2023-2024学年吉林省长春市吉大附中实验学校高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市吉大附中实验学校高二（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数y=2cs2x，则y′=( )
A. −2sin2xB. 4sin2xC. 2sin2xD. −4sin2x
2.若抛物线y=mx2(m≠0)上一点(t,2)到其焦点的距离等于3，则( )
A. m=14B. m=12C. m=2D. m=4
3.如图的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BM=12BB1，D1N=13D1D，若MN=xAB+yAD+zAA1，则x+y+z=( )
A. 17
B. 16
C. 23
D. 32
4.椭圆x225+y29=1上的点M到左焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A. 8B. 2C. 4D. 32
5.定义abcd=ad−bc，已知数列{an}为等比数列，且a3=1，a688a8=0，则a7=( )
A. 4B. ±4C. 8D. ±8
6.“a≥ 22”是“圆C1：x2+y2=4与圆C2：(x−a)2+(y+a)2=1有公切线”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，|F1F2|=10，|PF1|−|PF2|=6，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则 d1d2=( )
A. 53B. 125C. 14425D. 2
8.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1内一动点，则EA⋅EC的取值范围是( )
A. [12,1]B. [0,1]C. [−1,0]D. [−12,0]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：x+my+6=0，l2：(m−2)x+3y+2m=0，下列命题中正确的有( )
A. 当m=3时，l1与l2重合B. 若l1//l2，则m=0
C. 当m≠3时，l1与l2相交D. 若l1⊥l2，则m=12
10.设a,b,c是空间一个基底，下列选项中正确的是( )
A. 若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B. 则a,b,c两两共面，但a,b,c不可能共面
C. 对空间任一向量p，总存在有序实数组(x,y,z)，使p=xa+yb+zc
D. 则a+b，b+c，a+c一定能构成空间的一个基底
11.已知数列{an}的前n项积为Tn，a1=2，Tn+1−2=3Tn(n∈N*)，则( )
A. Tn=3n−1B. {an}为递增数列
C. an=3n−13n−1−1D. {Tn}的前n项和为3n+12−n−32
12.已知O为坐标原点，M(2,2)，P，Q是抛物线C：y2=4x上两点，F为其焦点，则下列说法正确的有( )
A. △PMF周长的最小值为3+ 5
B. 若PF=λFQ，则|PQ|最小值为2 2
C. 若直线PQ过点F，则直线OP，OQ的斜率之积恒为−4
D. 若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9π4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一个质点的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式s=3t3−(2t+1)2+1，则当t=1时，该质点的瞬时速度为______ m/s．
14.若函数f(x)=13x3−ax2+x+1存在极值点，则实数a的取值范围为______ ．
15.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，后人一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列{an}，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的通项公式为an= ______ ．
16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F.圆O：x2+y2=a2与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，直线FP与双曲线C交于点Q，且PQ=FP，则双曲线C的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=x3−3lnx．
