×BP=λEM，
所以EM⊥AD，EM⊥BP，
又AD//BC，
所以EM⊥BC，
又PB∩BC=B，PB、BC⊂平面PBC，
所以EM⊥平面PBC，
在平面PDC内过点D作DN⊥PC，垂足为N，
由BC⊥平面PDC，DN⊂平面PDC，
所以BC⊥DN，
又PC∩BC=C，PC、BC⊂平面PBC，
所以DN⊥平面PBC，
在平面PBC内过点N作MN/​/BC交PB于点M，在DA上取点E，使得DE=MN，连接EM，
所以DE//MN且DE=MN，
所以四边形DEMN为平行四边形，
所以EM=DN，又DN=2×4 22+42=4 55，即EM=4 55，
所以λ=AD×BPEM=8 54 55=10．