数学必修第二册2任意角及其度量优秀教学课件ppt

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1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)2．理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点)
我们先推导两角差 （ α － β ） 的余弦公式 ．设 α 、 β 为任意给定的两个角 ， 把它们的顶点置于平面直角坐标系的原点 O ， 始边都与 x轴的正半轴重合 ， 而它们的终边分别与单位圆相交于 A、B两点 （ 图 ６-２-１ ） ． 点 A 、B的坐标分别为 A （ ｃｏｓ α ， ｓｉｎ α ）、 B（ ｃｏｓ β ， ｓｉｎ β ）
下面考虑角 （ α － β ） 的余弦 ． 为此把角 α 、 β 的终边 OA 及OB都绕原点O 旋转 － β 角 ， 它们分别交单位圆于点 A′ 及 B′（ 图 ６-２-２ ） ． 由于都转动了 － β 角 ， 因此 α － β 也可以是一个以射线 OB′ 为始边 、 以射线 OA′ 为终边的角 ， 而点 A′ 的坐标是（ ｃｏｓ （ α － β ）， ｓｉｎ （ α － β ））， 点 B′ 的坐标是 （ １ ， ０ ） ．
根据两点间的距离公式 ， 在图 ６-２-１ 中 ， 有
而在图 ６-２-２ 中 ， 有
因为将射线 OA、OB同时绕原点O旋转 － β 角 ， 就分别得到射线 OA′ 、 OB′ ， 所以｜ AB ｜＝｜ A′B′ ｜ ，
从而得到２－２ｃｏｓ α ｃｏｓ β －２ｓｉｎ α ｓｉｎ β ＝２－２ｃｏｓ （ α － β ），即ｃｏｓ （ α － β ） ＝ｃｏｓ α ｃｏｓ β ＋ｓｉｎ α ｓｉｎ β
这个式子对任意给定的角 α 及 β 都成立 ， 称为两角差的余弦公式 ．
在两角差的余弦公式中 ， 用 － β 代换 β ， 就可得到两角和的余弦公式 ：ｃｏｓ （ α ＋ β ） ＝ｃｏｓ α ｃｏｓ （ － β ） ＋ｓｉｎ α ｓｉｎ （ － β ）＝ｃｏｓ α ｃｏｓ β －ｓｉｎ α ｓｉｎ β ．这样 ， 我们就得到 两角和与差的余弦公式ｃｏｓ （ α ＋ β ） ＝ｃｏｓ α ｃｏｓ β －ｓｉｎ α ｓｉｎ β ，ｃｏｓ （ α － β ） ＝ｃｏｓ α ｃｏｓ β ＋ｓｉｎ α ｓｉｎ β
例 １　 利用两角和与差的余弦公式 ， 求 ｃｏｓ７５° 和 ｃｏｓ１５°的值 ．
解 　ｃｏｓ７５°＝ｃｏｓ （ ４５°＋３０° ）＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°－ｓｉｎ４５°ｓｉｎ３０°
ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ （ ４５°－３０° ）＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ４５°ｓｉｎ３０°
于是　　　ｃｏｓ （ α － β ） ＝ｃｏｓ α ｃｏｓ β ＋ｓｉｎ α ｓｉｎ β
练习 ６． ２ （ １)
１． 化简 ：（ １ ） ｃｏｓ （ ２２°－ x ） ｃｏｓ （ ２３°＋ x ） －ｓｉｎ （ ２２°－ x ） ｓｉｎ （ ２３°＋ x ）；
解：原式= cs(22°-x+23°+x)
1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．