人教版2024-2025学年九年级数学上册24.4圆与二次函数的综合(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

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专题24.4 圆与二次函数的综合【典例1】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A2m−1,0和点Bm+2,0，与y轴交于点C，对称轴轴为直线x=−1．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC上一动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作⊙P，当⊙P与坐标轴相切时，求⊙P的半径；（3）直线y=kx+3k+4k≠0与抛物线交于M，N两点，求△AMN面积的最小值．【思路点拨】（1）由题意及抛物线的对称性知：−1−(2m−1)=m+2−(−1)，即可求得m的值，从而用待定系数法可求得函数解析式；（2）首先求出直线AC的解析式为y=−x−3，由PQ∥y轴及点Q在抛物线上，可得点Q的坐标，从而求得PQ的长度，分两种情况讨论：当⊙P与x轴相切时；当⊙P与y轴相切时；分别利用圆心到切线的距离等于半径得到方程，解方程即可求得半径；（3）由y=kx+3k+4k≠0知，直线过点G(−3,4)，则得AG⊥x轴，且AG=4；联立直线与抛物线的解析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由S△AMN=S△AGM+S△AGN=2xM−xN，可得关于k的函数关系式，即可求得面积的最小值．【解题过程】（1）解：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A2m−1,0和点Bm+2,0，对称轴为直线x=−1∴A、B关于对称轴对称，∴−1−(2m−1)=m+2−(−1)，解得：m=−1，即A(−3,0)，B(1,0)，把A、B两点坐标代入y=x2+bx+c中，得9−3b+c=01+b+c=0，解得：b=2c=−3则所求函数解析式为y=x2+2x−3；（2）解：对于y=x2+2x−3，令x=0，得y=−3，∴C(0,−3)，设直线AC的解析式为y=ax+d，则有−3a+d=0d=−3，解得：a=−1d=−3，所以直线AC的解析式为y=−x−3，设点P(a,−a−3)，∵PQ∥y轴，点Q在抛物线上，∴Q的坐标为(a,a2+2a−3)，∴PQ=a2+2a−3−(−a−3)=a2+3a；当⊙P与x轴相切时；∴a2+3a=−a−3，即a2+3a=−a−3，或a2+3a=−(−a−3)，解得：a=−1，a=−3或a=1，a=−3显然a=−3时点P、Q与点A重合，不合题意，则a=−1及a=1，当a=−1时，−a−3=−2；当a=1时，−a−3=−4，此时⊙P的半径分别为2或4；当⊙P与y轴相切时； ∴a2+3a=a，即a2+3a=−a，或a2+3a=a，解得：a=0，a=−4，或a=0，a=−2，显然a=0时点P、Q与点C重合，不合题意，则a=−4及a=−2，此时⊙P的半径分别为4或2；综上，⊙P与坐标轴相切时，⊙P的半径分别为2或4；（3）解：如图，当x=−3时，y=k×(−3)+3k+4=4，∴直线y=kx+3k+4过点G(−3,4)，∵A(−3,0)，∴AG⊥x轴，且AG=4；联立直线与抛物线的解析式得：y=kx+3k+4y=x2+2x−3，消去y得：x2+(2−k)x−3k−7=0，∵Δ=(2−k)2−4×1×(−3k−7)=(k+4)2+16>0，∴xN=−(2−k)+(k+4)2+162，xM=−(2−k)−(k+4)2+162，∴xN−xM=(k+4)2+16，∵S△AMN=S△AGM+S△AGN=12AG⋅(−3−xM)+12AG⋅(xN+3)=2xM−xN，∴S△AMN=2(k+4)2+16，当k=−4时，(k+4)2+16有最小值16，从而△AMN的面积有最小值2×4=8．1．（22·23上·南京·阶段练习）已知抛物线y=ax−32+254过点C0,4，顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示，以AB为直径作圆，记作⊙D．（1）试判断点C与⊙D的位置关系；（2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2．（23·24上·长沙·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过0，0和a,116两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A0，2．  （1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径；（3）设⊙P与x轴相交于Mx1，0，Nx2，0x114m2，∴点P在运动过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径；（3）设Pn，14n2，∵PA=116n4+4，作PH⊥MN于H，则PM=PN=116n4+4，又∵PH=14n2，则MH=NH=116n4+4−14n22=2，故MN=4，∴Mn−2，0，Nn+2，0，又∵A0，2，∴ AM=n−22+4,AN=n+22+4 当AN=MN时， n+22+4=4，解得：n=−2±23，则14n2=4±23；综上所述，P的纵坐标为：4+23或4−23．3．（22·23上·广州·期末）如图，抛物线y=−14x2−32x+c与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点B的坐标为(2,0)，⊙M经过A,B,C三点，且圆心M在x轴上．（1）求c的值．（2）求⊙M的半径．（3）过点C作直线CD，交x轴于点D，当直线CD与抛物线只有一个交点时直线CD是否与⊙M相切？若相切，请证明；若不相切，请求出直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标．【思路点拨】（1）将点B(2,0)代入抛物线解析式，利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）令y=0，可得−14x2−32x+4=0，求解即可确定A点坐标，然后确定⊙M的半径即可；（3）直线CD与抛物线只有一个交点，则方程y=−14x2−32x+4=kx+4有两个相等的实数根，由Δ=(4k+6)2−4×1×0=0可求出k的值，进而求解即可．【解题过程】（1）解：∵抛物线y=−14x2−32x+c经过点B(2,0)，∴−14×22−32×2+c=0，解得c=4，∴c的值为4；（2）在y=−14x2−32x+4中，令y=0，可得−14x2−32x+4=0，解得：x1=−8,x2=2，∴A(−8,0)，∴AB=2−(−8)=10，∴⊙M的半径为102=5；（3）直线CD与⊙M相交．在y=−14x2−32x+4中，令x=0，得y=4，∴C(0,4)，设直线CD解析式为y=kx+b，将点C(0,4)代入，可得b=4，∴直线CD解析式为y=kx+4，∵直线CD与抛物线只有一个交点，∴方程y=−14x2−32x+4=kx+4有两个相等的实数根，整理，得x2+(4k+6)x=0，∴Δ=(4k+6)2−4×1×0=0，解得k=−32，∴直线CD解析式为y=−32x+4，设直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标为(x,−32x+4)，∵M(−3,0)，⊙M的半径为5，则x+32+−32x+42=52，解得 x=0（舍去）或x=2413，将x=2413代入到y=−32x+4，可得y=−32×2413+4=1613，∴直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标为2413,1613．4．（22·23上·广州·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A−1,0、B3,0与y轴交于点C，顶点为D．以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．（1）试用含a的代数式表示c；（2）若IQ⊥PD恒成立，求出此时该抛物线解析式；（3）在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．【思路点拨】（1）根据点点A−1,0、B3,0可得该函数的解析式为y=ax+1x−3，展开括号即可进行解答；（2）根据点Q为PD的中点，且IQ⊥PD，可得点D在⊙I上，进而得出点D的坐标，即可求解；（3）根据题意得∠IQD=90°，则点Q在以DI为直径的圆上运动，求出点P与点A和点B重合时点Q的坐标，进而得出Q1Q2∥x轴，Q1Q2=2，则点Q在以DI中点为圆心的半圆上运动，再根据圆的周长公式求解即可．【解题过程】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A−1,0、B3,0，∴该函数的解析式为y=ax+1x−3=ax2−2ax−3a，∴c=−3a．（2）解：连接DI，∵P是半圆上一点，点Q为PD的中点，且IQ⊥PD，∴点D在⊙I上，∴DI=12AB=12×3−−1=2，∵该抛物线的对称轴为直线x=−1+32=1，∴D1,−2，把D1,−2代入y=ax2−2ax−3a得：−2=a−2a−3a，解得：a=12，∴该抛物线解析式为：y=12x2−x−32；（3）解：∵IQ⊥PD，∴∠IQD=90°，∴点Q在以DI为直径的圆上运动，∵A−1,0、B3,0，D1,−2，∴当点P与点B重合时，Q11+32,−22，即Q12,−1，当点P与点A重合时，Q21−12,−22，即Q20,−1，∴Q1Q2∥x轴，Q1Q2=2，∴点Q在以DI中点为圆心的半圆上运动，点Q的路径长为：12×2π=π．