直线平分图形面积模型-2024-2025学年度中考数学专题复习函数模型汇总讲义（全国通用）

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模型示例：如图，四边形是平行四边形，，，，若直线平分四边形的面积，求k的值．
第①步 求出平行四边形的中心点G的坐标：如图，连接和，交于点G．
∵四边形是平行四边形，
∴G为中点，
∵，，
∴，即．
第②步 把点G的坐标代入函数解析式求解：
∵平分平行四边形的面积，
∴必过G点，
∴，
解得：．
适用范围：一次函数平分图形面积的相关题型．
先求图形对称中心的坐标，再代入解析式求解
如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B、D的坐标分别为、，直线交y轴于点，当直线m平分矩形的面积时，k的值是 ．
1.2
连接．由点B点和D点的坐标得出的中点坐标为，即为矩形中心的坐标，然后由已知条件得出直线m经过点，最后用待定系数法即可求解．
解∶如图，连接．
∵点B，D的坐标分别为、
∴的中点坐标为
∵直线m平分矩形的面积
∴直线m经过点，
∵直线m过点
∴，解得：
∴k的值为1.2．
故答案为：1.2．
1．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，直线分别交轴、轴于点、，交线段于点，连接，当直线将的面积分为相等的两部分时，的周长为（ ）

A．B．C．12D．16
2．如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴的正半轴上，且，，直线以每秒1个单位的速度向下平移，经过秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分，则t的值为( )
A．3B．4C．5D．6
3．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，且顶点A的坐标为，点B的坐标为，将平行四边形沿着直线翻折，得到四边形，若直线把六边形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为( )

A．或B．或
C．或D．或
5．已知的顶点坐标分别为，，，当过点的直线将分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为 ．
6．如图，四边形是平行四边形，，，，若直线平分四边形的面积，则 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是
8．在平面直角坐标系中，若直线分别交轴，轴于，两点，是原点，则过的顶点或，且把分成面积相等的两部分的直线所对应的函数表达式为 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与过点−1,1的直线交于y轴上的点B，点A，D分别为直线，与x轴的交点．
(1)求点B的坐标及直线的函数表达式；
(2)若过点B的直线把的面积平分，直接写出直线的表达式．
10．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，且，过点的直线与直线交于点，动点，都在线段上（，不与、重合，与不重合），且，以为边在轴下方作正方形，设，正方形的周长为．
(1)求直线的函数解析式；
(2)当时，正方形的面积为_______；
(3)求与之间的函数关系式；
(4)当直线将正方形的分成面积相等的两部分时，请直接写出的值．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理．根据题意点为的中点，利用中点坐标求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，再求得点的坐标，据此求解即可．
【详解】解：∵直线将的面积分为相等的两部分，
∴点为的中点，
∴点，
∵，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得，
∴点，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：B．
2．D
【分析】依题意，直线经过平行四边形对角线的交点时，平分平行四边形的面积，求出对角线交点坐标，进而根据一次函数平移的性质即可求解．
【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，
设t秒后直线可将平行四边形分成面积相等的两部分，则直线经过平行四边形的对角线的交点
∵点，
∴平行四边形对角线的交点坐标为
当过时，则
解得：，
∴向下平移个单位得到，
∴经过秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，平行四边形的性质，掌握平行四边形的中心对称性质，直线经过对角线的交点是解题的关键．
3．A
【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，求一次函数解析，解题的关键是作出放心上，设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作于点B，先根据图形得出，根据三角形面积公式得出，求出，得出，把代入，求出k的值即可．
【详解】解：设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作于点B，如图所示：
∵正方形的边长为1，
∴，
∵经过原点的直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边的面积都是4，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，
故选：A．
4．A
【分析】根据翻折的对称性，显然直线OC是满足条件的直线l．另外考虑到过平行四边形的中心任作一条直线都可以把这个四边形分为面积相等的两部分，故过两个平行四边形的中心的直线也是满足条件的直线l，仿照这两条思路问题不难得解．
【详解】分两种情况讨论：
①如下图，

因为平行四边形的对边相等，
∴，因点B的横坐标为6，
∴C点的横坐标为．
即：C点的坐标为．
设直线的解析式为：，
则：．
故的解析式为：．
因是对称轴，故直线把六边形的面积分成相等的两部分，即为满足条件的直线l．
②自点B作x轴的垂线，垂足为点E，取的中点I，连接EI，如下图．

