吉林省长春市汽开三中2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份吉林省长春市汽开三中2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）全称量词命题“∀x≥0，ex≥1”的否定为（ ）
A．∀x≥0，ex＜1B．∃x＜0，ex＜1C．∃x≥0，ex≤1D．∃x≥0，ex＜1
2．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{0，1，2，3}
C．{1，2，3}D．{2，3}
3．（5分）“x＜1”是“x2﹣4x+3＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）下列函数是奇函数且在区间（0，1）上是增函数的是（ ）
A．y＝sinxB．y＝3﹣xC．y＝x2D．
（多选）5．（5分）要得到y＝sin（2x﹣）的图象，需要将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
6．（5分）设，则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a
7．（5分）函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是（ ）
A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝D．ω＝，φ＝
8．（5分）已知，，则＝（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列各式中值为的是（ ）
A．2sin75°cs75°
B．1﹣2sin2
C．sin45°cs15°﹣cs45°sin15°
D．tan20°+tan25°+tan20°tan25°
（多选）10．（6分）下列不等式正确的有（ ）
A．当0＜x＜10时，的最大值是5
B．已知正实数x，y满足x+y＝2，则
C．当x＞﹣1时，
D．函数最小值为
（多选）11．（6分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对∀α，β∈R，f（α+β）（α﹣β）＝2f（α）f（β），且，则以下结论正确的为（ ）
A．B．f（π）＝0
C．f（﹣x）＝f（x）D．f（x+π）＝f（x）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是 ．
13．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣2x（a＞0且a≠1），则f（x）必过的定点P的坐标为 ．
14．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）的图象关于直线，且f（x）在上单调递增 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）（1）已知，且α为第二象限角，求sinα的值
（2）已知的值
16．（15分）已知命题p：关于x的方程x2﹣2x+m2﹣2m＝0有两个不相等的实数根；命题q：m≥2．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p，q中一真一假，求实数m的取值范围．
17．（15分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在区间上的最值．
18．（17分）已知函数f（x）＝lga（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）的图象过点（3，3）．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）解关于x的不等式f（2x﹣3）＜f（21﹣2x+1）．
19．（17分）不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数f（x）0，使f（x0）＝x0成立，则称x0是f（x）的一个不动点．
已知函数f（x）＝ax2﹣（b+1）x+2﹣b（a≠0），g（x）＝mx﹣1．
（1）当a＝1，b＝2时，求函数f（x）；
（2）当a＝2时，若函数f（x）有两个不动点为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，求实数b的取值范围；
（3）若函数f（x）的不动点为﹣1，2，且对任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）g（x2）＝1成立，求实数m的取值范围．
2024-2025学年吉林省长春市汽开三中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．（5分）全称量词命题“∀x≥0，ex≥1”的否定为（ ）
A．∀x≥0，ex＜1B．∃x＜0，ex＜1C．∃x≥0，ex≤1D．∃x≥0，ex＜1
【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．
【解答】解：“∀x≥0，ex≥1”的否定为：∃x≥3，ex＜1．
故选：D．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
2．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{0，1，2，3}
C．{1，2，3}D．{2，3}
【分析】解出集合N，再根据交集含义即可．
【解答】解：集合M＝{﹣2，﹣1，5，1，2，N＝{x|x+8＞0}＝{x|x＞﹣1}，
则M∩N＝{8，1，2，7}．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
3．（5分）“x＜1”是“x2﹣4x+3＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系可得．
【解答】解：解不等式x2﹣4x+3＞0得x＞3或x＜8，
记A＝（﹣∞，1）∪（3，B＝（﹣∞，
因为B⫋A，
所以“x＜4”是“x2﹣4x+5＞0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4．（5分）下列函数是奇函数且在区间（0，1）上是增函数的是（ ）