(1)求f(x)的最小值；
(2)设g(x)=x3+3x−3，证明：f(x)≤g(x)．
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a3=6，_____．
在①S3=a6；②S4=20；③a2+a5+a8=30这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答(注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选”)
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=2an+an，求{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
设函数f(x)=x−x3eax+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−x+1．
(1)求a、b的值；
(2)设函数g(x)=f′(x)，求g(x)的单调区间．
20.(本小题12分)
四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为梯形，其中AB//DC，AB=2BC=2CD=4，∠BCD=60°，平面PBD⊥平面ABCD．
(1)证明：PB⊥AD；
(2)若PB=PD，且PA与平面ABCD所成角的正弦值为3 2222，点F在线段PC上且满足PF−=12FC−，求平面BCF与平面BDF所成角的余弦值．
21.(本小题12分)
已知数列{an}满足anan+2=12an+1(n∈N*),a1=1．
(1)证明：数列{1an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若记bn为满足不等式(12)n22.(本小题12分)
已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点是F1，F2，且C1的离心率为 32，抛物线C2：y2=2px(P>0)的焦点为F2，过OF2的中点Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2 6．
(1)求椭圆C1的标准方程；
(2)设椭圆C1上一动点T满足：OT=λOA+2μOB，其中A，B是椭圆C1上的点，且直线OA，OB的斜率之积为−14，若N(λ,μ)为一动点，点P满足PQ=12F1F2，试探究|NP|+|NQ|是否为定值，如果是，请求出该定值：如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：y=2cs2x，
则y′=−4sin2x．
故选：D．
结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：抛物线y=mx2上一点(t,2)，所以m>0，
抛物线的标准方程为：x2=1my，
所以抛物线的准线方程为：y=−14m，
抛物线y=mx2上一点(t,2)到其焦点的距离等于3，
由抛物线的性质可得：2+14m=3，解得m=14．
故选：A．
利用抛物线方程求解准线方程，结合抛物线的定义，求解m即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵MN=AN−AM，AN=AD+23AA1，AM=AB+12AA1，
∴MN=AD+23AA1−AB−12AA1
=−AB+AD+16AA1，
∴x=−1，y=1，z=16，
∴x+y+z=16．
故选：B．
利用向量的三角形法则、向量的运算性质即可得出．
本题考查了向量的三角形法则、向量的运算性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵椭圆方程为x225+y29=1，
∴椭圆的a=5，长轴2a=10，
可得椭圆上任意一点到两个焦点F1、F2距离之和等于10．
∴|MF1|+|MF2|=10，
∵点M到左焦点F1的距离为2，即|MF1|=2，
∴|MF2|=10−2=8，
∵△MF1F2中，N、O分别是MF1、F1F2中点，
∴|ON|=12|MF2|=4．
故选：C．
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点F1、F2距离之和等于长轴2a，因此求出椭圆的半长轴a=5，从而得到|MF1|+|MF2|=10，根据点M到左焦点F1的距离为2，得到|MF2|=10−2=8，最后在△MF1F2中，利用中位线定理，得到|ON|=12|MF2|=4．
本题以椭圆的焦点三角形为例，给出椭圆上一点到左焦点的距离，求三角形的中位线长．着重考查了三角形中位线定理和椭圆的定义等知识点，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：数列{an}为等比数列，且a3=1，a688a8=0，
