河南省新乡市第一中学（少儿班）2024-2025学年七年级上学期第一次月考数学试题

这是一份河南省新乡市第一中学（少儿班）2024-2025学年七年级上学期第一次月考数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．精确到十位
B．万精确到万位
C．近似数和表示的意义不同
D．用科学记数法表示的数，其原数是
2．在，，，0四个数中，最大的数是（ ）
A．B．C．D．0
3．关于整式的概念，下列说法正确的是（ ）
A．的系数是B．的次数是6
C．3是单项式D．是5次三项式
4． 若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且，则（ ）
A．1B．C．2D．
5．现有下列说法：①的算术平方根等于2；②有理数可分为正有理数和负有理数；③面积为0.9的正方形的边长是有理数；④无理数加上无理数一定是无理数；⑤平方根和立方根相同的有理数是0，其中不正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．在实数范围内，下列判断正确的是 （ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了一个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2020次，问蚂蚁最后在数轴上什么位置？（ ）
A．-1010B．-1009C．1009D．1010
8．已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（ ）
A．3B．2C．3和﹣3D．2和﹣2
9．23，33和43分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，63也能按此规律进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中最大的是（ ）

A．29B．31C．39D．41
10．下列说法中，正确的个数（ ）
①若，则；
②若，则有是正数；
③三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则；
④若代数式的值与无关，则该代数式的值为2021；
⑤，则的值为．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．若实数满足，则的平方根是 ．
12．比较大小： ．
13．如果4个不等的整数满足，那么等于 ．
14．定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数．例如：，若，则的值为 ．
15．已知实数a满足，那么的值是 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
(3)
17．（1）已知是的整数部分，求的平方根．
（2）已知：关于x的多项式的值与x的取值无关．求的值．
18．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛．
(1)把看成一个整体，将合并的结果是__________
(2)①已知，则__________；
②已知，则__________；
(3)已知，求代数式的值．
19．阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
(1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______；
(2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______；
(3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）．
20．今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有辆，根据如表提供的信息，解答以下问题：
(1)求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有的式子表示）；
(2)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有的式子表示）．
(3)现为了促销，公司决定甲种土特产每吨让利元，乙种土特产每吨利润不变，若无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变，求的值．
21．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，．
证明：， 为有理数，
是有理数．
为有理数，是无理数，
．
．
．
(1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ；
(2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，；
(3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值．
22．如图1，在数轴上有，两点，点表示的数为4，点在点的左边，且，若有一动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点，分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．
(1)写出数轴上点表示的数为______，P所表示的数为_______（用含的代数式表示）．
(2)问点运动多少秒与相距3个单位长度．
(3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半，请直接写出结论．______秒．
23．任何一个整数N，可以用一个的多项式来表示:
N=.
例如：325=3×102+2×10+5.
一个正两位数的个位数字是x，十位数字y．
（1）列式表示这个两位数；
（2）把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数，试说明新数与原数的和能被11整除．
（3）已知是一个正三位数.小明猜想：“与的差一定是9的倍数．”请你帮助小明说明理由.
（4）在一次游戏中,小明算出、、、与等5个数和是3470,请你求出这个正三位数.
土特产种类
甲
乙
每辆汽车运载量（吨）
4
3
每吨土特产利润（元）
140
160
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了精确度及科学记数法，掌握近似数和科学记数法的定义是解题关键．
【详解】解：A、是精确到十位，故A选项正确，不符合题意；
B、万精确到十位，故B选项错误，符合题意；
C、近似数精确到十分位，精确到百分位，故C选项正确，不符合题意；
D、用科学记数法表示的数，其原数是，故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
2．B