5．（21·22·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，以点P23,−3为圆心的圆与x轴相交于A、B两点，与y轴相切于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C，顶点为D．  （1）求抛物线的表达式；（2）点M为y轴上一点，连接DM，MP，是否存在点M使得△DMP的周长最小？若存在，求出点M的坐标及△DMP的周长最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）如图①，连接PA，PB，PC，设抛物线对称轴交x轴于点G，先求出A(3,0)，B(33,0)，C(0,−3)，把这三点代入y=ax2+bx+c求解即可；（2）如图②，作点P关于y轴的对称点P'，连接P'D与y轴交于点M，连接PM，此时△DMP的周长为PM+MD+DP=P'M+MD+DP=P'D+DP，即当点D，M，P'三点共线时，ΔDMP的周长取得最小值，最小值为P'D+DP的长，先求出△DMP的周长最小值，然后求出直线DP'的解析式，即可求出点M．【解题过程】（1）如图①，连接PA，PB，PC，设抛物线对称轴交x轴于点G，      由题意得PA=PB=PC=23，PG=3．∴AG=BG=(23)2−32=3．∴A(3,0)，B(33,0)，C(0,−3)．把点A(3,0)，B(33,0)，C(0,−3)代入y=ax2+bx+c中，得{3a+3b+c=0,27a+33b+c=0,c=−3解得{a=−13,b=433,c=−3.∴抛物线的解析式为y=−13x2+433x−3；（2）存在．如图②，作点P关于y轴的对称点P'，连接P'D与y轴交于点M，连接PM，此时△DMP的周长为PM+MD+DP=P'M+MD+DP=P'D+DP，即当点D，M，P'三点共线时，ΔDMP的周长取得最小值，最小值为P'D+DP的长，    ∵点P(23,−3)与点P'关于y轴对称，∴点P'的坐标为(−23,−3)，PP'=43，易得D(23,1)，∴DP=4．∴P'D=PP'2+DP2=8，∴P'D+DP=12．∴△DMP的周长最小值为12；设直线DP'的解析式为y=kx+b1，将P'(−23,−3)、D(23,1)代入，得{−23k+b1=−3,23k+b1=1.解得{k=33b1=−1，∴直线DP'的解析式为y=33x−1，令x=0，则y=−1，∴M(0,−1)．6．（21·22下·长沙·期中）如图1，抛物线y=14x2−2x与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．（1）求∠AOB的度数；（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．【思路点拨】（1）将函数解析式化为顶点式，得到点B的坐标，作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4，即可得到∠AOB的度数；（2）①先求出A点坐标．作OB的垂直平分线交⊙A于M1、M2两点，由AH＝4=OH＝BH，得到M1坐标为（4，0）．连接AM2，由∠M2HA=∠OHC=45°，AH=AM2=4，得到M2坐标为（8，4）；②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8），连接MD，根据三角形中位线的性质得到BN=12MD，当MD过点A时，MD长度达到最大值，当点M在点E处时，MD有最小值，由此解决问题．【解题过程】（1）∵y=14x2−2x=14x−42−4，点B为抛物线顶点，∴点B的坐标为（4，－4）．作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4，∴∠AOB＝45°．（2）①14x2−2x=0，解得x1=0，x2=8，∴ A点坐标为（8，0）．作OB的垂直平分线交⊙A于M1、M2两点，∵⊙A半径为4，AH＝4，∴点H在⊙A上，此时OH＝BH，∴点H与点M1重合，∴M1坐标为（4，0）．连接AM2，∵∠M2HA=∠OHC=45°，AH=AM2=4，∴∠HAM2=90°，则M2坐标为（8，4），综上，点M的坐标为（4，0）或（8，4）．②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8），连接MD，∵点N为OM中点，∴ BN=12MD．如图，当MD过点A时，MD长度达到最大值，当点M在点E处时，MD有最小值，∵点A、D横坐标相同，∴此时MD⊥x轴，∴MD＝8＋4＝12，DE＝8－4＝4，∴4≤MD≤12，∴2≤BN≤6．7．