一次函数结合将军饮马模型-2024-2025学年度中考数学专题复习函数模型汇总讲义（全国通用）

这是一份一次函数结合将军饮马模型-2024-2025学年度中考数学专题复习函数模型汇总讲义（全国通用），共23页。学案主要包含了数学模型，模型应用，模型迁移等内容，欢迎下载使用。

模型示例：若点P在y轴上一点，且点P到点，的距离之和最小，则点 P的坐标．
第①步 先求点A关于y轴的对称点的坐标：
，
点A关于y轴的对称点的坐标为，
第②步 求出直线的解析式：
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
第③步 求直线与y轴的交点即为所求：
当时，，．
适用范围：求一点到一条直线同侧的两点的距离之和最小的题型．
先作对称点，再求解析式，后求交点
如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形是边长为4的正方形，点D为的中点，点P为上的一个动点，连接，，当点P满足的值最小时，直线的解析式为 ．
先求出的函数解析式为，连接交于点P，此时点P满足的值最小，用待定系数法求出的函数解析式为，进而得出点坐标，再用待定系数法，即可得出直线的解析式．
解：∵四边形是边长为4的正方形，
∴，
设的函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴的函数解析式为，
∵点D为的中点，
∴，
连接交于点P，此时点P满足的值最小，
设的函数解析式为，
把，代入得：，解得：，
∴的函数解析式为，
联立得：，解得：，
∴，
设直线AP的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
故答案为：．
1．两个城市需要从临近的一条河流引入水源，通过数学方法，建立了平面直角坐标系，如图所示，单位长度为，轴为河流，城市的坐标为0,2，城市的坐标为，现在要在轴（河流）上建造一座供水站分别向城市供水，使得输水管道总长度最小，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．2,0
2．如图，在Rt中，，点D在边上，，点C为的中点，点P为边上的动点，若使四边形周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（ ）
A．10B．C．D．
4．平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在平面直角坐标系中，，C为的中点，当的周长最小时，点P的横坐标为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点．点P是x轴上的一个动点，连结，，则当的值最小时，点P的坐标是 ．
7．如图，直线l垂直于x轴，垂足点F的坐标为，已知点，点，点P是直线l上一点，当的周长最小时，点P的坐标为 ．
8．在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线与y轴交于点D．将直线向上平移6个单位得到直线，直线与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线，若点M为垂线上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当的值最小时，此时点M的坐标为 ．

