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高中数学4诱导公式完美版教学课件ppt
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这是一份高中数学4诱导公式完美版教学课件ppt,共22页。PPT课件主要包含了学习目标,情境导入,课本练习,题型讲解,题型二条件求值,题型三化简求值问题,课堂小结等内容,欢迎下载使用。
1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法.2.能够准确记忆公式二、公式三和公式四.(重点、易混点)3.掌握公式二、公式三和公式四,并能灵活应用.(难点)
对称美是日常生活中最常见的,在三角函数中-α、π±α、2π-α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称,那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢?
前面利用圆的几何性质,得到了同角三角函数之间的基本关系.我们知道,圆的最重要的性质是对称性,而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质.由此想到,可以利用圆的对称性,研究三角函数的对称性.
由于角 2kπ+α(k ∈Z)的终边与角α的终边重合 , 因此由定义有如下诱导公式 :
由这组诱导公式 , 求任意角的正弦 、 余弦 、 正切及余切值可以转化为求 [ 0 ,2π) 范围内一个角的相应值 .
角 α 的终边与角 - α 的终边关于 狓 轴对称 ( 图 6-1-11 ), 角 α的终边与单位圆交于点 P( cos α , sin α ), 而角 - α 的终边与单位圆交于点 P′ ( cos ( - α ), sin ( - α )) . 由于点P与点 P′关于x轴对称 , 其横坐标相等 , 而纵坐标互为相反数 , 因此有如下诱导公式 :
由这组诱导公式 , 求负角的正弦 、 余弦 、 正切及余切值可以转化为求正角的相应值 .
将角 α 的终边绕着原点按逆时针方向旋转 π 弧度 , 得到角 π+ α 的终边 ( 图 6-1-12 ), 这说明角 α 和角 π+ α 的终边在同一条直线上 , 但方向相反 . 角 α 的终边与单位圆交于点( cos α , sin α ), 角 π+ α 的终边与单位圆交于点 P′ ( cos ( π+ α ),sin ( π+ α )) . 由于点 P 与点 P′ 关于原点对称 , 其横坐标和纵坐标都互为相反数 , 因此有如下诱导公式 :
由这组诱导公式 , 求 [ 0 ,2π) 范围内的角的正弦 、 余弦 、 正切及余切值可以转化到 [ 0 , π ) 范围内一个角的相应值
角 α 的终边与单位圆交于点 P ( cos α , sin α ), 而角 π- α 的终边与单位圆交于点 P′ ( cos ( π- α ), sin ( π- α )) . 由于角 α 的终边和角π- α 的终边关于y轴对称 ( 图 6-1-13 ), 点 P 与点 P′ 关于y轴对称 , 其横坐标为相反数 , 而纵坐标相等 , 因此有如下诱导公式 :
利用以上四组诱导公式 , 就可以将终边不位于坐标轴上的任意角的正弦 、 余弦 、 正切及余切值 , 与初中已学过的锐角的相应值有机地联系起来 .
以上四组诱导公式说明 , 2kπ+ α ( k∈Z), - α , π± α 的正弦 、 余弦 、 正切及余切值的绝对值等于角 α 的相应量的绝对值 ,但这两个值之间可能差一个正负号 . 由于诱导公式较多 , 记忆其中的正负号并不容易 , 但有一个很简单的方法可以加以判断 ,即 : 当 α 为锐角时 , 等式两边必须同时为正数或同时为负数 .
例如 , cos ( π- α ) 的绝对值应该同 cos α 的绝对值相等 , 即成立 cos ( π- α ) =±cos α . 但当 α 为锐角时 , π- α 是第二象限的角 , 这时 cos ( π- α ) <0 , 而 cos α >0 , 所以前式中应该取负号 ,即有 cos ( π- α ) =-cos α .
例15:利用诱导公式求值 :
解 因为sin ( 2π- α ) =sin ( - α ) =-sin α , tan ( π+ α ) =tan α ,cot ( -π- α ) =-cot ( π+ α ) =-cot α , cos ( π- α ) =-cos α ,tan ( 3π- α ) =tan ( π- α ) =-tan α ,所以原式 =
练习 6. 1 ( 6)
1. 证明 :( 1 ) sin ( 2π- α ) =-sin α ;( 2 ) cos ( 2π- α ) =cos α ;( 3 ) tan ( 2π- α ) =-tan α ; ( 4 ) cot ( 2π- α ) =-cot α
证明:(1) ∵ α与- α关于x轴对称∴sin(- α)=-sin α,sin(2π- α)=sin[2π+(-α)]=sin(- α)=-sin α
(2)∵ α与-α关于x轴对称∴cs(- α)= cs α,cs(2π-α)= cs[2π+(-α)]= cs(-α)= cs α
(3) ∵ α与- α关于x轴对称∴tan(- α)=-tan α,tan(2π- α)=tan[2π+(-α)]= tan(-α)-tan α
(4) ∵ α与-α关于x轴对称ct(- α)=- ct α,ct(2π-α)= ct[ 2π+(-α)]=ct(- α)=-ct α
2. 利用诱导公式求值 :
题型一:直接应用公式求值
1.诱导公式一~四可简要概括为“α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”.或者简述为“函数同名,象限定号”.2.利用公式一~四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般可按下面步骤进行:
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