北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似 单元测试卷（含答案）

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北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似 单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.在三角形②～⑥中，与三角形①相似的是(    ) A. ②③④ B. ③④⑤ C. ④⑤⑥ D. ②③⑥2.若△ABC的每条边长增加各自的10％得△AˈBˈCˈ，则∠Bˈ的度数与其对应角∠B的度数相比(    )A. 增加了10％ B. 减少了10％ C. 增加了(1+10％) D. 没有改变3.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形．若OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(    ) A. ①与②相似 B. ①与③相似 C. ①与④相似 D. ②与④相似4.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且ADAC=13，AE=BE，则有(    ) A. △AED∽△BED B. △AED∽△CBDC. △AED∽△ABD D. △BAD∽△BCD5.如图，△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8.将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(    ) A. B. C. D. 6.已知四边形ABCD为正方形，点E是边AD上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，连接AF.若AF= 2BF，则EDCF的值为(    )A. 12B. 54C. 23D. 527.如图，在平面直角坐标系中，△DEF与△ABC位似，且原点O为位似中心，其位似比1：2，若点A(2,4)，则其对应点D的坐标为(    )A. (1,2)B. (−1,−2)C. (12,1)D. (−12,−1)8.若两个相似三角形周长的比为1：3，则这两个三角形对应边的比是(    )A. 1：2 B. 1：3 C. 1：6 D. 1：99.已知两个相似三角形的对应边的比为1：3，则它们的周长之比为(    )A. 9：1 B. 3：1 C. 1：3 D. 1：910.如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点E，AB=AD= 5，BD=2，∠BCD=90°，CEAE=13，则AC=(    )A. 83B. 693C. 413D. 2 3二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.如图，在正方形网格上画有梯形ABCD，则∠BDC的度数是          ．12.已知△ABC的三边长分别为2，3，4，△DEF的三边长分别为6，9，m，当m=          时两个三角形相似．13.如图，在△ABC中，∠BAC=135°，BC=10，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE(∠ABD=∠ACE=90°)，M，N分别是AD，AE的中点，连接DE，MN，则DE=          ．14.如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC= 3AB=3BD，若AD=4，则AC的长度为          ．15.已知ab=cd=ef=13，且b+d+f≠0，则a+c+eb+d+f的值是______．16.如图，△ABC中，D是边AC上一点，连接BD.要使△ABD∽△ACB，需要补充的一个条件为______．三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)如图，在△ABC和△AˈBˈCˈ中，D，Dˈ分别是AB，AˈBˈ上的点，ADAB=A'D'A'B'，CDC'D'=ACA'C'=ABA'B'，求证：△ABC∽△AˈBˈCˈ．18.(本小题10分)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．(1)判断△ABC和△DEF是否相似？并说明理由；(2) P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应的线段，不必说明理由)19.(本小题8分)如图，O是△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点．求证：△ABC∽DEF．20.(本小题10分)如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF=∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．21.(本小题10分)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE=ED，DF=14DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若正方形的边长为4，求BG的长．22.(本小题8分)已知a，b，c，d为四个不为0的数．(1)如果ab=3，求a+bb与a−ba+b的值；(2)如果ab=cd(a≠b,c≠d)，求证：ab−a=cd−c．23.(本小题8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(−4,1)，B(−2,0)，C(−1,2)．