9．如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D．
(1)求直线的函数关系式；
(2)点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标；
(3)设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？
【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小．
解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且．
【模型应用】
问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点．
（1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标；
（2）请直接写出的最小值．
【模型迁移】
问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值．
参考答案：
1．A
【分析】关于x轴的对称点，设直线的解析式为，
根据题意，得，得到解析式，解析式与x轴的交点即为所求，本题考查了轴对称，解析式计算，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】根据题意，得关于x轴的对称点，
连接，交x轴于点P，此时最小，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故直线的解析式为，
当，
解得，
故,
故选A．
2．D
【分析】本题主要考查了轴对称最短线路问题，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，正确找出点的位置是解题的关键；作点关于的对称点，连接，若使四边形周长最小，只要最小，当、、三点共线时，最小，设直线交于，则点与重合时，四边形周长最小，利用待定系数法求出直线和的解析式，求出交点即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，
，，
，
，
点关于的对称点，
，，
若使四边形周长最小，只要最小，
当、、三点共线时，最小，
设直线交于，则点与重合时，四边形周长最小，
点在轴上，且，
，
，
设直线的函数解析式为：，
，
，
，
又直线，
，
解得，
点，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称最短线段问题，勾股定理，如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线AB的对称点为，连接 交 于点，交AB于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长，由一次函数解析式可得，，进而得，再根据轴对称得，，即得，最后利用勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线AB的对称点为，连接 交 于点，交AB于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长，
∵直线，
∴，，
∴，
∴，
∵点，
∴，
∴，
∵点关于直线AB的对称点为
∴，，
，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴ 周长的最小值是 10，
故选：．
4．A
【分析】由点，可知点是直线上的动点，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时为最小值，再利用两点间距离公式即可求得答案．
【详解】解：点，
点是直线上的动点，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，如图，
则，
为最小值，
由两点间距离公式得：，
的最小值为．
故选：．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最小值，两点间距离公式等，根据点，判断点是直线上的动点是解题关键．
5．##
【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数解析式．由题意知，，如图，作关于轴的对称点，连接，，则，，由的周长为，可知当三点共线时，的周长最小，直线与轴的交点即为点P，待定系数法求直线的解析式为，当时，，计算求解即可得点P的横坐标．
【详解】解：由题意知，，
如图，作关于轴的对称点，连接，，
∴，，
的周长为，
∴当三点共线时，的周长最小，直线与轴的交点即为点P，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，，
∴点P的横坐标为，
故答案为：．
6．
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
作点A关于x轴的对称点，连接，则的最小值即为的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，得出点B坐标，根据轴对称的性质可得点的坐标，设直线的解析式为，求出解析式，并把代入即可求出坐标．
【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：
则的最小值即为的长，将点代入，得
，
∴点A坐标为，
将点代入，
得，
解得，
∴点B坐标为0,3，
根据轴对称的性质，可得点坐标为
设直线的解析式为，
将0,3，代入得
解得：
直线的解析式为，
设点代入得
解得：，
点P的坐标是1,0，
故答案为：1,0．
7．
【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数解析式．熟练掌握轴对称的性质，一次函数解析式是解题的关键．
如图，A关于直线l的对称点是，连接交直线于，点即为所求；待定系数法求直线的解析式为，当代入求解，进而可求点P的坐标．
【详解】解：如图，A关于直线l的对称点是，连接交直线于，
则，点即为所求；
设直线的解析式为，
∴，
解得．
∴，
当时，，
∴，
故答案为：．
8．
【分析】由直线与坐标轴交点求法可求，，由平移的性质得直线：，从可得点是点关于直线对称，联立直线：与直线：，可求出，作点关于轴的对称点为，由点关于坐标轴对称规律得，连接交轴、于点、，则此时最小，最小值为：，由待定系数法求得直线为，即可求解．
【详解】解：直线：，
当时，
，
，
同理可求：，
将直线向上平移6个单位得到直线，
直线：
，
，
，
，
，
点是点关于直线对称，
联立直线：与直线：得：
，
解得：，
，
如图，作点关于轴的对称点为，
，
连接交轴、于点、，
则此时最小，
最小值为：，
设直线为，则有
，
解得：，
直线为，
当时，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了待定系数法，点关于坐标轴的对称规律，两点之间线段最短等，掌握“将军饮马”典型问题的解法是解题的关键．
9．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）把点，点代入直线，求出、的值即可；
（2）解由直线和直线的解析式所构成的方程组，所得的解即可得出点坐标，据此求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标即可得到答案；
（3）作直线，作点关于直线的对称点，连接，利用待定系数法求出其解析式，根据点在直线上求出的值即可．
【详解】（1）解：∵点，点在直线：上，
∴，
解得：，
∴直线的函数关系式为；
（2）解：联立，
解得：，
∴点的坐标为；
在中，当时，，
∴A3，0，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴点P的坐标为或；
（3）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，此时的最小值为，
则点即为所作，其坐标为，
∵，
∴，
∵，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴当的值为时，的值最小．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称最短路线问题，两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点，垂直平分线的性质，两点之间线段最短等知识．通过作出辅助线，利用轴对称的性质求解是解题的关键．
10．问题1：；问题2：（1）；（2）的最小值；问题3：．
【分析】问题1：连接，则，，即的最小值是长度，再根据勾股定理求出答案即可．
问题2：（1）由待定系数法可求的解析式，即可求解；
（2）由，则当点A，点P，点三点共线时，的最小值为的长，由勾股定理可求解；
问题3：由菱形的性质可得，，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，即可求解．
【详解】问题1：连接，
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是BE长度，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
故答案为：；
问题2：（1）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，
∵点．
∴，
设直线的解析式为，
∵点，点．
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标；
（2）的最小值；
问题3：如图5，过A作，交于P，连接，
此时线段最小，且，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
即：
∴的最小值是．
【点睛】本题考查了轴对称最短问题，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．