（21·22上·长沙·阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标．【思路点拨】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据抛物线的解析式求出点D的坐标，取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P，得到直线EP为y＝x﹣1，联立方程组求解即可；（3）作BD⊥OA于D，得到OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，证明EF是△AEO的外接圆的直径，得到△EOF是等腰直角三角形，当OE最小时，△EOF的面积最小，计算即可；【解题过程】（1）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：9a+3b+3＝014a+4b+3＝1，解得：a=12b=−52，故函数解析式为y=12x2−52x+3；（2）∵抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，∴12x2−52x+3=0，解得：x1＝3，x2＝2，∴点D的坐标为（2，0），取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P， ∵ED＝AD＝1，∴此时△PAB的面积是△DAB的面积的两倍，∵直线AB解析式为y＝x﹣3，∴直线EP为y＝x﹣1，由y=x−1y=12x2−52x+3解得x=7−172y=5−172或x=7+172y=5+172，∴点P坐标（7−172，5−172）或（7+172，5+172）．（3）如图2中，作BD⊥OA于D．∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），∴OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，∴∠OAC＝∠BAD＝45°，∵∠OAF＝∠BAD＝45°，∴∠EAF＝90°，∴EF是△AEO的外接圆的直径，∴∠EOF＝90°，∴∠EFO＝∠EAO＝45°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴当OE最小时，△EOF的面积最小，∵OE⊥AC时，OE最小，OC＝OA，∴CE＝AE，OE＝12AC＝322，∴E（32，32），S△EOF＝12×322×322=94．∴当△OEF的面积取得最小值时，面积的最小值为94，E点坐标（32，32）．8．（20·21下·扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为3,0顶点P的坐标为1,−4，以AB为直径作圆，圆心为D，过P向右侧作⊙D的切线，切点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）请通过计算判断抛物线是否经过点C；（3）设M，N分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M，N两点的坐标．【思路点拨】（1）可设顶点式，将顶点为A1,−4，点B3,0代入求出抛物线的解析式；（2）首先求出D点坐标，再利用CD等于圆O半径为12AB=2，由cos∠PDC=CDPD=24=12，得出C点坐标即可，进而判断抛物线是否经过点C即可；（3）作C关于x轴对称点C'，P关于y轴对称点P'，连接P'C'，与x轴，y轴交于M、N点，此时四边形PNMC周长最小，求出直线P'C'的解析式，求出图象与坐标轴交点坐标即可．【解题过程】（1）解:设抛物线的解析式为y=ax−ℎ2+k把ℎ=1，k=−4，代入得；y=ax−12−4，把x=3，y=0代入y=ax−12−4，解得a=1，∴抛物线的解析式为：y=x−12−4，即：y=x2−2x−3；（2）解:如图,作抛物线的对称轴，把y=0代入y=x2−2x−3解得x1=−1，x2=3，∴A点坐标为−1,0，∴AB=3−−1=4，∴OD=2−1=1，∴D点坐标为1,0，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴点D在直线x=1上，过点C作CE⊥PD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，连接DC，∵PC是⊙D的切线，∴PC⊥DC，在Rt△PCD中∵cos∠PDC=CPPD=24=12，∴∠PDC=60°，解直角三角形CDE，可得DE=1，CE=3，∴C点坐标为3+1,−1，把x=3+1代入y=x2−2x−3得：y=−1，∴点C在抛物线上；（3）解：如图2，作点C关于x轴的对称点C'，点P关于y轴的对称点P'，连接P'C'，分别交x轴，y轴于M，N两点，此时四边形PNMC的周长最小，∵C点坐标为3+1,−1，∴C'点坐标为3+1,1，∵P的坐标为1,−4，∴P'的坐标为−1,−4，代入y=kx+b中，3+1k+b=1−k+b=−4，解得：k=−53+10b=−53+6，则直线P'C'的解析式为：y=−53+10x−53+6，当x=0，y=−53+6，故N点坐标为：0,−53+6，当y=0，则0=−53+10x−53+6，解得：x=3+435，故M点坐标为：3+435,0．