沪教版（2020）必修第二册8.4 向量的应用精品练习题

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一．用向量的方法证明（共1小题）
1．（2023春•嘉定区校级期末）用向量方法证明：．
【分析】如图所示，建立平面直角坐标系，设，是单位圆上的任意两点，然后求出向量，，然后利用平面向量数量积以及向量的夹角公式化简即可证明．
【解答】证明：如图所示，建立平面直角坐标系，设，是单位圆上的任意两点，而角，都是顶点在原点，
始边为轴正半轴的角，其终边分别落在，上，则向量，，
所以，因为，
又，
所以．
【点评】本题考查了证明两角和与差的余弦的三角函数公式，涉及到平面向量的运算性质，属于基础题．
二．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）
2．（2021春•徐汇区期末）在中，设，，记的面积为．
（1）求证：；
（2）设，，，，求证：．
【分析】（1）利用数量积的定义结合面积公式，容易推证结论；
（2）利用坐标条件下数量积的运算公式、求模公式结合（1）的结论可求解．
【解答】证明：（1）
．
故原式成立．
（2）因为，，，，
所以
，原式成立．
【点评】本题考查数量积的定义和三角形的面积公式，属于中档题．
三．向量在物理中的应用（共1小题）
3．（2022春•虹口区校级期末）高一学生将质量为的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为和，则拉力与大小的比值为 ．
【分析】根据绳子拉力的水平方向上分力的合力为0可求出答案．
【解答】解：设，，
则，
可得．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量在物理中的应用，属于基础题．
四．平面向量的综合题（共3小题）
4．（2023春•长宁区校级期末）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，，，，若点坐标为，则
A．0B．2C．6D．10
【分析】首先根据题意作出图象，再结合余弦函数的中心对称性化简各个向量的和，即可得解．
【解答】解：由题意作出图象如图，
由图象可知，共有5个交点，
根据余弦函数的中心对称性可知，和，和关于对称，
，
，
又，，
，，
．
故选：．
【点评】此题考查了数形结合，余弦函数的对称性，向量加法法则等，难度适中．
5．（2021春•虹口区校级期末）记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，是该正六边形中心，设点集，，，，，，，向量集，且，不重合．则这个集合中元素的个数为
A．18B．24C．36D．42
【分析】作出满足题意的正六边形，从而依次列举出所有可能的向量．
【解答】解：如图，以为起点的向量共有，3，4，5，，等6个向量，故以为终点的向量也有6个向量，
以为起点的向量且与以上12个向量不相等的有，等2个向量，故以为终点的向量也有2个向量，
以为起点的向量且与以上16个向量不相等的有个向量，故以为终点的向量也有1个向量，
以、、，为起点或终点的向量与以上18个向量中的某一个向量相等，
综上所述，这个集合中元素的个数为18，
故选：．
【点评】本题考查了集合的定义及平面向量的定义，属于基础题．
6．（2023春•虹口区校级期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点，．设，．
（1）用，表示，；
（2）如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论．
【分析】（1）根据平面向量运算法则可得，
（2）根据（1）的表示形式计算即可解．
【解答】解：（1），
，
（2），证明：由（1）得，，，
，
，
．
【点评】本题考查了平面向量的基本运算，属于中档题．
一．选择题（共6小题）
1．（2023春•鼓楼区期中）已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则
A．B．C．D．
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答】解：已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，设，
所以，
解得．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
2．（2023春•横山区校级期中）体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重约为（参考数据：取重力加速度大小为，
A．B．C．D．
【分析】设两只胳膊的拉力分别为，结合，即可求解．
【解答】解：设两只胳膊的拉力分别为，且，
则，
所以学生体重．
故选：．
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
3．（2022春•富平县期末）已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为
A．，B．，C．，D．，
【分析】根据做功公式和向量数量积运算可解．
【解答】解：根据功的公式可知，根据向量数量积运算，力做的功为，
物体受到的底面支持力为，
故摩擦力，又，摩擦力与位移方向夹角为，
摩擦力所做的功，
故选：．
【点评】本题考查向量数量积运算，属于中档题．