【分析】此题主要考查实数的比较大小和二次根式的性质，先运用二次根式的性质进行逐一计算，再进行大小比较．
【详解】解：∵，
且，
∴最大的数是，
故选：B．
3．C
【分析】根据整式的相关概念判断即可得到答案．
【详解】解：A、的系数为，所以本选项错误，故不符合题意；
B、的次数是4，所以本选项错误，故不符合题意；
C、3是单项式，所以本选项正确，故符合题意；
D、多项式是三次三项式，所以本选项错误，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式和多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握单项式、单项式次数、单项式的系数的定义．注意单项式的系数为其数字因数，次数是所有字母的次数的和，单个的数或字母也是单项式，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，项数为所含单项式的个数．
4．C
【分析】本题考查了相反数、倒数的定义、求代数式的值、有理数的乘方，由相反数和倒数的定义得出，，从而推出，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】根据实数的分类和算术平方根和无理数的定义分别对每一项进行分析即可．
【详解】解：①的算术平方根等于2，正确；
②有理数可分为正有理数和负有理数和0，故本选项错误；
③面积为0.9的正方形的边长是无理数，故本选项错误；
④无理数加上无理数一定是无理数，错误；
⑤平方根和立方根相同的有理数是0，故本选项正确；
其中不正确的个数有3个．
故选C．
【点睛】本题考查了实数的分类、算术平方根和无理数，熟练掌握定义和分类是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查了绝对值、平方根和立方根的性质，根据绝对值、平方根和立方根的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、若，则，故该选项不符合题意；
B、若，则或，故该选项不符合题意；
C、若，则可以为任意数，为非负数，故该选项不符合题意；
D、若，则，故该选项符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】依题意，可知蚂蚁爬行的规律：爬行次数为奇数则在原点右侧；爬行次数为偶数则在原点的左侧；可知当爬行次数是偶次的时候是关于原点对称，对爬行次数2020次除以2即可；
【详解】由题知，蚂蚁爬行的规律为：爬行次数为奇数，则在原点右侧；爬行次数为偶数，则在原点的左侧；
又蚂蚁总共爬行2020次，可得蚂蚁爬行最后的位置在原点的左侧，即为负数；
结合爬行规律，可知当爬行次数为偶数时，爬行的距离刚好为爬行次数的一半，∴ 对应数为：1010；
结合上述，蚂蚁最后在数轴的位置为：；
故选：A
【点睛】本题考查数轴的性质及寻找规律，关键在于理解爬行的次数和距离在题目的意义；
8．A
【分析】根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出 ，再由算术平方根的性质，即可求解．
【详解】解：∵﹣＝0，
∴．
∴x﹣3＝2x+1．
∴x＝﹣4．
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．
∴x2+x﹣3的算术平方根为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键．
9．D
【分析】首先发现奇数的个数与前面的底数相同，再看出每一组分裂中的第一个数的变化规律，从而发现一般规律，由此即可得出答案．
【详解】由图可知两个规律：（1）每一组中分裂出来的奇数的个数与前面的底数相同；（2）每一组分裂出来的奇数是连续奇数
分裂中的第一个数是
分裂中的第一个数是
分裂中的第一个数是
归纳类推得：分裂中的第一个数是，其中n为整数，且
由规律（1）和（2）可知，可分裂出n个奇数，依次为
则“分裂”出的奇数中最大的是
故选：D．
【点睛】本题考查了数字的变化类规律题，根据已知图归纳类推出一般变化规律是解题关键．
10．A
【分析】本题考查有绝对值的化简，数轴上两点间的距离，解答本题的关键是对于错误的结论，要说明理由或者举出反例.
【详解】若，则a>0， 故①错误， 不合题意；
若，
则或或或，
当时， 则有是是正数，
当时， 则有是正数，
当时， 则有是正数，
当时， 则有是是正数，
由上可得， 是正数， 故②正确，符合题意；
三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等，则x=2或或，故③错误，不合题意；
若代数式的值与无关，则，故④错误，不合题意；
，
∴中一定是一负两正，，，
不妨设
，故⑤错误，不合题意；
故选： A．
11．
【分析】根据二次根式、平方、绝对值的非负性即可得出x、y、z的值，求和后再求平方根即可．
【详解】解：由题意可得：
解得：
∴
∴4的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点求代数式的平方根，解此题的关键是根据二次根式的非负性、绝对值的非负性、平方数的非负性，求出x、y、z的值．
12．
【分析】本题考查实数的大小比较，选择合适的方法是解题关键．
根据实数的大小比较方法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故．
∵，
∴．
故．
∵，
∴．
∵，
∴．
故．
故答案为：，，．
13．
【分析】因为，，，都是四个不同正整数，所以、、、都是不同的整数，四个不同的整数的积等于9，这四个整数为、、1、2，由此求得，，，的值，问题得解．
【详解】解：因为，
每一个因数都是整数且都不相同，
那么只可能是，1，，3，
由此得出、、、分别为6、4、8、2，所以，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是一个正整数通过分解把它写为四个不同的整数的乘积，要考虑有两个正因数，两个负因数，从而再结合题意解决问题．
14．-11或-12
【分析】根据题意可知，，再根据新定义即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：
∴
∴的值为-11或-12．
故答案为：-11或-12．
【点睛】本题考查的知识点是有理数比较大小，理解题目的新定义，根据新定义得出的取值范围是解此题的关键．
15．
【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，此时原式可变形为，可得到，进而可得．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算、立方根、算术平方根、实数的混合运算、整式的加减法混合运算等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
（1）先算平方根和立方根以及绝对值，再算加减即可；
（2）先算乘方、绝对值，再算乘除，后算加减；