9．（21·22上·宜昌·期末）如图所示，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0,−2)，点P在抛物线对称轴上并且位于x轴的下方，以点P为圆心作过A、B两点的圆，恰好使得弧AB的长为⊙P周长的13．（1）求该抛物线的解析式；（2）求⊙P的半径和圆心P的坐标，并判断抛物线的顶点C与⊙P的位置关系；（3）在抛物线上是否存在一点M，使得S△ABM=33？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据二次函数的图像及性质，根据对称轴为x=1，得−b2a=−b2×1=1，求出b=−2， 把D(0,−2)代入y=x2+bx+c，求得c=−2，即可求出抛物线的解析式． （2）根据二次函数的解析式推出A(1−3,0)，B(1+3,0)．从而得到OB=3+1．根据对称轴为x=1，得到OE=1． BE=3．连接PA、PB．由勾股定理可得PE=1，PB=2，求出⊙P的半径为2，P的坐标为(1,−1)．根据抛物线y=x2−2x−2=(x−1)2−3，求出抛物线y=x2−2x−2的顶点坐标为(1,−3)．得到PC=2．所以推出点C在⊙P上 （3）设点M的坐标为a,a2−2a−2，根据三角形的面积公式推出12×23×a2−2a−2=33，得到a2−2a−2=3，①当a2−2a−2=3时，②当a2−2a−2=−3时， 求出a的值，即可求得M点的坐标．【解题过程】（1）解： ∵对称轴为x=1，∴ −b2a=−b2×1=1∴ b=−2．  把D(0,−2)代入y=x2+bx+c，得c=−2．∴抛物线的解析式为y=x2−2x−2．（2）把y=0代入y=x2−2x−2，得x2−2x−2=0，解得x1=1−3，x2=1+3．∴ A(1−3,0)，B(1+3,0)．∴ OB=3+1．∵对称轴为x=1，∴ OE=1．∴ BE=3．连接PA、PB．∵ AB的长为⊙P周长的13，∴ ∠APB=120°．∵ PA=PB，∴ ∠PBE=30°．由勾股定理可得PE=1，PB=2，∴ ⊙P的半径为2，P的坐标为(1,−1)．∵ y=x2−2x−2=(x−1)2−3，∴抛物线y=x2−2x−2的顶点坐标为(1,−3)．∴ PC=2．∴点C在⊙P上 （3）存在设点M的坐标为a,a2−2a−2．∵ S△ABM=33∴ 12×23×a2−2a−2=33∴ a2−2a−2=3．①当a2−2a−2=3时，解得a1=1−6，a2=1+6，∴ M1(1−6,3)，M2(1+6,3)． ②当a2−2a−2=−3时，解得a3=a4=1，∴ M3(1,−3)   综上，符合条件的点M的坐标有(1−6,3)，(1+6,3)，(1,−3)．10．（21·22·全国·专题练习）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P（2，2），以P为圆心，5为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；（3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．【思路点拨】（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，5为半径的圆上，即可作出判断．（2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．（3）连接CD，PA，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得PA=PC=2m，CE=3m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．【解题过程】（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴PA＝PB＝PC＝5，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD，PA，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，∵AB＝16−16aa=41−aa，∴AF＝BF＝21−aa，∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），∴∠PCD＝∠PDC＝30°，设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝3m，PF＝4﹣m，∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l为x=2a，∴3m=2a，即a=23m，在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，∴4m2=(4−m)2+(21−aa)2，即4m2=(4−m)2+4(1−23m)43m2，化简，得(8+23)m=16，解得m=84+3，∴a=23m=43+312．