高中数学沪教版（2020）必修第二册1复平面与复数的坐标表示优秀课后作业题

这是一份高中数学沪教版（2020）必修第二册1复平面与复数的坐标表示优秀课后作业题，文件包含沪教版2020高中数学必修第二册92《复数的几何意义》基础提升分层练习原卷版docx、沪教版2020高中数学必修第二册92《复数的几何意义》基础提升分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。

一．复数的代数表示法及其几何意义（共6小题）
1．（2023•长宁区二模）设复平面上表示和的点分别为点和点，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据条件可写出表示向量的复数，然后即可得出该复数所位于的象限．
【解答】解：根据题意知，表示向量的复数为，
在复平面上所对应的点为位于第一象限．
故选：．
【点评】本题考查了复数和复平面内的点的对应关系，复数和向量的对应关系，考查了计算能力，属于基础题．
2．（2023春•杨浦区校级期末）已知复平面上有点和点，向量与向量所对应的复数分别为与，则点的坐标为 ．
【分析】由向量的运算知，从而可得对应的复数为，从而求得．
【解答】解：，
对应的复数为，
故点的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的几何意义的应用，属于基础题．
3．（2023春•徐汇区校级期末）已知复平面上平行四边形的顶点，、、按逆时针方向排列，则向量所对应的复数为 ．
【分析】根据题意，直接利用向量的对应关系求出点的坐标，进一步求出向量所对应的复数．
【解答】解：根据题意，复平面上平行四边形的顶点，、、按逆时针方向排列，
则有，
而，，
则有，，，解可得，
故的坐标为，则向量．
所以对应的复数．
故答案为：．
【点评】本题复数的运算，向量的坐标运算，涉及复数的几何意义，属于基础题．
4．（2022春•宝山区校级期中）在复平面上，复数所对应的点到原点的距离是 1 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：，
复数所对应的点到原点的距离是．
故答案为：1．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
5．（2022春•嘉定区校级期末）已知复数，，若所对应的点在实轴上，则 1011 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：所对应的点在实轴上，
，
所对应的点在实轴上，
，解得．
故答案为：1011．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．
6．（2022春•浦东新区校级期末）求实数的值或取值范围，使得复数在复平面上所对应的点分别位于：
（1）虚轴上；
（2）第四象限．
【分析】（1）由实部为0求解一元二次方程可得值；
（2）由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．
【解答】解：（1）复数在复平面上所对应的点位于虚轴上，
则，即或；
（2）复数在复平面上所对应的点位于第四象限，
，解得或．
实数的取值范围是，，．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查运算求解能力，是基础题．
二．复数的模（共7小题）
7．（2023春•嘉定区校级期末）已知复数且，则的最小值是
A．B．C．D．
【分析】利用复数模的几何意义求解运算．
【解答】解：，则对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，
如图，
的最小值是复数对应的点到原点的距离减去半径1，
即．
故选：．
【点评】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
8．（2023春•浦东新区期末）已知为虚数单位，下列说法中错误的是
A．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则
B．互为共轭复数的两个复数的模相等，且
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．若复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上
【分析】选项主要是对复数的模及复数的几何意义进行辨析，直接根据相关定义进行判断即可．
【解答】解：对于，设复数对应的点为，由，根据平行四边形法则可得：平行四边形为矩形，因此，正确；
对于，设，，则，根据复数运算性质及模的定义，有，正确；
对于，直接根据复数的模的定义可知，正确；
对于，若复数满足，则复数对应的点满足，即点在以为圆心，为半径的圆上，错误；
故选：．
【点评】本题考查复数的相关定义及复数的几何意义，属基础题．
9．（2023春•宝山区校级期末）已知，则的最大值是 6 ．
【分析】根据复数的几何意义即可求解．
【解答】解：设，，，
，
则，
故在复平面中的点在以为圆心，为半径的圆周上，，，表示与点的距离，
如图所示：
由图可知，，
即的最大值为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
10．（2023春•长宁区校级期末）若复数，，则实数 ．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：，
则，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
11．（2023春•浦东新区校级期末）如果复数满足，那么的最大值是 6 ．
【分析】根据复数模的性质即可求得答案．
【解答】解：设，
，
，
即，可以看成是以圆心为，的圆，
所以，
，
因为，所以，最大值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查复数的性质，属于基础题．
12．（2023春•普陀区校级期末）设，为虚数单位．若对于任意，复数的模始终不大于2，则的取值范围是 ， ．
【分析】由复数模的几何意义及向量模的性质即可求出．
【解答】解：，
，．
故答案为：，．
【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题．
