2024-2025学年吉林省长春市高一上学期10月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年吉林省长春市高一上学期10月月考数学检测试题（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．32B．31C．16D．15
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
4．已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ）
A．B．，或
C．，或D．
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
6．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．a>0C．D．
7．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，､已知函数，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
8．若，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足.
A．2B．3C．4D．5
二、多选题
9．下列各组函数中，与表示同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
10．已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域是B．的值域是
C．若，则D．的图象与直线有一个交点
11．已知，为正实数，，则（ ）
A．的最大值为1B．的最小值3
C．的最小值为D．的最小值为
三、填空题
12．若，则 .
13．已知，，，则的取值范围为 .
14．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式.求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 .
四、解答题
15．已知集合.
（1）若中没有元素，求实数的取值集合；
（2）若中只有一个元素，求实数的取值集合.
16．设集合，，.
(1)当时，求，及；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
17．二次函数满足且.
(1)求的解析式；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．已知，
（1）若时,当时, 求的最小值.
（2）求关于的不等式的解集.
19．已知二次函数，.
(1)若在的最大值为，求实数的值；
(2)若，当时，对，，使得，求正实数的取值范围.
答案：
1．D
【分析】先求出集合，再结合真子集的定义，即可求解.
【详解】集合，元素个数为4个，
故集合的真子集个数为.
故选：D.
2．D
【分析】直接利用全称量词命题的否定是特称量词命题，写出结果即可.
【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是特称量词命题，
所以命题“，”的否定是：，
故选：D
3．C
【分析】举出反例，可检验选项A，B的正误，选项C，通过作差，即可判断；选项D，利用不等式性质，结合选项条件即可判断.
【详解】对于选项A，当时，，所以选项A错误；
对于选项B，当，时，满足，但，所以选项B错误；
对于选项C，若，则，即，所以选项C正确；
对于选项D，若，，即，则，所以选项D错误，
故选：C.
4．A
【分析】先根据一元二次不等式的解集得出再化简得出,即可得出不等式的解集.
【详解】关于的一元二次不等式的解集为，
则，且是一元二次方程的两根，
于是解得
则不等式化为，
即，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A.
5．D
【分析】由已知求得的范围，得到的定义域，再由题意列关于的不等式组求解.
【详解】因为的定义域为，
即，则，
对于函数，由，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D.
6．D
【分析】先明确一元二次方程有一个正根和一个负根的的充要条件，再确定它的充分不必要条件.
【详解】因为“一元二次方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，
所以：“一元二次方程有一个正根和一个负根”的一个充分不必要条件是“（）”，即选项D正确.
故选：D
7．C
【分析】化简函数，用基本不等式求解最值.
【详解】显然，.
当时，
，
令，
当x>0时，，，
当且仅当，x=1时，等号成立；
当x