一次函数的规律探究之图形面积模型-2024-2025学年度中考数学专题复习函数模型汇总讲义（全国通用）

这是一份一次函数的规律探究之图形面积模型-2024-2025学年度中考数学专题复习函数模型汇总讲义（全国通用），共19页。
模型示例：如图，直线与y轴交于，按如图方式作正方形点在直线上，点在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，求（用含n的代数式表示，n为正整数）．
第①步 判断直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形：
设直线与x轴交于H，当时，，当时，，
∴，
∴，
∴直线与x轴的夹角为，
∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形；
第②步 求得第一，第二，第三，…，第n个正方形的边长：
∵，即第一个正方形的边长为2，
∴，
∴，即第二个正方形的边长4，
同理可得，即第三个正方形的边长为8，
…，
∴可知第n个正方形的边长为，
第③步 求出…，找到规律，进而求解：
∴，
，
，
…，
∴．
适用范围：已知一次函数的图象和相关图形，求有关规律性图形的面积．
先求前面几个图形的面积，找到规律再求解
如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，按如图方式作正方形，正方形，正方形点在直线，，，…在直线上，点，，，…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，，，…则的值为 ．
设直线与x轴交于H，求出，得到，则直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出第n个正方形的边长为，求出…，再根据规律即可进行求解．
解：设直线与x轴交于H，交于点，交于点，交于点，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴直线与x轴的夹角为45°，
∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，
∵，即第一个正方形的边长为2，
∴，
∴，即第二个正方形的边长4，
同理可得，即第三个正方形的边长为8，
…，
∴可知第n个正方形的边长为，
，
，
同理得：，
，
，
，
∴，
，
，
…，
，
，
故答案为：．
1．如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线，设，，，…的面积分别为，，，根据图形所反映的规律，（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x、y轴分别交于点A、B，在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线直线上被取，过点作y轴的垂线，垂足为点，得到；…；以此类推，第n个的面积是 （用含n的式子表示，n是正整数）
4．如图．已知直线，分别过点，，…，作x轴的垂线交直线于点，将，四边形，四边形，…，四边形的面积依次设为，则的值为 ．

5．如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线分别交于点；函数的图象与直线分别交于点，如果的面积记作，的面积记作，的面积记作…的面积记作，那么 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，点、、…在轴上，、、…在直线上，若，且、…都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为、、…．则可表示为 ．

7．如图，已知，是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线交直线于点，连接，依次相交于点，，的面积依次为，则为 ．
8．如图，已知、、在直线上，按照如图所示方法分别作等腰面积为，等腰面积为，（其中点都在轴正半轴上，都为顶角，），若，则 ，则 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数的图像上，从左向右第3个正方形中的一个顶点的坐标为，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为，，，…，，则的值为 ．
10．如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第个等腰直角三角形的直角边长，求出第个等腰直角三角形的面积，用同样的方法求出第个等腰直角三角形的面积，第个等腰直角三角形的面积，找出其中的规律即可求出第个等腰直角三角形的面积．
【详解】解：当时，，
根据题意，第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的面积为，
当时，，
第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的面积为，
当时，，
第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的面积为，
依此规律，第个等腰直角三角形的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出规律是解题的关键．
2．A
【分析】过点作轴于点，利用等腰直角三角形的性质可得出，结合点的坐标可求出的值，设点的坐标为，，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，，，的值，再利用三角形的面积公式即可得出，，，的值，代入即可求出结论．
【详解】解：过点作轴于点，如图所示．
△，△，△，都是等腰直角三角形，
，，，，．
点的坐标为，
；
设点的坐标为，，则点的坐标为，．
点在直线上，
，
，
，
点的坐标为，，即，．
点在直线上，
，
，
．
，，，，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，利用点的变化，找出点纵坐标的变化规律“”是解题的关键．
3．
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．先求出A、B两点的坐标，再设设，，，再求出a、b、c的值，利用三角形的面积公式得出其面积，找出规律即可．
【详解】解：∵一次函数与x、y 轴分别交于点A、B，
∴，，
，
设，，，
，
，
解得∶，（舍去），
，
同理可得，，，
，，
．
故答案为：
4．4043
【分析】根据直线l的解析式以及三角形的面积可以找出部分的值，根据数的变化找出变化规律“”，此题得解．
【详解】解：∵，，…，
∴，，，…， ．
把代入，得，即，
同理可求，，，…， ．
∵，
，
，
，
…，
∴．
当时，．
故答案为：4043．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中的数的变化类，解题的关键是找出变化规律“”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积找出部分的值，再根据面积的变化找出变化规律是关键．
5．
【分析】根据直线解析式求出的值，再根据三角形面积公式求出的表达式，然后把代入表达式进行计算即可得出解．
【详解】解：由题意得，，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的综合，读懂题意，根据直线解析式求出的值是解题的关键．
6．
【分析】直线与轴的成角，可得，，，，，；根据等腰三角形的性质可知，，，，；根据勾股定理可得，，，，再由面积公式即可求解．
【详解】解：△、△△都是等边三角形，
，，
直线与轴的成角，，
，
，
∵，
，
同理，，，
，，，，
，，
，
同理，，，
，，，，
，，，；
故答案是：．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长、应用相似三角形规律求解是解题的关键．
7．
【分析】此题考查的知识点是一次函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力由已知可以得到，，，点的坐标分别为：，，，，则点，，，的坐标分别为，，，，由此可推出点，，，的坐标为，，，，．由函数图象和已知可知要求的的坐标是直线和直线的交点．在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点，再跟进从而求得结果．
【详解】解：由已知得，，，的坐标为：，，，，
∵分别过点作轴的垂线交直线于点，
∴点，，，的坐标分别为，，，．
由此可推出，，，四点的坐标为，，，，．
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴点，
∴
，
故答案为： ．
8． 1 675
【分析】关键一次函数图像上点的坐标特征，得到的纵坐标，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积，得到变化规律进行求解．
【详解】解：∵、、，…，在直线上，
∴ ，，，，…，；
又∵，
故
∴；
；
；
；
…
∴Sn（n为奇数），（n为偶数），
∴ ．
故答案是：1；675．
【点睛】本题考查一次函数上点的坐标特征，根据特殊点的坐标得到变化规律是解决问题的关键．
9．
【分析】根据直线解析式判断出直线与正方形的边围成的三角形是底是高的2倍，再根据A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第4个正方形的边长，然后根据阴影部分面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．
【详解】解： ∵的坐标为，
∴，点C的横坐标为，
∴点C的纵坐标为，
∴第4个正方形的边长是，
同理可得第5个正方形的边长为，
第6个正方形的边长为，
∵阴影部分面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数得到规律问题，正方形的性质，观察并寻找规律是解题的关键．
10．
【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，数字类的规律性问题，解题的关键在于能够求出．先利用一次函数与坐标轴交点的求解方法求出（，0），（0，），则，，从而得到，由此求解即可．
【详解】解：由题意得：和分别是直线与x轴，y轴的交点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，
故答案为：．