（3）先去括号，再合并即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
17．（1）；（2）25
【分析】本题考查了整式的加减中的无关题型、整式的加减中的化简求值，平方根，立方根，算术平方根，估算无理数的大小等知识点．熟练掌握整式的加减的运算法则是解此题的关键．
（1）根据立方根、算术平方根的性质可得，求出a、b，再估算无理数的大小得出，再求出答案即可；
（2）（1）先去括号，再合并同类项即可化简，再根据多项式的值与x的取值无关得出，再去括号，然后合并同类项即可化简，再把代入化简后的结果，进行计算即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
解得：，
∵，
∵c是的整数部分，
∴，
∴，
∴的平方根为；
（2）
∵多项式的值与x的取值无关，
∴，
解得：，
当时，原式．
18．(1)
(2)①；②
(3)
【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想．
（1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简；
（2）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可；
②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可；
（3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
；
故答案为：
（2）解：①，
，
故答案为：；
②，
；
故答案为：
（3）解：，，
．
19．(1)
(2)，
(3)1，作图见解析
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数与数轴是一一对应的，正确理解算术平方根的定义、实数与数轴的关系及正确进行实数运算是解题关键．
（1）直接利用算术平方根的定义解答；
（2）先表示出线段的长度，再通过计算得出点所表示的数；
（3）根据题意可得图中阴影部分正方形的边长，先确定长为的线段表示方法，再在数轴上找表示的点．
【详解】（1）解：∵面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长，
∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即，
故答案为：；
（2）解：如图，设数轴原点为，数1表示的点为，
∵图中小正方形对角线长为，
∴，
∴，，
∴，两点表示的数分别为和，
故答案为：，；
（3）解：根据图3作法，则图中阴影部分正方形的边长为；
图3拼成的大正方形面积为5，
则大正方形边长为，
即图3裁出的长方形的对角线长为，
则可利用如下图所示作图：
其中，，，
∴，
∴点表示的数为．
20．(1)吨
(2)元
(3)
【分析】（1）先求出运乙种土特产的汽车有辆，再根据表格中的数据求出总运输量即可；
（2）根据利润每吨利润数量进行求解即可；
（3）根据利润每吨利润数量表示出总利润，再根据题意可知总利润与x的值无关，据此即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，装运乙种土特产的汽车有辆，
∴这10辆汽车共装运土特产的数量为吨；
（2）解：由题意得，销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为元；
（3）解：由题意得，总利润为元，
∵无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变，
∴总利润与x的值无关，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，正确理解题意列出对应的代数式是解题的关键．
21．(1)，
(2)见解析
(3)，
【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容．
（1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解；
（2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明；
（3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解．
【详解】（1）解：，
，
， 为有理数，
，，
，，
故答案为：，；
（2）证明：，
，
，，， 为有理数，
，都是有理数，
，，
，；
（3）解：，
的整数部分，小数部分，
，
，
，
， 为有理数，
，
解得：，
，．
22．(1)；
(2)点运动3秒或5秒时与相距3个单位长度
(3)4.8或24
【分析】（1）根据两点间的距离可确定点表示的数，根据的运动规律可表示出点表示的数；
（2）分别根据、两点的运动规律，用变量表示这两点所表示的数，求两点间距离即把右边点表示的数减去左边点表示的数，分情况列一次方程即可求得；
（3）由点的运动到边的变化进而到正方形面积的变化，找到符合题意的运动位置画出图形进行分类讨论，由面积之间的关系列方程即可求得．
【详解】（1）解：点在点的左边，，点表示4，
点表示的数为，
动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点表示的数为，
故答案为：；；
（2）解：依题意得，点表示的数为，点表示的数为，
若点在点右侧时：，
解得：；
若点在点左侧时：，
解得：；
综上所述，点运动3秒或5秒时与相距3个单位长度；
（3）解：如图1，均在线段上，
两正方形有重叠部分，
点在点的左侧，
，
，
重叠部分面积，
重叠部分的面积为正方形面积的一半，
，
解得（舍去），；
如图2，均在线段外，
，
重叠部分面积，
，
解得（舍去），，
故答案为：4.8或24．
【点睛】本题主要考查了数轴上求点表示的数及动点和由运动产生图形面积变化的题型，重点在于把握清楚运动的规律，善于想象抓住根本，善于运用数形结合思想是解题的关键．
23．(1)10y+x；（2）见解析；（3）见解析；（4）748.
【分析】（1）根据两位数的表示方法：十位数字×10+个位数字，列式即可；
（2）表示出新两位数与原两位数之和，即可作出判断；
（3）直接作差即可得出结论；
（4）先根据题意得出a+b+c的取值范围，再代入数据进行验证即可．
【详解】（1）10y+x；
（2）根据题意得：10y+x+10x+y=11（x+y），
则所得的数与原数的和能被11整除．
(3) ∵-=100a+10b+c-（100b+10c+a）
=99a-90b-9c
=9(11a-10b-c)，
∴与的差一定是9的倍数；
(4)∵+++++=3470+
∴222（a+b+c）=222×15+140+
∵100＜＜1000，
∴3570＜222（a+b+c）＜4470，
∴16＜a+b+c≤20．
尝试发现只有a+b+c=19，此时=748成立，
这个三位数为748．
【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
C
C
D
A
A
D
A