中考数学复习讲义：第三章 三角形 模型（六）——8字模型（含解析）

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模型讲解
【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D.

【证明】在△ABO中，∠A+∠B+∠1=180°
在△CDO中，∠C+∠D+∠2=180°，
∵∠1=∠2,
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
拓展模型1
若 BP，DP分别是∠ABC，∠ADC的平分线，则∠P=（∠A＋∠C）.

拓展模型2
若∠CBP=∠ABC,∠CDP=∠ADC，则∠P=∠A+∠C

拓展模型3
AB+BC+CD+AD＞AC+BD
典例秒杀
典例1 ☆☆☆☆☆
如图，∠C=∠D=90°，∠A=20°，则∠COA=________,∠B=________。

【答案】70°；20°
【解析】∵∠C=90°，∠A=20°，
∴∠COA=180°-∠C-∠A=180°-90°-20°=70°，
由 8 字模型的结论，知∠A＋∠C=∠B＋∠D.
又∵∠C=∠D， ∴∠B=∠A=20°.
典例2 ☆☆☆☆☆
如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB= 120°，
求∠DFB 和∠DGB 的度数.

【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=（∠EAB -∠CAD）=×（120°- 10°)=55°
∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+ 55°＋25°= 90°
∴∠DGB=∠DFB -∠D=90°-25°=65°.
典例3 ☆☆☆☆☆
如图，五角星的顶点为 A，B，C，D，E，则∠A＋∠B+∠C+∠D＋∠E 的度数为（ ）

A.90° B. 180° C. 270° D.360°
【答案】B
【解析】如图，连接 CD.

由 8 字模型的结论，知∠B十∠E=∠1＋∠2.
∵∠A+∠ACD＋∠ADC=180°,∠ACD=∠1＋∠3,
∠ADC=∠2十∠4，
∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=180°.
故选 B.
小试牛刀
1.（★☆☆☆☆）如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=40º，则∠D的度数为（ ）

A.40° B.50° C.60° D.70°
2.（★★☆☆☆）如图是由线段 AB，CD，DF，BF，CA 组成的平面图形，∠D=28°，则∠A+∠B＋∠C＋∠F的度数为（ ）
A.62° B.152° C. 208 ° D. 236°

（★★☆☆☆） 如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于E，
∠C=40°，∠D=20°，则∠ABC的度数为（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°

直击中考
1.如图所示，∠α的度数是（ ）.
A.10° B.20° C.30° D.40°

在中考考试中 ，8字模型不仅单独进行考查 ，而且在手拉手全等及手拉手相似中也常常用来进行导角，应用十分广泛 。同学们若能很好地掌握并运用它 ，常可达到事半功倍约效果 .
第三章.三角形
模型（6）——8字模型
答案：
小试牛刀
答案 A
解析：由8字模型的结论，知∠A＋∠B=∠C+∠D
∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B=∠C=9０º，∴∠Ｄ=∠A=40º，故选Ａ
答案 C
解析：由8字模型的结论，知
∠A＋∠C= ∠D+∠DEG，∠B+∠F=∠D+∠DGE
∴∠A＋∠B＋∠C+ ∠F =∠D+∠DEG+∠DGE+∠D
∵∠D=28º，∠D+∠DEG+∠DGE=180º，
∴∠A＋∠B＋∠C+ ∠F=180º+28º=208º
故选Ｃ．
答案 C
解析 ：如图，连接EF

由 8 字模型的结论知，∠C ＋ ∠CED= ∠D＋∠DBC,
∵DE⊥AC ,∴∠CED=90°,
又∵∠C =40°,∠D=20°,
∴40°+ 90°=20°+∠DBC,∴∠DBC=110°
∴∠ABC=180°-∠ DBC=180°-110°=70°
故选Ｃ．
直击中考
1. 答案 A
解析 ：如图
由 8字模型的结论，知∠A+∠B=∠C+∠D, ∴30º＋20º=40º十∠α，
∴∠α=10°.
故选 A.