所以a6⋅a8−8×8=0，
所以a6⋅a8=64，
则a7=±8，
因为a7与a3符号一致，
故a7=8．
故选：C．
结合已知定义，利用等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：圆C1：x2+y2=4的圆心C1(0,0)，半径r1=2，圆C2：(x−a)2+(y+a)2=1的圆心C2(a,−a)，半径r2=1，
当两圆无公切线时，则两圆内含，
所以两圆的圆心距|C1C2|= a2+a2<|r1−r2|=1，
即 2a2<1，
解得− 22当两圆有公切线时，则a≤− 22或a≥ 22，
故由a≥ 22”可以推出“圆C1：x2+y2=4与圆C2：(x−a)2+(y+a)2=1有公切线”，
反之由“圆C1：x2+y2=4与圆C2：(x−a)2+(y+a)2=1有公切线”推不出“a≥ 22”，
所以“a≥ 22”是“圆C1：x2+y2=4与圆C2：(x−a)2+(y+a)2=1有公切线”的充分不必要条件．
故选：A．
当两圆无公切线时，则两圆内含，求出a的取值范围，进而求出两圆有公切线时a的取值范围，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了圆与圆的位置关系，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：由|F1F2|=10，得2c=10，∴c=5，
又∵|PF1|−|PF2|=6，可得2a=6，即a=3，则c2=a2+b2，得b=4，
∴双曲线C：x29−y216=1，两条渐近线的方程为y=±43x．
设P(x0,y0)，则x029−y0216=1，故16x029−y02=16，
由点到直线的距离公式可得，点P到双曲线C的两条渐近线的距离d1=|43x0−y0| (43)2+1，d2=|−43x0−y0| (43)2+1，
∴d1d2=|43x0−y0| (43)2+1×|43x0+y0| (43)2+1=|16x029−y02|(43)2+1=14425，
两边开方，得 d1d2=125．
故选：B．
由已知求得双曲线方程，设P(x0,y0)，代入双曲线方程，可得16x029−y02=16，再由点到直线的距离公式求解．
本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】A
【解析】解：如图，
以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．
则A(1,0,0)，C(0,1,0)，设E(x,y,1)，则0≤x≤1，0≤y≤1．
∴EA=(1−x,−y,−1)，EC=(−x,1−y,−1)，
∴EA⋅EC=−x(1−x)−y(1−y)+1=(x−12)2+(y−12)2+12．
由二次函数的性质可得：当x=y=12时，EA⋅EC取最小值为12；
当x=0或x=1，且y=0或y=1时，EA⋅EC取得最大值为1．
∴EA⋅EC的取值范围是[12,1]．
故选：A．
由题意画出图形，建立适当的空间直角坐标系，求出EA⋅EC的表达式，再由配方法求解．
本题考查向量数量积的运算与性质，考查运算求解能力，建系求解是关键，是中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，当m=3时，直线l1：x+3y+6=0，直线l2：x+3y+6=0，故A正确，
对于B，∵直线l1：x+my+6=0，l2：(m−2)x+3y+2m=0，l1//l2，
∴1×3−m(m−2)=01×2m−6(m−2)≠0，解得m=−1，故B错误，
对于C，m=−1，满足m≠3，但l1与l2平行，不相交，故C错误，
对于D，当m=0时，两条直线不垂直，舍去，
当m≠0时，l1⊥l2，
则−1m×2−m3=−1，解得m=12，故D正确．
故选：AD．
根据已知条件，结合直线平行与垂直的公式，即可求解．
本题主要考查直线平行与垂直的公式，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：a,b,c是空间一个基底，
对于A，若a⊥b，b⊥c，则a,c所成角不一定是π2，∴a⊥c不一定成立，故A错误；
对于B，由基底的定义和性质得a,b,c两两共面，但a,b,c不可能共面，故B正确；
对于C，根据空间向量基本定理得：
对空间任一向量p，总存在有序实数组(x,y,z)，使p=xa+yb+zc，故C正确；
对于D，∵a,b,c不共面，
假设a+b，b+c，a+c共面，
设a+b=x(b+c)+(1−x)(a+c)，
化简得c=xa+(1−x)b，∴a,b,c共面，故已知矛盾，
∴a+b，b+c，a+c不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：BCD．
