吉林省长春市长春吉大附中实验学校2022-2023学年高一上学期期中数学试题

2022—2023学年上学期高一年级

期中考试数学学科试卷

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则等于（）

A． B． C． D．

2．设命题：，，则命题的否定是（）

A．，  B．，

C．，  D．，

3．函数的定义域为（）

A． B． C． D．

4．已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的正实数根的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

5．函数的零点所在的区间是（）

A． B． C． D．

6．函数的大致图象为（）

A． B．

C． D．

7．函数（）的图象如图所示，则函数的单调减区间是（）

A． B． C． D．

8．已知函数，则不等式的解集为（）

A．  B．

C．  D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知，，为互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（）

A． B． C． D．

10．下面命题正确的是（）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．如果幂函数的图象不过原点，则或

C．“”是“一元二次方程有一正一负两个实根”的充要条件

D．函数且恒过定点

11．关于函数，描述正确的是（）

A．的定义域为 B．有3个零点

C．在定义域上是增函数 D．是定义域上的奇函数

12．已知函数定义域为，且满足，，则（）

A．  B．

C．  D．为偶函数

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数的值域为______．

14．已知，，，则的大小关系是______．（用“＜”号联结）

15．已知正实数，满足，则的最小值是______．

16．已知正实数，满足，则______．

四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．计算

（1）．

（2）．

18．已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，设命题：，命题：．已知命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19．已知二次函数满足．

（1）求的解析式；

（2）作出函数的图像，并写出其单调区间；

（3）设在区间（）上的最小值为，求的解析式．

20．已知函数．

（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得，，．若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

21．习近平总书记指出：“我们既要金山银山，更要绿水青山．绿水青山就是金山银山．”某精细化工厂在生产时，对周边环境有较大的污染，该工厂每年的利润（万元）与年产量（吨）之间的函数关系为：．

（1）求该工厂利润最大时的年产量（吨）的值，并求出最大利润；

（2）某项环境污染物指数与年产量（吨）和环境治理费（万元）之间的关系为：．其中为污染物指数安全线．该工厂按利润最大时的年产量进行生产，同时环境污染物指数不能超过安全线，则至少需要投入多少万元环境治理费?（结果保留两位小数）

参考数据：，，，，是百万分比浓度．

22．已知为偶函数，为奇函数，且满足．

（1）求函数、的解析式；

（2）已知函数，，求函数的值域；

（3）若关于的方程在内恰有两个不等实根，求实数的取值范围．

2022—2023学年上学期高一年级

期中考试数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．C2．A3．A4．B5．D6．D7．D  8．B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．BC  10．ABC  11．AD  12．ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．  14．15．16．8

四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）

．

（2）

．

18．【答案】（1）化简可得，

时，，则，所以．

（2）时，．因为命题是命题的充分不必要条件，则，

所以，解得，

所以实数的取值范围为．

19．【答案】（1）令，则，

∴，∴．

（2）由图像可知：的单调递增区间为，；

单调递减区间为．

（3）当，即时，；

当，且时，即时，；

当时，；

因此，．

20．【答案】（1）因为函数的定义域为，所以恒成立，即恒成立，

由于，故，即实数的取值范围为；

（2）函数在有意义时，设、且，

则，所以，

所以函数在上单调递减，

故在区间上的最大值是，最小值是；

由题设得，，故，

则，解得，故实数的取值范围为．

21．【答案】（1）当时，，

当时，，

综上可知（万元）；

即年产量100（吨）时，有最大利润300万元；

（2）由（1）可知，则有．

即，可得

整理得，则

即：至少需要投入53.60万元环境治理费才满足要求．

22．【答案】（1）因为为偶函数，为奇函数，由已知可得，

即，所以，，解得；

（2）由题意，，因为单调递增，所有值域为，

（3）由题知方程在区间内恰有两个不等实根．

显然不是该方程的根，令，则原方程可变形为

易知函数为偶函数，且在区间内单调递增，所以

且题意转化为方程在区间内有唯一实根（因为每一个在区间内恰有两个值与之对应）．

易知在区间内单调递减，

又时，，所以．综上所述，所求常数的取值范围是．