一次函数结合45°角模型-2024-2025学年度中考数学专题复习函数模型汇总讲义（全国通用）

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模型示例：如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x负半轴上，点，，求点B的坐标．
第①步 作辅助线构造“一线三垂直”模型，求出点E的坐标：
过点C作交的延长线于点E，过点E作轴于点D，则，
∵点，点，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，∴
∴
∴
∴点E的坐标为；
第②步 求出直线的解析式，再求点B的坐标：
设直线的解析式为
则，解得，
∴直线的解析式为；
当时，，解得，
∴点B的坐标为．
适用范围：坐标系中出现一次函数与45°相关的图形问题．
先构造“一线三垂直”模型求出相关点的坐标，再求解析式，后求交点
已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线也经过A点，位置如图所示，且与直线所夹锐角为，则直线的函数表达式为 ．
过点B作，交于C，过C作轴于点D，构造“一线三垂直”模型，从而证明，得到，，然后求出A、B的坐标，得到、的长度，从而得到C点坐标，最后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式．
解：如图，过点B作，交于C，过C作轴于点D
，
是等腰直角三角形
，
直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，
，
，
∴C点的坐标为
设直线的解析式为
∵直线经过，
解得：，
的解析式为．
故答案为：．
1．如图，一次函数交轴于点，交轴于点，过点作，且．连接，当点在第一象限时，直线的解析式为（ ）

A．B．C．D．
2．如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，若，则直线的函数表达式为（ ）

A．B．
C．D．
3．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式为（ ）

A．B．C．D．
4．如图，在正方形中，点B的坐标为，点E、F分别在边上，点E为的中点，若，则线段所在直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，其中，，则直线的函数表达式为 ．
6．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，若在线段AB上存在一点M，使得，则点M的坐标是 ．

7．一次函数的图象经过点，且与轴，轴分别交于，两点．将该直线绕点顺时针旋转至直线，则直线的函数表达式 ．
8．如图，长方形在平面直角坐标体系中，点、分别在轴、轴的正半轴上，，．若、上分别有点、，满足，，点则点的坐标为

9．已知，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)如图1，若，．
求点，，的坐标；
点，分别在射线和射线上，点在轴上，若四边形为菱形，求点的坐标；
(2)如图，若，点，连接交于点，若，请直接写出的值．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴正半轴且．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，过点A的直线交线段于点M，且满足与的面积比为，点E和点F分别是直线和x轴上的两个动点，当的值最小时，求出点M坐标及点E的坐标．
(3)如图3，在（2）的条件下，将点M沿着射线方向平移个单位得到点，若点N是直线上的一个动点，当时，请直接写出所有满足条件点N的坐标，并写出其中一个点N的求解过程．
参考答案：
1．A
【分析】根据点和的坐标求出线段和的长，过点作轴于，由全等三角形的判定可得出，由全等三角形的性质可得，，从而求出点C的坐标，继而可求出直线的解析式．
【详解】过点作轴于，