根据空间向量的基底的概念，对选项逐一分析，能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查空间向量的基底的概念、空间向量基本定理等基础知识，是基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：由Tn+1−2=3Tn可得Tn+1+1=3(Tn+1)，
故{Tn+1}为等比数列，且公比为3，首项为a1+1=3，
故Tn+1=3n，进而Tn=3n−1，A正确；
当n≥2时，Tn−1=3n−1−1，所以an=TnTn−1=3n−13n−1−1，
当n=1时，a1=2不符合上述表达，
因此an=3n−13n−1−1,n≥22,n=1，故C错误，
当n≥2时，an=3n−13n−1−1=3+23n−1−1，由于{3n−1−1}为单调递增数列，故an=3+23n−1−1为单调递减，故B错误，
{Tn}的前n项和为3(1−3n)1−3−n=3n+12−n−32，故D正确．
故选：AD．
根据等比数列的定义可判断{Tn+1}为等比数列，进而可判断A；根据当n≥2时，an=TnTn−1即可判断C；根据指数式的单调性即可判断B；根据分组求和结合等比求和公式即可判断D．
本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的单调性和数列的分组求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：已知抛物线C：y2=4x，
则F(1,0)，准线方程为x=−1，
对于选项A，过M作MN垂直直线x=−1，且交于点N，
则△PMF的周长为|PM|+|PF|+|MF|≥|MN|+|MF|=3+ (2−1)2+(2−0)2=3+ 5，
即选项A正确；
对于选项B，由PF=λFQ，
则直线PQ过点F，
设直线PQ的方程为x=ky+1，
联立x=ky+1y2=4x，
消x得y2−4ky−4=0，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
则y1+y2=4k，y1y2=−4，
则|PQ|=x1+x2+2=k(y1+y2)+4=4k2+4≥4，
即|PQ|最小值为4，
即选项B错误；
对于选项C，
由选项B可得kOP⋅kOQ=y1y2x1x2=16y1y2y12y22=16y1y2=−4，
即选项C正确；
对于选项D，由线段OF的中垂线方程为x=12，
则△POF外接圆的圆心在直线x=12上，
又△POF外接圆与抛物线C的准线相切，
则该圆的半径为r=12−(−1)=32，
即该圆面积为π×(32)2=9π4，
即选项D正确，
故选：ACD．
由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系逐一判断即可得解．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属基础题．
13.【答案】−3
【解析】解：s=3t3−(2t+1)2+1，
则s′(t)=9t2−4(2t+1)，
当t=1时，s′(1)=9−4×(2+1)=−3，
所以当t=1时，该质点的瞬时速度为−3m/s．
故答案为：−3．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
14.【答案】(−∞,−1)∪(1,+∞)
【解析】解：f(x)=13x3−ax2+x+1，
f′(x)=x2−2ax+1，
若函数f(x)在R上存在极值点，
即f′(x)=0有2个实数根，
故Δ=4a2−4>0，解得：a>1或a<−1，
故答案为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．
求出函数的导数，问题转化为f′(x)=0有2个实数根，根据二次函数的性质求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于基础题．
15.【答案】n(n−1)2+3
【解析】解：数列{an}中，由3，4，6，9，13，18，24，⋯后项减前项，得1，2，3，4，5，6，⋯，
因此当n≥2时，an−an−1=n−1，an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋯+(a2−a1)+a1
=(n−1)+(n−2)+⋯+1+3=(n−1+1)⋅(n−1)2+3=n(n−1)2+3，而a1=3满足上式，
所以该数列的通项公式为an=n(n−1)2+3．
故答案为：n(n−1)2+3．
利用高阶等差数列的定义，结合累加法求得数列的通项公式．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
16.【答案】 5
【解析】解：联立x2+y2=a2y=baxx>0,y>0，解得x=a2cy=abc，即P(a2c,abc)，则|PF|=b，|PO|=a，|OF|=c，