∵ A的坐标为，点B的坐标为
∴，，
由勾股定理得：．
因，
∴．
∴平行四边形是菱形．
因是直角斜边AB上的中线，所有，
∵，
所以．
则△IAE是等边三角形．
∴．
∴，
∴四边形是含内角的菱形．
由翻折性知，四边形也是菱形，且．
∴平分，
则：，
∴．
∴在y轴上．
连接，交y轴于点，则，即垂直于y轴．
因也垂直于y轴，
所以，点位于同一条直线上，
∴点的坐标为．
设与相交于点M，自M点作垂直于x轴，垂足为点D．
则为的中位线，
∴，，
∴点M的坐标为．
因为点的坐标是、，
设直线的解析式为：，
∴
求得：．
∴直线的解析式为：．
因点是菱形与菱形的中心，
故直线把六边形的面积分成相等的两部分，即就是满足的条件的直线l．
综合①②两种情况，直线l的解析式为：或，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形、一次函数的解析式、直角三角形中线性质、三角形中位线性质等知识点，解题的关键是根据对称特性作出正确的辅助线．
5．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，中线均分三角形面积是解答本题的关键．根据题意，先求出线段的中点坐标，再利用待定系数法求出直线l的解析式即可．
【详解】解：线段的中点坐标为，
设直线l的解析式为，
，
解得，
∴直线l的解析式为：．
故答案为：．
6．
【分析】本题考查一次函数的性质，平行四边形的性质．理解该直线必过点G是解题的关键．
连接和，交于点G．利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合题意得到必过G点，代入G点坐标运算求解即可．
【详解】解：如图，连接和，交于点G．
∵四边形是平行四边形，
∴G为中点，
∵，，
∴，即．
∵平分平行四边形的面积，
∴必过G点，
∴，
解得：．
故答案为：．
7．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、平行四边形对称中心的性质，熟知“过平行四边形对称中心的直线平分平行四边形的面积”是解题的关键．
根据将的面积分成相等的两部分，知直线经过平行四边形的对称中心，根据线段的中点坐标公式，得到平行四边形对称中心坐标为，然后把代入求解得出的值即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，直线将的面积分成相等的两部分，
∴直线经过平行四边形的对称中心，即的中点，
∵，，
∴平行四边形的对称中心坐标为，即，
∴把代入得：，
解得：．
故答案为：．
8．或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式等，由得点，，然后分当直线经过点和中点0,1时，当直线经过点和中点2,0时，两种情况讨论即可，掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】解：由得，
当时，；当时，；
∴点，，
∴过的顶点或，且把分成面积相等，
当直线经过点和中点0,1时，
设解析式为，
∴，解得：，
∴解析式为；
当直线经过点和中点2,0时，
设解析式为，
∴，解得：，
∴解析式为，
故答案为：或．
9．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标,三角形的中线性质．
（1）根据待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求出点A、D的坐标，以及的中点坐标，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：在直线中，令，得，即B0,3，
设直线为，根据题意得：
，
解得：，
即直线的解析式为．
（2）解：在直线中，令，解得，即，
在直线中，令，得，即，
中点的横坐标为，
∴的中点坐标为，
由题意知直线经过的中点和点B0,3，
设直线的表达式为，
代入得，
解得，
∴直线的表达式为．
10．(1)
(2)16
(3)
(4)或
【分析】本题考查一次函数的综合及正方形的性质，熟练的求解函数解析式，利用正方形的性质表示线段的长度是解决问题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求得正方形的边长，即可求得正方形的面积；
（3）分当和时，两种情况讨论，用分别表示出的长，利用正方形的周长公式即可求解；
（4）当时，用表示出，，根据题意列出方程，即可求解；当时，同理求解即可．
【详解】（1）解：∵，∴点，
设直线的函数解析式为，
∴，
解得，
∴直线的函数解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
故答案为：16；
（3）解：当时，如图，
∵，
∴，
∴正方形的周长为；
当时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴正方形的面积为；
综上，；
（4）解：当时，设，分别与直线交于点，如图，
∵，
∴点，点，
∵直线的解析式为，
∴点，点，
∵正方形，
∴，
∴，，
∵，，
由题意得，
整理得即，
解得（舍去）或；
当时，设，分别与直线交于点，如图，
同理，求得，
综上，当直线将正方形的分成面积相等的两部分时，的值为或．