一次函数结合折叠问题模型-2024-2025学年度中考数学专题复习函数模型汇总讲义（全国通用）

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模型示例：将长方形按如图方式放置于平面直角坐标系中，已知点，P为y轴上一点，将沿直线折叠，点C恰好落在x轴上的点M处，求折痕所在直线所对应的函数表达式．
第①步 根据折叠的性质和勾股定理求出的长，即得点P的坐标：
∵长方形中，点B的坐标为，
，，
根据翻折的性质可知，，，
在中，根据勾股定理，得，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，；
第②步 待定系数法求出直线的解析式：
设直线的函数表达式为，把和代入，得
，解得：
直线所对应的函数表达式为．
适用范围：坐标系中已知图形的折叠，求与一次函数相关的问题．
牢记折叠性质、灵活应用勾股定理、熟练掌握待定系数法是王道
如图，将矩形纸片放入平面直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处，交y轴于点E，若，，则下列结论正确的个数为（ ）
①O是的中点； ②点的坐标为
③线段； ④
A．4 B．3 C．2 D．1
B．
由矩形的性质可得出，由折叠的性质可得出，由直角三角形可得出可判断①，由勾股定理可判断③，设．则，由勾股定理可求出a的值，进一步即可得出点点的坐标为可判断②，求出直线的解析式，以及点E的坐标即可判断④．
解：∵是矩形，
∴，
由折叠的性质可得出，
在中，，
∴，
故O不是的中点，即①错误，
∵在矩形纸片中，，
∴，
由折叠性质可知，，
在中，，故③正确，
∴，
设．则．
在中， ，
即，
解得：，
∴，，
又∵点在第二象限，
∴点的坐标为：故②正确．
∵，
∴，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴．
∴，，
∴，故④正确，
综上②③④正确，
故选：B．
1．已知，如图，直线：，分别交平面直角坐标系于两点，直线：与坐标轴交于两点，两直线交于点；点是轴上一动点，连接，将沿翻折，点对应点刚好落在轴负半轴上，则所在直线解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，将沿直线折叠，此时点A落在点D处，与交于点E，且，则所在直线的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点；③直线的解析式为；④正确的结论是（ ）

A．①②B．①③C．①④D．①③④
4．将函数的图象作如下变换：保留其在x轴及其上方部分的图象，再将x轴下方部分的图象沿x轴翻折，得到如图所示的“V”形图．已知关于x的一次函数的图象与“V”形图左、右两侧分别交于点A、B．有下列说法：
①是直角三角形；
②有且仅有一个实数m，使；
③当时，是等腰三角形；
④当时，的面积是．
其中说法正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．在平面直角坐标系中，四边形为矩形，在x轴正半轴上，在y轴正半轴上，且，点E在上，连接，将沿折叠，使点A恰好落在边上的点F处，则直线的表达式为 ．
6．如图，点在正方形边上，且，点是线段上一动点（点不与点重合），连接，将沿所在直线折叠，点的对应点为，过作于点，当点落在正方形的对角线上时，线段的长为 ．

7．如图，直线与轴，轴分别交于点和点，是的上的一点．若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．
(1)求，两点的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)平面直角坐标系内是否存在点，使得以点，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B的坐标为（4，2），点D为线段上的一个动点，点E为线段上一点（不与点A重合），连结．
(1)求对角线所在直线的函数表达式．
(2)如图2，将沿着翻折，使点A落在平面内的点F处．若点D为对角线的中点，当点F恰好落在矩形的顶点上时，求的长．
9．如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ．
(1)求A、C两点的坐标；
(2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积；
(3)求所在直线的函数表达式．
10．如图1，矩形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为，D是边上一点（不与点A、B重合），将沿直线翻折，使点B落在点E处．
(1)求直线所表示的函数的表达式；
(2)如图2，当点E恰好落在矩形的对角线上时，求点D的坐标；
(3)如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出点E的横坐标．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法，折叠，勾股定理，过点作轴于，过点作轴于，先求出点的坐标，再求出直线的解析式，然后求出点坐标，得到，设点的坐标为0,m，利用勾股定理可求出，由待定系数法即可求出所在直线解析式，求出点的坐标是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，点为点在轴负半轴上的对应点，
把代入直线：得，
，
∴，
∴，
把代入直线：得，
，
∴，
∴直线解析式为，
∴点坐标为，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设点的坐标为0,m，
则，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
设所在直线解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴，
故选：．
2．C
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、勾股定理，设点E的坐标为，则，，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式．利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是长方形，，
∴，
设点E的坐标为，则，，
在中，，，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
设所在直线的解析式为，
将点代入中，
得，解得：，
∴所在直线的解析式为．
故选C．
3．B
【分析】根据直线的解析式求出点、点的坐标，由勾股定理求出的长即可判断①；由折叠的性质可得：，，，由勾股定理可求出的长，进而求出点的坐标，可判断②；利用待定系数法可求的解析式，可判断③；由面积公式可求的长，从而得出点的纵坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点的坐标，可判断④．
【详解】解：直线分别与、轴交于点、，
点，点，
，，
，故①正确；
线段沿翻折，点落在边上的点处，
，，，
，
，
，
，
点，故②不正确；
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，故③正确；
如图，过点作于，
，
，
，
，
当时，，
，
点的坐标为，故④不正确．
故选：B．
【点睛】本题是一次函数的综合题、考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活应用这些性质解决问题是关键．
4．C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握一次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的判定是解题的关键．
由题意知，变换后的图象解析式为，由，可知的图象经过点，如图，由，与轴的夹角均为，可得，进而可判断①的正误；由题意知是经过点且与“V”形图左、右两侧分别交于点A、B的一系列的直线，则的线段长度从连续增大，即有且仅有一个实数m，使；可判断②的正误；当时，是等腰三角形；由题意知，，进而可判断③的正误；当时，令，解得，，则，即，同理可得，，由勾股定理得，，，则，计算求解可判断④的正误．
【详解】解：由题意知，变换后的图象解析式为，
∵，
∴当时，，
∴的图象经过点，
如图，
∵，与轴的夹角均为，
∴，
∴是直角三角形；①正确，故符合要求；
∵是经过点且与“V”形图左、右两侧分别交于点A、B的一系列的直线，
∴的线段长度从连续增大，
∴有且仅有一个实数m，使；②正确，故符合要求；
∵，
∴当时，是等腰三角形；
由题意知，，
∴不是等腰三角形；③错误，故不符合要求；
当时，令，解得，，则，即，
同理可得，，
由勾股定理得，，，
∴，④正确，故符合要求；
故选：C．
5．
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，一次函数解析式等知识．熟练掌握矩形与折叠，勾股定理，一次函数解析式是解题的关键．
由矩形，，可得，，，由折叠的性质可知，，，由勾股定理得，，则，，设，则，由勾股定理得，，可求，则，待定系数法求直线的表达式即可．
【详解】解：∵矩形，，
∴，，，
由折叠的性质可知，，，
由勾股定理得，，
∴，，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
设直线的表达式为，
将，代入得，，
解得，，
∴，
故答案为：．
6．或1
【分析】本题主要考查折叠的性质、正方形形的性质、两点间的距离公式、用待定系数法求函数解析式．根据题意可得，，由折叠的性质可得，，，，再分两种情况：①当点在对角线上时，以点为原点建立直角坐标系，连接，根据待定系数法可求得所在直线解析式为，设点的坐标为，根据两点间的距离公式列出方程，求得，因此，则；②当点在对角线上时，此时点与点重合，连接，易证四边形为正方形，则，．
【详解】解：，
，，
，
四边形为正方形，
，，
由折叠的性质可得，，，，，
①当点在对角线上时，
如图，以点为原点建立直角坐标系，连接，