设双曲线C的左焦点为F′，连接PF′，
由于PQ=FP，所以P是线段QF的中点，
因为O是线段FF′的中点，
所以|QF′|=2a，|QF|=2b，
由双曲线的定义可知2b−2a=2a，即b=2a，
∴双曲线的离心率为e= b2a2+1= 5．
故答案为： 5．
依题意，解得P(a2c,abc)，则|PF|=b，|PO|=a，|OF|=c，设双曲线C的左焦点为F′，结合已知条件可得P是线段QF的中点，由此|QF′|=2a，|QF|=2b，进而可得b=2a，由此得解．
本题考查双曲线的定义及其性质，考查离心率的求法，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)=x3−3lnx，x>0，则f′(x)=3x2−3x=3(x3−1)x，
令f′(x)<0，得00，得x>1；
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(1)=1−3ln1=1．
(2)证明：因为f(x)=x3−3lnx,g(x)=x3+3x−3，
所以由f(x)≤g(x)，得x3−3lnx≤x3+3x−3，即lnx+1x−1≥0，
令h(x)=lnx+1x−1,x>0，则h′(x)=1x−1x2=x−1x2，
令h′(x)<0，得00，得x>1；
所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
则h(x)≥h(1)=ln1+1−1=0，即lnx+1x−1≥0恒成立，
所以f(x)≤g(x)．
【解析】(1)对f(x)求导，判断f(x)的单调性，再求出最小值即可；
(2)构造函数h(x)=lnx+1x−1，利用导数证得h(x)≥0恒成立，从而得证．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用综合法证明不等式，考查了函数思想，属中档题．
18.【答案】解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d
若选择条件①S3=a6，则由a3=6，
得a1+2d=63a1+3d=a1+5d，解得a1=2d=2，
∴an=2+2(n−1)=2n；
若选择条件②S4=20，则由a3=6，
得a1+2d=64a1+4×32d=20，解得a1=2d=2，
∴an=2+2(n−1)=2n；
若选择条件③a2+a5+a8=30，则由a3=6，
得a1+2d=63(a1+4d)=30，解得a1=2d=2，
∴an=2+2(n−1)=2n；
(2)由(1)知，选择三个条件中的任何一个，都有an=2n，
∴bn=2an+an=22n+2n=4n+2n，
∴Tn=(41+42+43+⋯+4n)+2(1+2+3+⋯+n)
=4(1−4n)1−4+2×n(1+n)2=43(4n−1)+n2+n．
【解析】(1)根据等差数列的基本量的运算可得a1=2d=2，再利用等差数列与等比数列的通项公式，即可求解；
(2)利用分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式，等差数列与等比数列的求和公式，分组求和法，属中档题．
19.【答案】解：(1)由f(x)=x−x3eax+b，得f′(x)=1−(3x2+ax3)eax+b，
因为f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=−x+1，
所以f(1)=−1+1=0，f′(1)=−1，
即f(1)=1−ea+b=0f′(1)=1−(3+a)ea+b=−1，解得a=−1b=1．
(2)由(1)得g(x)=f′(x)=1−(3x2−x3)e1−x，
所以g′(x)=(3x2−x3)e1−x−(6x−3x2)e1−x=−x(x2−6x+6)e1−x，
令x2−6x+6=0，解得x=3− 3或3+ 3，
由g′(x)<0，可得x(x2−6x+6)>0，解得03+ 3，
由g′(x)>0，可得x(x2−6x+6)<0，解得x<0或3− 3因此，函数g(x)的减区间为(0,3− 3)、(3+ 3,+∞)，增区间为(−∞,0)、(3− 3,3+ 3)．
【解析】(1)求出f′(x)，根据条件，得到关于a、b的方程组，再求出a，b的值；
(2)求得g′(x)=−x(x2−6x+6)e1−x，利用函数的单调性与导数的关系，求出函数g(x)的增区间和减区间即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的切线方程，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
20.【答案】(1)证明：由题设，△BCD为等边三角形，则AB=2BD=4，
又四边形ABCD为梯形，AB//DC，则∠ABD=60°，
在△ABD中，∠ADB=90°，即AD⊥BD，
面PBD⊥面ABCD，面PBD∩面ABCD=BD，