(1)以原点O为位似中心，画出△ABC的位似三角形，使它与△ABC的相似比为2：1；(2)△ABC与其位似三角形的面积比为______．24.(本小题10分)已知平行四边形ABCD，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．(1)求证：△ABE∽△ADF；(2)若EF//BD，求证：AB=AD．答案和解析1.【答案】B 【解析】略2.【答案】D 【解析】略3.【答案】B 【解析】略4.【答案】B 【解析】略5.【答案】D 【解析】略6.【答案】B 【解析】解：在CF上截取CH=BF，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∴∠ABF+∠FBC=90°，∵CF⊥BE，∴∠BFC=90°，∴∠FBC+∠BCF=90°，∴∠ABF=∠BCF，又∵AB=BC，CH=BF，∴△BCH≌△ABF(SAS)，∴AF=BH，∵AF= 2BF，∴BH= 2BF，设BF=1，则BH= 2，在Rt△BFH中，FH= BH2−BF2=1，又∵CH=BF=1，∴CF=CH+FH=2，在Rt△BFC中，BC= BF2+CF2= 5，∴AB=BC= 5，∵∠ABF=∠BCF，∠EAB=∠BFC=90°，∴△EAB∽△BFC，∴EABF=ABFC，∴EA1= 52，∴EA= 52，又∵AD=BC= 5，∴DE=AD−AE= 5− 52= 52，∴EDCF= 522= 54，故选：B．在CF上截取CH=BF，利用正方形的性质和直角三角形的性质证明△BCH≌△ABF(SAS)，由全等三角形的性质得出AF=BH，结合已知条件设BF=1，则BH= 2，利用勾股定理分别求出FH和BC，再证明△EAB∽△BFC，由相似三角形的性质求出EA，进而求出ED，即可解答．本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．7.【答案】A 【解析】解：∵△DEF与△ABC位似，且原点O为位似中心，其位似比1：2，点A(2,4)，∴2×12=1，4×12=2，∴其对应点D的坐标为(1,2)，故选：A．由于位似的两个图形在原点的同侧，则A点的两个坐标分别乘12即得D的坐标．本题考查了位似变换，坐标与图形性质，解答本题的关键要明确：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．8.【答案】B 【解析】解：∵相似三角形对应边的比等于周长比，且周长的比为1：3，∴这两个相似三角形的对应边的比为1：3，故选：B．根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于周长比，即可得出答案．本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质的是解题的关键．9.【答案】C 【解析】解：∵两个相似三角形的对应边的比为1：3，∴它们的周长之比为1：3，故选：C．根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可．本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．10.【答案】B 【解析】解：过点A作AF⊥BD于F，过点C作CG⊥BD于G，如图，∵AB=AD，AF⊥BD，∴DF=12BD=12×2=1，在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF= AD2−DF2= ( 5)2−12=2，∵AF⊥BD，CG⊥BD，∴AF/​/CG，∴△AFE∽△CGE，∴AFCG=EFEG=AECE，即2CG=EFEG=31，∴CG=23，EF=3EG，设EG=x，则EF=3x，DG=1−4x，∵∠CGD=∠BCD=90°，∠CDG=∠BDC，∴△CGD∽△BCD，∴CDBD=DGCD，∴CD2=BD⋅DG=2(1−4x)，在Rt△CDG中，由勾股定理，得CD2=CG2+DG2=(23)2+(1−4x)2，∴(23)2+(1−4x)2=2(1−4x)，解得：x1= 512，x2=− 512(舍去)，∴EG= 512，在Rt△CGE中，由勾股定理得，CE= CG2+EG2= (23)2+( 512)2= 6912，∵CEAE=13，∴AC=AE+CE=4CE=4× 6912= 693，故选：B．过点A作AF⊥BD于F，过点C作CG⊥BD于G，先由等腰三角形的性质与勾股定理求得DF=1，AF=2，再证明△AFE∽△CGE，利用相似三我的性质求得CG=23，EF=3EG，设EG=x，则EF=3x，DG=1−4x，然后证明△CGD∽△BCD，得CD2=BD⋅DG=2(1−4x)，在Rt△CDG中，由勾股定理，得CD2=CG2+DG2=(23)2+(1−4x)2，从而得方程(23)2+(1−4x)2=2(1−4x)，解方程求得EG= 512，在Rt△CGE中，由勾股定理，求得CE= 6912，根据CEAE=13从而可求得AC长．本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．正确作辅助线，构造相似三角形与直角三角形是解题的关键．11.【答案】135° 【解析】略12.【答案】12 【解析】略13.【答案】10 2 【解析】略14.【答案】4 3 【解析】略15.【答案】13 【解析】解：∵ab=cd=ef=13，且b+d+f≠0，∴a=13b，c=13d，e=13f，∴a+c+eb+d+f=13b+13d+13fb+d+f=13，故答案为：13．依据比例基本性质中的等比性质，即可得到分式的值．本题主要考查了比例的基本性质，掌握等比性质是解决问题的关键．16.【答案】∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或AB2=AD⋅AC 【解析】解：∵∠BAD=∠CAB，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或AB2=AD⋅AC时，△ABD∽△ACB．