2025长春东北师大附中高一上学期期末考试数学试题含解析

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高一年级期末考试
注意事项：
1.答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3 已知，则（ ）
A. B. 3C. D.
4. 已知，则下列不等式正确的是（ ）
A B.
C. D.
5. 函数的图象大致形状为（ ）
A. B.
C. D.
6. 华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（ ）
（参考数值：）
A. B. C. D.
7. 如图，矩形的三个顶点，，分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义域为的函数满足，当时，，则
在区间上的零点的个数为（ ）
A. 403B. 404C. 405D. 406
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则函数的值可能为（ ）
A. 1B. －1C. －3D. 3
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 时，
B. 函数的值域为
C. 若方程有两个不相等的实数根，则
D. 函数有个零点
11. 已知函数的定义域为，并且对，都有，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于对称
B. 函数偶函数
C.
D. 若时，，则时，
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.
12. 已知，则的值为______.
13. 已知，，，则最小值为______.
14. 设奇函数在上是增函数，且，若不等式对任意的，都成立，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形.
（1）求的值；
（2）化简，并求其值.
16. 已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）若在上存在最小值，求实数的取值范围.
17. 设函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明；
（3）若，求实数的取值范围.
18. 已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）设常数，若函数在上单调递增，求的取值范围；
（3）若函数在上存在零点，求实数的取值范围.
19. 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”.
（1）试判断函数是否是“函数”，并说明理由；
（2）若函数（其中为自然对数底数，）为“函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有.