13．（2023春•杨浦区校级期中）已知复数满足为虚数单位），则 ．
【分析】根据复数的四则运算化简求得复数，然后求模．
【解答】解：，所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
一．填空题（共12小题）
1．（2023春•徐汇区校级期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，
则对应的复数是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
2．（2023春•嘉定区校级期末）已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 ．
【分析】根据已知条件，结合平面向量的坐标运算，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：向量所对应的复数是，
则，
设点的坐标为，
则，，解得，，
故点的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3．（2022春•普陀区校级期末）在复平面内，复数、对应的点分别是、，若为正三角形，则点对应的复数是 或． ．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，先求出，，再结合正三角形的性质，即可求解．
【解答】解：复数、对应的点分别是、，
，，
为正三角形，
，或，
故点对应的复数为或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．
4．（2023春•黄浦区期末）若复数满足，，且为虚数单位），则的最小值为 ．
【分析】设，由题意可得，化简得，所以，再结合二次函数的性质求解即可．
【解答】解：设，
，
，
化简得，
，
，
当时，的值取得最小值．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了复数的模长公式，属于基础题．
5．（2023春•杨浦区校级期末）已知复数是虚数单位），则 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：，
则，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
6．（2023春•徐汇区校级期末）设复数满足，则 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：，
则，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
7．（2023春•虹口区校级期末）复数满足为虚数单位），则的取值范围是 ， ．
【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：由，可知复数对应点的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆上，
如图：
则复数模的最小值为，最大值为，
复数模的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
8．（2024春•浦东新区校级期中）设复数满足，则当取最大值时，对应的复平面上点的坐标是 ， ．
【分析】根据复数模的几何意义求解．
【解答】解：由题意，对应的点在以为圆心，半径为1的圆上，连接并延长至，
可得到的距离最大，最大值为，此时，．
故答案为：，．
【点评】本题考查复数的几何意义，属于中档题．
9．（2024春•浦东新区校级期中）已知复数满足，复数满足，则复数对应复平面上的点构成区域的面积是 ．
【分析】由复数的几何意义可知，复数对应的点在以为圆心，半径长为1的圆上，又因为，而和表示点到原点和点的距离，再结合勾股定理和基本不等式求解即可．
【解答】解：因为，所以复数对应的点在以为圆心，半径长为1的圆上，
，
注意到和表示点到原点和点的距离，而三角形是直角三角形，
所以，
故，即对应的点到的距离不超过4，
所以对应的点构成以为圆心、半径长为4的圆，面积是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了复数的几何意义，属于中档题．
10．（2022春•虹口区校级期末）在复平面中，已知点、，复数、对应的点分别为、，且满足，，则的最大值为 ．
【分析】由题意设，，，，由，得，求得，再由数量积的坐标运算结合三角函数求最值．
【解答】解：由题意设，，，，
由，得，
整理得，，，
，可得，
，，
则
，
的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数的恒等变换应用，考查运算求解能力，是中档题．
11．（2022春•普陀区校级期末）对于任意的复数，，下列说法正确的是 ③⑤ （写出所有正确的序号）．
①若，则；②（2）；③；
④若，则是纯虚数；
⑤若，是某个实系数一元二次方程的两个虚根，则．
【分析】根据复数的几何意义，四则运算，特殊值检验解决即可．
【解答】解：对于①，令，，
则，但，故①错误；
对于②，令，，
此时，，
，
显然等式不成立，故②错误；
对于③，，，
所以，故③正确；
对于④，令，，
此时，，
但不是纯虚数，故④错误；
对于⑤，令两根为，，，
此时，，
而，
所以有，故⑤正确．
故答案为：③⑤．
【点评】本题考查复数的几何意义及四则运算，属中档题．
12．（2023春•虹口区校级期末）设全集，，，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为 ．
【分析】根据题意可得，集合在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合在复平面内表示的图形为直线的左侧，作出图象，可得复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分．
【解答】解：设．
由，，可知，即，即．
因为，，，所以，
则可化为，解得．
即集合在复平面内表示的图形为圆及其内部，
集合在复平面内表示的图形为直线的左侧，
集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线，
如图所示：