4．（2022春•澄城县期末）如图，一个力作用于小车，使小车发生了40米的位移，的大小为，且与小车的位移方向的方向）的夹角为，则力做的功为
A．B．C．D．
【分析】找到：且小车的位移方向的夹角为，又作用于小车，使小车发生了40米的位移，利用数量积运算即可．
【解答】解：且小车的位移方向的夹角为，
又作用于小车，使小车发生了40米的位移，
则做的功为，
故选：．
【点评】本题考查了向量的数量积运算，属于基础题．
5．（2022春•琼海校级期末）已知作用在点的三个力，．，且，则合力的终点坐标为
A．B．C．D．
【分析】先根据向量的加法运算法则求出作用于点的三个力，，的合力，再设合力的终点为，由题意得：，即可得到合力的终点坐标．
【解答】解：作用于点的三个力，，，且，
则合力，，，，，
设合力的终点为，由题意得：，
即，，，，，，．
故选：．
【点评】本小题主要考查向量在物理中的应用、向量的加法法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
6．（2022春•湖南月考）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，，，，若点坐标为，则
A．B．C．D．0
【分析】根据题意作出图象，结合余弦函数的中心对称性化简各个向量的和，即可得解．
【解答】解：
由题意作出图象如图，共得5个交点，
根据余弦函数的中心对称性可知，
和，和关于对称，，
所以，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了数形结合，余弦函数的对称性，向量加法运算问题，是中档题．
二．填空题（共4小题）
7．（2024春•高新区校级月考）一条河宽为，一船从处出发垂直航行到达河正对岸的处，船速为，水速为，则船到达处所需时间为 ．
【分析】根据题意画出示意图，求得实际速度，即可求解．
【解答】解：如图，
则，，，
．
所需时间．
该船到达处所需的时间为．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的实际应用，考查建模能力，运算求解能力，属于基础题
8．（2023春•西青区期末）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中：
①的最小值为；
②当时，；
③当时，；
④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ①②③ ．
【分析】做出受力分析图，根据题意判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：画出受力分析，如图所示：
对于①，当身体处于平衡状态时，，所以①正确；
对于②，当时，，所以②正确；
对于③，当时，，所以③正确；
对于④，由受力分析图知，当越大时越费力，所以④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了向量在物理中的应用问题，也考查了运算与思维能力，是基础题．
9．（2022春•黔东南州期末）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 1 ．
【分析】先得到，再利用平面向量的数量积运算求解即可．
【解答】解：三个力，，处于平衡状态，
，
，，与的夹角为，
，
的大小为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了平面向量的物理意义，平面向量的数量积运算，是基础题．
10．（2023春•连城县校级月考）在河水的流速大小为情况下，当航程最短时，一艘小船以实际航速的速度大小驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为 ．
【分析】利用向量的加法法则得到，再利用向量模的计算求解即可．
【解答】解：以表示水流速度，表示船在静水中的速度，表示船行速度，
由题意知，，，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查向量在物理中的应用，涉及向量的加法和向量模的计算，属于中档题．
三．解答题（共7小题）
11．（2022春•济源校级期末）已知向量、、满足，．求证：△是正三角形．
【分析】法一：由知是△的外接圆的圆心，要证△是正三角形，只需证即可，即需求，，的夹角，由变形可出现数量积，进而求夹角
法二：用坐标法证明：以点为坐标原点建立直角坐标系，设，，，，，，从而可得，然后由条件可得结合已知条件，用坐标表示
【解答】证明：
法一：，．．
．
又，
．
，
即．
同理．
△为等边三角形．
法二：以点为坐标原点建立直角坐标系，设，，，，，，
则，，，，，．
由，
得，
由，得
同理，
△为正三角形
【点评】评述：解本题的关键是由转化出现向量的数量积，进而求夹角．可以用向量式表示，也可以用坐标式表示，还考查了考生的推理论证能力．
12．（2022春•信阳期中）已知向量，，
（1）当时，求的值；
（2）求在，上的最大值与最小值．
【分析】（1）当，可得，利用坐标表示展开，即可求得的值；
（2）先将用坐标表示，得到三角函数，再化简，利用三角函数的最值求出最值即得．
【解答】解：（1），，，
，即，整理得，所以，．
解得，．
（2），
又，，可得，，所以，，所以，
综上，在，上的最大值与最小值分别为，．
【点评】本题考查平面向量与三角函数性质的综合，三角恒等变换公式的应用，是向量与三角结合的一种较常见的方式，也是近几年高考常出的类型．