AD⊂面ABCD，则AD⊥面PBD，
又PB⊂面PBD，故PB⊥AD；
(2)解：若O为BD中点，PB=PD，则PO⊥BD，
面PBD⊥面ABCD，面PBD∩面ABCD=BD，PO⊂面PBD，则PO⊥面ABCD，
连接OC，则OC⊥BD，且OC⊂面ABCD，故PO⊥OC，
综上，PO，BD，OC两两垂直，
构建以O为原点，OB,OC,OP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，

所以A(−1,−2 3,0)，B(1,0,0)，C(0, 3,0)，D(−1,0,0)，
若P(0,0,m)且m>0，则F(0, 33,2m3)，
而面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1)，AP=(1,2 3,m)，
所以|cs|=|m⋅AP|m||AP||=m 13+m2=3 2222，
可得m=3，故F(0, 33,2)，
所以BF=(−1, 33,2)，DB=(2,0,0)，BC=(−1, 3,0)，
若a=(x,y,z)是面BDF的一个法向量，
则a⋅BF=−x+ 33y+2z=0a⋅DB=2x=0，取a=(0,6,− 3)，
若b=(m,n,l)是面BCF的一个法向量，
则b⋅BF=−m+ 33n+2l=0b⋅BC=−m+ 3n=0，取b=(3, 3,1)，
所以|cs|=|a⋅b|a||b||=5 3 39× 13=513，
由图知平面BCF与平面BDF所成角为锐二面角，
故平面BCF与平面BDF所成角的余弦值为513．
【解析】(1)由题设可得AD⊥BD，利用面面垂直的性质可得AD⊥面PBD，再由线面垂直的性质证PB⊥AD；
(2)若O为BD中点，连接OC，首先求证PO，BD，OC两两垂直，构建空间直角坐标系，确定相关点坐标并令P(0,0,m)且m>0，根据线面角及向量夹角的坐标表示求参数m，进而可得F(0, 33,2m3)，再求面BDF、面BCF的法向量，应用向量夹角的坐标运算求二面角余弦值．
本题主要考查线线垂直的判定，考查二面角的计算，考查空间向量及其应用等知识，属中档题．
21.【答案】解：(1)∵anan+2=12an+1，
∴an+2an=2an+1⇔1an+1=1an+12，即1an+1−1an=12，
∴数列{1an}为公差为12的等差数列，
故1an=1a1+(n−1)⋅12=n+12⇒an=2n+1；
(2)∵(12)n∴2n−1≤k+12<2n⇔2n−1≤k<2n+1−1，
∴这样k有2n个，
故bn=2n，bnan=(n+1)⋅2n−1，Sn=2⋅1+3⋅2+4⋅22+⋅⋅⋅+(n+1)⋅2n−1，
2Sn=2⋅2+3⋅22+⋅⋅⋅+n⋅2n−1+(n+1)⋅2n，
两式相减得−Sn=2+2+22+⋅⋅⋅+2n−1−(n+1)⋅2n=2+2−2n1−2−(n+1)⋅2n=−n⋅2n，
∴Sn=n⋅2n，
又Sn=n⋅2n为递增数列，
又S8=2048，S9=4608，S8<4032故最大正整数解为8．
【解析】(1)根据等差数列的定义，证明1an+1−1an为常数，由等差数列通项公式得1an，即可得出答案；
(2)不等式(12)n本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵抛物线C2：y2=2px(P>0)的焦点为F2(p2,0)，
∴Q(p4,0)，
∵过Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2 6，
∴( 6)2=2p×p4，
得p=2 3，
∴F2( 3,0)，
又e=ca= 32，
∴a=2，b=1，
∴椭圆C1的方程为：x24+y2=1；
(2)设T(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则由OT=λOA+2μOB，
得x=λx1+2μx2，y=λy1+2μy2，
∵点T，A，B在椭圆C1上，
∴x2+4y2=4，
x12+4y12=4，
x22+4y22=4，
∴x2+4y2=(λx1+2μx2)2+4(λy1+2μy2)2
=λ2(x12+4y12)+4μ2(x22+4y22)+4λμ(x1x2+4y1y2)
=4，
由直线OA，OB的斜率之积为−14可得，
y1y2x1x2=−14，
即x1x2+4y1y2=0，
∴λ2+4μ2=1，
故N(λ,μ)在椭圆λ2+μ214=1上，
由Q( 32,0)，PQ=12F1F2，
可得P(− 32,0)，
∴P，Q为椭圆x2+y214=1的左右焦点，
由椭圆定义可知|NP|+|NQ|=2为定值．
【解析】此题考查了椭圆，抛物线方程，直线与椭圆的综合，难度较大．
(1)利用弦长可解p的值，进而得c，再结合离心率可得a.b，得方程；
(2)利用点T，A，B在椭圆上和OA，OB斜率之积为−14可得λ，μ的关系式，恰为新的椭圆方程，并求得P，Q为其焦点，由椭圆定义得出定值．