所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分，
弓形的面积为扇形的面积减去的面积，易知扇形的圆心角，圆的半径，
则扇形的面积，，
所以弓形的面积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数几何几何意义，属于难题．
二．选择题（共4小题）
13．（2023春•奉贤区校级月考）已知是虚数单位，则在复平面内，复数对应的点所在位于第 象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】根据复数四则运算可知，即可得其对应的点为，位于第四象限．
【解答】解：由可知，，
因此其对应的点为，位于第四象限．
故选：．
【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．
14．（2022春•长宁区校级期末）下列命题中，真命题的个数是
（1）若复数、，且，则或．
（2）若复数、，且，则．
（3）若复数，则．
A．0B．1C．2D．3
【分析】（1）设，，，，，然后求出，根据已知建立方程求出，，，的值，由此即可判断；（2）（3）通过举反例即可判断．
【解答】解：（1）设，，，，，
，
则，所以或，即，中至少有一个为0，故正确，
（2）若，，则，但是此时，故错误，
（3）若，则，而，此时，故错误，
故选：．
【点评】本题考查了复数的模，涉及到复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
15．（2022春•闵行区校级期末）非零复数、在复平面内分别对应向量、为坐标原点），若，则
A．、、三点共线B．△是直角三角形
C．△是等边三角形D．以上都不对
【分析】设，，根据，可得，从而可将复数用，表示，再判断各个选项即可．
【解答】解：设，，
则，，故，
因为，所以，
所以 ，
所以或，
故或，
当时，，
当时，，
所以，所以△是直角三角形，
故、、三点不共线且△不是等边三角形．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于中档题．
16．（2023春•闵行区期末）在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是
A．B．C．D．
【分析】由复数的几何意义得复平面内点的坐标，运用数形结合分析区域图形，运用割补法求区域图形的面积．
【解答】解：由题意得，．
因为，所以点在以原点为圆心，半径为1的圆上．
时对应，时对应．
，又，所以，．
则．
又．
向量所扫过的图形区域的面积为．
故选：．
【点评】本题考查复数的几何意义与扇形、三角形面积综合运用，属于中档题
三．解答题（共5小题）
17．（2023春•虹口区校级期末）已知复数满足，且的虚部为2．
（1）求复数；
（2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值．
【分析】（1）设出复数的代数形式的式子，根据所给的模长和的虚部为2．得到关于复数实部和虚部的方程组，解方程组即可．
（2）写出所给的三个复数的表示式，根据代数形式的表示式写出复数对应的点的坐标，再根据向量的数量积即可求出．
【解答】解：（1）设，
由复数满足，的虚部为2．
可得，解得或，
故，；
（2）复数的虚部大于零，
则，，，
所以，，，
所以，，．
【点评】本题考查复数形式和复数的模长，本题解题的关键是对于复数的代数表示和复数的几何意义两者熟练应用，属于基础题
18．（2023春•闵行区校级期末）已知，复数，在复平面上对应的点分别为、、，为坐标原点．
（1）求的取值范围；
（2）当、、三点共线时，求三角形的面积．
【分析】（1）由复数模的定义，结合基本不等式即可求出模的取值范围；
（2）首先根据复数的几何意义找出，，三点坐标，根据三点共线求出参数，再解出三角形的面积即可．
【解答】解：（1）因为，，
所以，当且仅当时等号成立，
故的取值范围是，．
（2）由题意有，，三点共线，
，即，解得，
，，即，，
所以，
，
所以
．
【点评】本题考查复数模的计算、基本不等式、三点共线以及求三角形面积等知识，属基础题．
19．（2023春•长宁区期末）在复平面上有点和点，所对的复数是．已知小明在点处休憩，有只小狗沿着所在的直线来回跑动．
（1）求的面积；
（2）问：小狗在什么位置时，离小明最近？
【分析】（1）求出坐标，而后根据几何关系求出面积；
（2）设狗的位置为，当垂直于时与最近．
【解答】解：（1）由题意为，所以面积为；
（2）由题意，，
设狗的位置为，当垂直于时，，
联立二式，解得，，
即狗在，坐标离小明最近．
【点评】本题主要考查直线方程相关知识，属中档题．
20．（2024春•嘉定区校级期中）已知是复数，与均为实数．
（1）求复数；
（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
【分析】（1）设，然后代入结合已知求出的值，再代入，利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知可求出的值，则复数可求；
（2）把代入化简结合已知条件列出不等式组，求解即可得答案．
【解答】解：（1）设，
则为实数，
．
为实数，
，解得．
则；
（2）在第一象限，
，
解得．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是中档题．
21．（2023春•徐汇区校级期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对，（其中，视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为．
（1）设，，为虚数单位，求复向量、的模；
（2）设、是两个复向量．
①已知对于任意两个平面向量，，（其中，，，，成立，证明：对于复向量、，也成立；
②当 时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，，求复数．
【分析】（1）利用题中定义进行计算；
（2）①设，，代入化简计算而后作差进行证明；
②设，按照定义建立等式并且展开进而求出和．
【解答】解：（1）由题意，，；
（2）①设，，
，
则
由于
，
所以；
②设，结合①得，
，
令，化简得，
即，，．
【点评】本题主要考查复数相关性质，属难题．