则点，，，
设所在直线解析式为，
，
解得：，
所在直线解析式为，
设点的坐标为，
，，
，
解得：或（舍去），
，
，
；
②当点在对角线上时，此时点与点重合，
如图，连接，
，
，
，
四边形为正方形，
，
．
综上，线段的长为或1．
故答案为：或1．
7．(1)，
(2)直线的表达式为
(3)存在，点的坐标为，，
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、求一次函数解析式、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）当时，，即可得出的坐标，当时，，解得，即可得出的坐标；
（2）由题意得，，则，由折叠的性质可得：，，推出，设，则，由勾股定理求出的值，从而得出的坐标，最后利用待定系数法求解即可；
（3）分来两种情况：当为对角线时，当为边时，分别利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，即，
当时，，解得，即；
（2）解：由（1）得：，，
∴，，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
设直线的表达式为，
将，代入解析式得，
解得：，
∴直线的表达式为；
（3）解：由（2）可得：，
∴，
如图，当为对角线时，四边形为平行四边形，
设，则，
解得：，
∴；
当为边时，四边形、为平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，；
综上所述，存在，点的坐标为，，．
8．(1)
(2)或
【分析】对于（1），先求出点A，C的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的关系式即可；
对于（2），当点F与点O重合时，根据中点定义得出答案；当点F与点C重合时，根据勾股定理求出答案．
【详解】（1）∵四边形是矩形，点B的坐标为，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）当F点与O点重合时，，
∵D点是的中点，
∴E点是的中点，
∴.
当F点与C点重合时，，
此时，
在中，，
∴，
解得，
∴.
综上所述：的长为2或.
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，翻折的性质，勾股定理，矩形的性质，勾股定理是求线段长的常用方法．
9．(1)
(2)折叠后纸片重叠部分的面积为10
(3)
【分析】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键．
（1）根据得出，根据勾股定理得出，列出方程求解即可；
（2）设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求出，根据，即可解答；
（3）由（2）可得，设，则，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求出，则，在用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵四边形为长方形，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形为长方形，
∴， ，
由折叠可得：，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴折叠后纸片重叠部分的面积为10；
（3）解：由（2）可得，
∴，
由折叠可得：，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
∴，
设所在直线的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴所在直线的函数表达式为．
10．(1)；
(2)点的坐标为；
(3)点E的横坐标为或．
【分析】（1）利用矩形的性质，求出点A、C的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）中，由勾股定理得：即可求解；
（3）分两种情况①当时，②当时，分别求解即可．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、矩形的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，注意分情况讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点的坐标为且四边形是矩形，
∴点的坐标分别为，
设的表达式为：
把两点的坐标分别代入上式得：
解得：，
∴直线所表示的函数的表达式是：；
（2）解：∵点的坐标为， 点的坐标为，
中，
∵四边形是矩形，
∵沿折叠，
设则
中，由勾股定理得：
解得：
∴点的坐标为；
（3）解： 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，如图：

∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
①当时，
∵，
由折叠可知，，
∴，
在中，，
∴点的横坐标为：；
②当时，
∵，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
设， 则，
在中，
在中，
即
解得：
∴
在中， ，
∴点E的横坐标为，
∴当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点E的横坐标为或．