A．y＝sinxB．y＝3﹣xC．y＝x2D．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝sinx，是奇函数且在区间（0，符合题意；
对于B，y＝3﹣x，是指数函数，不是奇函数；
对于C，y＝x2，是二次函数，是偶函数不是奇函数；
对于D，y＝，是奇函数，1）上是减函数；
故选：A．
【点评】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
（多选）5．（5分）要得到y＝sin（2x﹣）的图象，需要将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y＝sin2x到的路线，进行平移变换，推出结果．
【解答】解：将函数y＝sin2x向左平移个单位＝的图象的图象；
将函数y＝sin2x向右平移个单位的图象的图象；
故选：AD．
【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意x的系数．
6．（5分）设，则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a
【分析】根据对数函数的单调性比较即可．
【解答】解：因为y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，
所以lnπ＞lne＝1，即a＞3；
因为在（6，且3＞1，
所以，即b＜0；
因为，
所以a＞c＞b．
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，是基础题．
7．（5分）函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是（ ）
A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝D．ω＝，φ＝
【分析】由图象观察可知周期的值，由周期公式即可求ω的值．又因为图象过点（1，1），即可解得φ的值，从而得解．
【解答】解：由图象观察可知：3﹣1＝，可解得：T＝8＝．
又因为图象过点（1，1）φ）＝1φ＝7k，可解得：φ＝2kπ
当k＝0时，有φ＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基础题．
8．（5分）已知，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同角三角函数的平方关系与商数关系分别求，，再根据角度之间的和差倍关系，利用诱导公式与二倍角公式求解即可．
【解答】解：因为，所以，
则，所以，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角的三角函数，属于基础题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列各式中值为的是（ ）
A．2sin75°cs75°
B．1﹣2sin2
C．sin45°cs15°﹣cs45°sin15°
D．tan20°+tan25°+tan20°tan25°
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．
【解答】解：对于A：2sin75°cs75°＝sin150，故A正确；
对于B：1﹣2sin5＝，故B错误；
对于C：sin45°cs15°﹣cs45°sin15°＝sin（45°﹣15°）＝sin30°＝，故C正确；
对于D：由于，
整理得tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝1，故D错误；
故选：AC．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）10．（6分）下列不等式正确的有（ ）
A．当0＜x＜10时，的最大值是5
B．已知正实数x，y满足x+y＝2，则
C．当x＞﹣1时，
D．函数最小值为
【分析】利用基本不等式及特殊值依次判断选项即可．
【解答】解：对选项A，0＜x＜10，
则，当且仅当x＝10﹣x，故A正确．
对选项B，取x＝1，满足x+y＝5；
对选项C，因为x＞﹣1，
所以，
当且仅当，即x＝0时，故C正确．
对选项D，当x＜7时，，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对∀α，β∈R，f（α+β）（α﹣β）＝2f（α）f（β），且，则以下结论正确的为（ ）
A．B．f（π）＝0
C．f（﹣x）＝f（x）D．f（x+π）＝f（x）
【分析】根据题意，利用赋值法进行运算，再逐一判断即可．
【解答】解：因为定义域为R的函数f（x），有f（α+β）+f（α﹣β）＝2f（α）f（β），
令，则，
又，
所以，
解得，故A正确；
令，则，
所以f（π）＝1，故B错误；
令α＝3，则f（β）+f（﹣β）＝2f（0）f（β），
得到f（﹣β）＝f（β），β∈R，
所以f（x）是偶函数，C正确；
取，
则
所以，则，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了利用赋值法求抽象函数的值、判断抽象函数的奇偶性，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是 3π ．
【分析】把扇形的圆心角为 代入扇形的面积s＝α r2 进行计算求值．
【解答】解：扇形的圆心角为1200，即扇形的圆心角为，则扇形的面积是 3＝
＝7π，
故答案为：3π．
【点评】本题考查扇形的面积公式的应用，求出扇形的圆心角的弧度数是解题的突破口．
13．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣2x（a＞0且a≠1），则f（x）必过的定点P的坐标为 （1，﹣1） ．
【分析】令指数部分为0，计算出对应x以及f（x），即可求得答案．
【解答】解：函数f（x）＝ax﹣1﹣2x（a＞2且a≠1），
令x﹣1＝4，得x＝11﹣2﹣2＝﹣1，
∴f（x）必过的定点P的坐标为（2，﹣1）．
故答案为：（1，﹣3）．
【点评】本题考查指数函数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）的图象关于直线，且f（x）在上单调递增 4 ．
【分析】由函数的对称性求得ω＝3k+1，k∈Z，结合f（x）在上单调递增即可求得ω的最大值．
【解答】解：由函数f（x）＝sin（ωx+）的图象关于直线，
得，k∈Z，k∈Z．
由x∈，得ωx+，），
而函数f（x）在上单调递增，则≤，