13．（2022春•富平县期末）设，是两个不共线的非零向量．
（1）记，，，那么实数为何值时，三点共线？
（2）若且与夹角为，那么实数为何值时，的值最小？
【分析】（1）由三点，，共线，必存在一个常数使得，由此等式建立起关于，的方程求出的值；
（2）由题设条件，可以表示成关于实数的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的的值．
【解答】解：（1）由三点，，共线，必存在一个常数使得，则有
又
，又、是两个不共线的非零向量
解得
故存在时，、、三点共线
（2）且两向量的夹角是
当时，的值最小为
【点评】本题考查平面向量的综合题，解题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示，向量的模的坐标表示，理解题设条件，正确转化．本题把三点共线转化为了向量共线，将模的最小值求参数的问题转化为求函数的最小值，解题时要注意恰当地运用转化、化归这一数学思想
14．（2022春•潜江校级期中）已知中，过重心的直线交线段于，交线段于，连结并延长交于点，设的面积为，的面积为，．
（1）用表示，并证明为定值；
（2）求的取值范围．
【分析】（1）根据题意，由向量的线性运算可得的表达式，又由向量共线的性质设，即，变形整理可得结论；
（2）根据题意，用、表示，结合（1）的结论对变形，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，；
，，，三点共线，则存在，使得，
即，即，
，整理得，所以为定值；
（2）根据题意，由（1），
，
，
，，
则当时，取得最小值，当时，取得最大值，
的取值范围为．
【点评】本题考查向量的线性运算和应用，涉及不等式的性质，属于中档题．
15．（2021春•浦东新区校级期末）设，，，，其中，，，．
（1）请你利用上述两个向量以及向量的知识证明：，并指出等号成立的条件；
（2）请你运用（1）中证明不等式的向量方法，求函数的最大值．
【分析】（1）根据题意，由、的坐标可得、和的值，由数量积的运算性质，分析可得证明；
（2）根据题意，由（1）的结论对，变形分析可得答案．
【解答】解：（1）证明：根据题意，，，，，
则，，，
又由，
则有，当且仅当时等号成立；
（2）根据题意，由（1）的结论，
，
当且仅当时等号成立，
故函数的最大值为2．
【点评】本题考查向量的综合应用，涉及向量数量积的性质以及应用，属于难题．
16．（2024春•新北区校级月考）定义非零向量．若函数解析式满足，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．
（1）已知向量为函数的“源向量”，若方程在，上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（2）已知点满足，向量的“伴生函数” 在时取得最大值，当点运动时，求的取值范围；
（3）已知向量的“伴生函数” 在时的取值为．若在三角形中，，，若点为该三角形的外心，求的最大值．
【分析】（1）根据题意得到方程，参变分离后，写出函数的解析式，画出函数图象，结合图象即可；
（2）根据题中条件求得的值，继而求得，利用二倍角公式求得的表达式，换元后利用函数单调性即可求得取值范围；
（3）根据条件可先求得，继而根据正弦定理可得角形外接圆半径，则，再根据向量的运算法则及数量积的定义化简所求，进一步分析即可．
【解答】解：（1）因为向量为函数的“源向量”，所以，
则方程上有且仅有四个不相等的实数根，
所以在，上有且仅有四个不相等的实数根，
令，，，
①当时，
，
②当时，，
所以，
其图象为：
结合，，，
故当在，上有且仅有四个不相等的实数根时，
的取值范围为．
（2）由题意得：
，其中，
当，即时，取最大值，
故，
则，
令，由于，故，
即，则△，解得，
所以，因为单调递增，
所以，所以的取值范围为
（3）由题意得，，则，
在三角形中，，，因此，
设三角形外接圆半径为，根据正弦定理，，故，
所以，
，
，
代入得：，
所以当时，取得最大值3．
【点评】本题考查三角函数性质，参变分离，数形结合，换元法构造函数，属于难题．
17．（2023春•虹口区校级期末）已知集合，，，为坐标原点，若，，，，、，定义点、之间的距离为．
（1）若，，，求的值；
（2）记，若，，为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、；
（3）若，，试判断“存在，使”是，，，”的什么条件？并证明．
【分析】（1）根据的定义可得关于的不等式，求解的取值范围，即可得到答案；
（2）设，，，，，，，，利用绝对值三角不等式可求出的最大值，结合已知条件可取符合条件的一组向量的坐标即可；
（3）判断出“存在，使”是，，，”的充分不必要条件，利用题中的定义、绝对值的运算性质以及特殊值法、充分条件和必要条件的定义证明即可．
【解答】解：（1）若，，，
则，即，解得，
又，所以的值为1，2，3．
（2）设，，，，，，，，
，，
所以，，，，
可取；
（3）“存在，使”是，，，”的充分不必要条件，证明如下：
取，
充分性：若存在，使，即，，，
则，，
故，，
故充分性成立；
必要性：因为，，，，可取，
则，，，
，
则，，，，
但是，，
所以，
则不共线，
所以必要性不成立．
综上所述，“存在，使”是，，，”的充分不必要条件，
【点评】本题考查了平面向量的综合应用，绝对值三角不等式的应用，新定义问题的理解与应用，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．