，，
，
，
轴，
，
，
，，，
，
，
点的坐标是，
设直线的解析式是：，
根据题意，将点代入得
则直线的解析式是
故选：A
【点睛】本题主要考查了一次函数综合，涉及到全等三角形的判定与性质，用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解本题的关键．
2．A
【分析】过点作交于点，过点作轴于点，可证得，从而得到，，可得到，再由和，即可求解．
【详解】解：如图，过点作交直线于点，过点作轴于点，则，
则，
对于直线，令x=0，得到，即，，
令，得到，即，，
，，
∴为等腰直角三角形，即，，
，
在和中，
，
，
，，
即，
，，
设直线的解析式为，
，
，
解得 ，
过、两点的直线对应的函数表达式是，
故选：A．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些知识是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．根据已知条件得到，求得，，过作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，然后用待定系数法，由点B、F坐标，求出直线的函数表达式即可．
【详解】解：一次函数的图象分别交轴于点，
令，得，令，则，
，
，
过A作交于，过作轴于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，而
，
，
，
设直线的函数表达式为：，
，
解得：，
直线的函数表达式为：，
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及求正比例函数解析式．延长到点M，使，连接，可证得，则有，进而可得，则有FM=EF，在中，根据勾股定理可得建立方程求出x的值，可得到点F的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，延长到点M，使，连接，
∵四边形是正方形，点B的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴
设，则，
在中，，
∴
解得：，
∴点F的坐标为，
设线段所在直线的解析式为y=kxk≠0，
把点代入得：，
解得：，
∴线段所在直线的解析式为．
故选A．
5．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，坐标与图形；过作轴于点，证明得出，则，进而待定系数法求解析式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，
∵，
∴
又∵，
∴
又∵，，
∴,
∴，
∴
∴
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴
故答案为：．
6．
【分析】题目主要考查一次函数的综合问题及等腰三角形的性质，勾股定理解三角形等，根据题意，确定一次函数解析式为，然后设，过点O作交AB于点C，运用等面积法确定，再由勾股定理及两点之间的距离列出方程求解即可，根据题意，作出辅助线是解题关键．
【详解】解：直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，解得，
∴，
设且，即，
过点O作交AB于点C，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）或，
当时，，
∴点M的坐标是，
故答案为：．
7．
【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，图形的面积等知识，根据待定系数法求得直线的解析式，进而即可求得、的坐标，求出，，过作交于点，过点作轴于，，通过证得，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．
【详解】∵一次函数的图象经过点，
∴，解得，
∴，
令，则；令，则，
∴ ，，
∴，，
过作交于点，过点作轴于，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴ ，
∴ ，
设直线的解析式为，把 ， 代入得，
，解得，
∴直线的解析式为，
故答案为：．
8．##
【分析】过点D作，交于点F，过点F作，交于点N，交y轴于点M，证明，得出，，即可得出，求出直线的解析式为，把代入得：求出即可得出点E的坐标．
【详解】解：过点D作，交于点F，过点F作，交于点N，交y轴于点M，如图所示：
则，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
同理可得：四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把代入得：
，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴点E的坐标是
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造相似三角形．
9．(1)，点和点；或；
(2)或．
【分析】（）对于，当时，， 当时，，即点的坐标分别为：，对于，当时，，即点，从而求解；
由四边形为菱形，则，又点，分别在射线和射线上，
∴设点，则点，则，由题意得：，即，即可求解；
（）由题意求出，再利用待定系数法求出直线的表达式为: ，则点，设点，过点作于点，过点作轴，过作于点，过作交于点，证明，
则，，即，且，即可求解；
本题主要考查了一次函数的解析式的求法，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）若，，则函数的表达式为：，，
对于，当时，，
当时，，
即点的坐标分别为：，
对于，当时，，即点，
即点的坐标分别为：；
当四边形为菱形时，
∴，
∵点，分别在射线和射线上，
∴设点，则点，则，
由题意得：，即，
解得：，，
则（），
则点，
（），
则点，
综上可知：或；
（2）∵，
∴直线：，当时，，
∴，
∵，
∴直线的表达式为: ，
联立得：，
解得：，
∴点，
设点，过点作于点，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
过点作轴，过作于点，过作交于点，
∴，
∴，，
∴，
∵ ，
∴，
则，，
∴，，，，
则，
解得：或，
经检验或是方程的解，
即或．
10．(1)
(2)点坐标为，点的坐标为．
(3)点的坐标为或，过程见详解
【分析】（1）由直线得，故，设直线解析式为，代入得直线解析式为．
（2）过作轴，过作轴，交于，连，在上取．由直线得，先证明得，根据垂线段最短得的最小值，即为垂线段的长．由与的面积比为得，可得，，过作轴，利用比例得，，再计算即可．
（3）过作，连，过作轴，以为底作等于，设直线解析式为，代入，得直线解析式为，利用一次函数性质得的纵坐标为6，得．有两个位置，当与重合时，得．当位于直线的点上方时，利用等腰三角形性质以及一次函数的性质计算即可．
【详解】（1）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A、点B
∴当时，则
∴，
，
∵
，
，
设直线解析式为，
代入得，
直线解析式为．
答：直线的解析式为．
（2）解：过作轴，过作轴，交于，连，在上取．如图：
由直线得，
，
，
在和中，
，
，
，
，
根据垂线段最短得
当、、三点共线，且垂直于时最短，
故的最小值，即为垂线段的长．
此时与直线的交点为．
与的面积比为，
，
，
，，
过作轴，
，
，，
，
，
，
，
．
答：点坐标为，点的坐标为．
（3）解：过作，连，过作轴，以为底作等于，如图：
设直线解析式为，
代入，得
∴
∴直线解析式为，
，
，
，
∴
，
，
∵以为底作等于
∴，
∵
∴
∵
∴轴
，
故的纵坐标为6，
又，
轴
为等腰直角三角形，
．
故有两个位置，
当与重合时，
得．
当位于直线的点上方时，
以为底作等腰，
∴
∵
∴
∴轴
设，则，
又，
∵轴
∴点的纵坐标为，
．
，
即，
又，
，
，
．
答：点的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，一次函数的解析式的求法，以及两直线平行相等，同时利用两直线联立求交点坐标的知识，掌握一次函数的性质是解题关键．