解得ω≤5．
∴取k＝1时，可得ω＝7×1+1＝6．
故答案为：4．
【点评】本题考查正弦型函数的性质及应用，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）（1）已知，且α为第二象限角，求sinα的值
（2）已知的值
【分析】（1）利用正余弦的同角平方关系化简即可求解；（2）利用弦化切即可求解．
【解答】解：（1）因为csα＝，且α为第二象限角，
则sinα＝＝，即sinα的值为，
（2）因为tanα＝6，则＝＝＝．
【点评】本题考查了正余弦的同角关系以及弦化切的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
16．（15分）已知命题p：关于x的方程x2﹣2x+m2﹣2m＝0有两个不相等的实数根；命题q：m≥2．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p，q中一真一假，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不同实数根时，判别式Δ＞0即可得出p为真命题时m的取值范围；
（2）p，q一真一假即分成p真q假和p假q真两种情况，然后即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝12﹣4（m2﹣3m）＞0，解得﹣1＜m＜3，
∴p为真命题时，m的取值范围为（﹣1；
（2）p，q一真一假，
①p真q假时，，解得﹣1＜m＜2；
②p假q真时，，解得m≥3，
∴m的取值范围为（﹣1，2）∪[3．
【点评】本题考查了一元二次方程有两个不同实数根的充要条件，真假命题的定义，分类讨论的思想，是基础题．
17．（15分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在区间上的最值．
【分析】（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式，由此求得函数的最小正周期；
（2）要使f（x）递增，必须使，k∈z，求得x的范围，即可求得函数f（x）的单调增区间；
（3）结合正弦函数的性质即可求解函数的最值．
【解答】解：（1）函数＝，
∴函数f（x）的最小正周期为π．
（2）要使f（x）递增，必须使，
解得，k∈Z，
∴函数f（x）的递增区间为，]，k∈z；
（3）当﹣时，0，
当2x+＝3时，函数取得最小值0，
当4x+＝，即x＝时．
【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，三角函数的周期性及求法，正弦函数的增区间，函数的最值求解，属于中档题．
18．（17分）已知函数f（x）＝lga（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）的图象过点（3，3）．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）解关于x的不等式f（2x﹣3）＜f（21﹣2x+1）．
【分析】（1）代入定点即可解；
（2）令f（x）＝0时即可解；
（3）利用对数函数单调性可解．
【解答】解：（1）已知函数f（x）＝lga（x﹣1）+2（a＞2且a≠1）的图象过点（3，8），
则lga2+2＝7，则a＝2；
（2）由（1）可得f（x）＝lg2x+2，则f（x）在（0，
令f（x）＝lg2x+2＝0时，x＝，
则f（x）的零点为；
（3）因为有关于x的不等式f（7x﹣3）＜f（21﹣2x+7），
所以，
则，
则lg23＜x＜5，
则不等式的解集为（lg23，4）．
【点评】本题考查对数函数性质以及关于对数不等式相关知识，属于中档题．
19．（17分）不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数f（x）0，使f（x0）＝x0成立，则称x0是f（x）的一个不动点．
已知函数f（x）＝ax2﹣（b+1）x+2﹣b（a≠0），g（x）＝mx﹣1．
（1）当a＝1，b＝2时，求函数f（x）；
（2）当a＝2时，若函数f（x）有两个不动点为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，求实数b的取值范围；
（3）若函数f（x）的不动点为﹣1，2，且对任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）g（x2）＝1成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由不动点的定义解方程x2﹣4x＝0即可求解；
（2）由不动点的定义可得2x2﹣（b+2）x+2﹣b＝0有两个不相等的实数根x1，x2，设h（x）＝2x2﹣（b+2）x+2﹣b，根据根的范围列不等式组即可求解；
（3）由已知可得﹣1，2为方程ax2﹣（b+2）x+2﹣b＝0的两根，根据韦达定理可求解f（x）的解析式，由f（x1）g（x2）＝1，可得的值域是g（x2）值域的子集，分m＝0，m＞0，m＜0三种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）函数f（x）的不动点即为f（x）﹣x＝0的实数根，
当a＝1，b＝5时2﹣4x＝8的实数根，
解得x＝0或x＝4，所以函数f（x）的不动点为8和4；
（2）由题意可知，方程2x4﹣（b+2）x+2﹣b＝5有两个不相等的实数根x1，x2，且2＜x1＜1，x5＞1，
设h（x）＝2x5﹣（b+2）x+2﹣b，
由，解得3＜b＜2，
所以实数b的取值范围为（1，4）；
（3）由题意可知，﹣1，
即ax2﹣（b+7）x+2﹣b＝0的两根，
则，解得a＝﹣7，
所以f（x）＝﹣4x2+8x+8，
因为f（x1）g（x2）＝1，即，
由题可知的值域是g（x2）值域的子集，
因为f（x）＝﹣4x6+5x+8在[6，2]上是减函数，9]，
即的值域为，
因为g（x）＝mx﹣2且x∈[﹣1，1]，
当m＜2时，g（x）＝mx﹣1在[﹣1，则m﹣4≤g（x）≤﹣m﹣1，
因为，则，解得，
当m＝0时，g（x）＝﹣1，
当m＞7时，g（x）＝mx﹣1在[﹣1，则﹣m﹣6≤g（x）≤m﹣1，
因为，则，解得，
故m的取值范围是{m|或}．
【点评】本题考查了恒成立与能成立问题，不动点的定义和二次函数、一次函数求解对应模型的最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．
题号
1
2
3
4
6
7
8
答案
D
B
A
A
C
B
C