11．（22·23上·嘉兴·期中）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，已知A、C两点的坐标为A−1,0，C0,3．点P是抛物线上第一象限内一个动点，（1）求抛物线的解析式，并求出B的坐标；（2）如图1，y轴上有一点D0,1，连接DP交BC于点H，若H恰好平分DP， 求点P的坐标；（3）如图2，连接AP交BC于点M，以AM为直径作圆交AB、BC于点E、F，若E，F 关于直线AP轴对称，求点E的坐标．【思路点拨】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）过点P作PG∥y轴交BC于G．设Pm,−m2+2m+3，则Gm,3−m，利用全等三角形的性质证明PG=CD=2，构建方程求出即可．（3）连接AF，ME．想办法证明AF=AE=FB=22AB=22，再证明FM=ME=BE，求出OE即可解决问题．【解题过程】（1）∵抛物线y=−x2+bx+c经过A−1,0，C0,3，∴c=3−1−b+c=0，解得b=2c=3，∴y=−x2+2x+3，令y=0，得到−x2+2x+3=0，解得x=−1或3，∴B3,0；（2）如下图，过点P作PG∥y轴交BC于G．设Pm,−m2+2m+3，则Gm,3−m，∵D0,1，∴OD=1，∵OC=3，∴CD=2，∵PG∥CD，∴∠HCD=∠HGP，在△CHD和△GHP中，∠CHD=∠GHP∠HCD=∠HGPDH=PH，∴△CHD≌△GHPAAS，∴PG=CD=2，∴PG=−m2+2m+3−3−m=2，解得m=1或2，∴P1,4或2,3．（3）如下图，连接AF，ME．∵AM是直径，∴∠AFM=∠AEM=90°，∴AF⊥CM，ME⊥AE，∵E，F关于直线AP轴对称，∴ME=MF，AF=AE，∵OB=OC=3，∠BOC=90°，∴∠OBC=45°，∵∠BEM=90°，∠AFB=90°，∴∠EMB=∠EBM=45°，AF=FB=AE=22AB=22，∴BE=ME=FM=AB−AE=4−22，∴OE=3−4−22=22−1，∴E22−1,0．12．（21·22上·鄂尔多斯·阶段练习）如图，抛物线y=ax2−2x+c经过直线y=x−3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APB=S△ABC的点P的坐标；（3）⊙M是过A、B、C三点的圆，连接MC、MB、BC，求劣弧CB的长．【思路点拨】（1）先根据y=x−3求出点A、点B的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先求出点C的坐标，然后求出S△ABC=6，设点Pa,a2−2a−3，再分两种情况讨论，根据S△APB=S△ABC列方程求解即可；（3）先求出BC=10，∠BMC=90°，然后求出BM=5，最后根据弧长公式进行计算即可．【解题过程】（1）解：把x=0代入y=x−3得：y=−3，∴B(0,−3)，把y=0代入y=x−3得：x−3=0，解得：x=3，∴A3,0，将点A与点B的坐标代入抛物线y=ax2−2x+c，得c=−39a−6+c=0，解得a=1c=−3，∴抛物线的解析式是y=x2−2x−3；（2）解：把y=0代入y=x2−2x−3得：x2−2x−3=0，解得：x1=3，x2=−1，∴点C−1,0，S△ABC=12AC×OB=12×3−−1×3=6，∵P为抛物线上的一个动点，∴设点Pa,a2−2a−3，当点P在AB下方时，过点P作PH∥y轴，交AB于点H，如图所示：点Ha,a−3，则PH=a−3−a2−2a−3=−a2+3a，S△PAB=12×3×−a2+3a=−32a2+92a，∴−32a2+92a=6，即−32a2+92a−6=0，∵△=922−4×−32×−6=−63422−1，∴BN的最小值为22−1．14．（22·23上·济宁·期末）如图1，已知抛物线y=−x2+bx+c经过点A1，0，B−5,0两点，且与y轴交于点C．  （1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值． 若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．【思路点拨】（1）将A、B两点坐标代入y=−x2+bx+c即可求出b=−4,c=5；（2）由（1）得到抛物线的解析式为y=−x2−4x+5，求出点C0,5，设点Pm,−m2−4m+5，−5