故答案为∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或AB2=AD⋅AC．由于△ABD和△ACB有一个公共角，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，所以当∠ABD=∠C时，△ABD∽△ACB．本题考查了相似三角形判定：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．注意公共角的使用，使用不同的判定方法可添加不同的条件．17.【答案】证明：∵ADAB=A'D'A'B'，∴ADA'D'=ABA'B'．∵CDC'D'=ACA'C'=ABA'B'，∴CDC'D'=ACA'C'=ADA'D'，∴△ADC∽△AˈDˈCˈ，∴∠A=∠Aˈ．∵ACA'C'=ABA'B'，∴△ABC∽△AˈBˈCˈ． 【解析】略18.【答案】【小题1】解：△ABC和△DEF相似．理由如下：根据勾股定理，得AB=2 5，AC= 5，BC=5，DE=4 2，DF=2 2，EF=2 10．∵ABDE=ACDF=BCEF= 104，∴△ABC∽△DEF．【小题2】答案不唯一，如答图，下面6个三角形中的任意2个均可．△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，△P4P5D，△P2P4P5，△P1FD． 【解析】1. 略2. 略19.【答案】证明：∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，∴DE=12AB，EF=12BC，DF=12AC，即DEAB=EFBC=DFAC，∴△ABC∽△DEF． 【解析】略20.【答案】【小题1】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠BDE=180°−∠B−∠DEB，∠CEF=180°−∠DEF−∠DEB，又∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF．又∵∠B=∠C，∴△BDE∽△CEF．【小题2】∵△BDE∽△CEF，∴BECF=DEEF．∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴CECF=DEEF．∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△ECF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC． 【解析】1. 略2. 略21.【答案】【小题1】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°．∵AE=ED，∴AEAB=12．∵DF=14DC，∴DFDE=12，∴AEAB=DFDE，即AEDF=ABDE，∴△ABE∽△DEF．【小题2】解：∵四边形ABCD为正方形，∴ED // BG，∴△DEF∽△CGF，∴EDCG=DFCF.又∵AE=ED，DF=14DC，正方形的边长为4，∴ED=2，DFCF=13，∴CG=6，∴BG=BC+CG=10． 【解析】1. 略2. 略22.【答案】(1)解：∵ab=3，∴a=3b，∴a+bb=3b+bb=4，∴a−ba+b=3b−b3b+b=12．∴a+bb=4，a−ba+b=12；(2)证明：设ab=cd=k，则a=kb，c=kd，∴ab−a=kbb−kb=k1−k，cd−c=kdd−kd=k1−k，∴ab−a=cd−c． 【解析】(1)先根据已知条件得到a=3b，再分别代入进行求解即可；(2)设ab=cd=k，则a=kb，c=kd，再代入计算即可证明结论成立．本题主要考查了比例线段，比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．23.【答案】14 【解析】解：(1)如图，△A'B'C'即为所求．(2)∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2，∴△ABC与△A'B'C'的面积比为(12)2=14．故答案为：14．(1)将点A，B，C三点的横坐标与纵坐标都乘以−2，得到A'(8,−2)，B'(4,0)，C'(2,−4)，依次连接得到△A'B'C'，则△A'B'C'即为所求；(2)根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．本题考查了在坐标系中画位似图形，相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质是解本题的关键．24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE=∠ADF，∵AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∴∠AEB=∠AFD=90°，∴△ABE∽△ADF．(2)∵EF//BD，BC=AD，DC=AB，∴BEBC=DFDC，∴BEDF=BCDC=ADAB，∵△ABE∽△ADF，∴BEDF=ABAD，∴ABAD=ADAB，∴AB2=AD2，∴AB与AD相等或互为相反数，∵AB>0，AD>0，∴AB=AD． 【解析】(1)由平行四边形的性质得∠ABE=∠ADF，而∠AEB=∠AFD=90°，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABE∽△ADF；(2)由EF//BD得BEBC=DFDC，则BEDF=BCDC=ADAB，由相似三角形的性质得BEDF=ABAD，则ABAD=ADAB，所以AB2=AD2，则AB=AD．此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解第二题时，推导出ABAD=ADAB是解题的关键．