山东省肥城市慈明学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

这是一份山东省肥城市慈明学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，已知集合,,若,则实数a的值为，设,,则满足的集合A的个数为，已知,则“,且”是“”的，《九章算术》中“勾股容方”问题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题
1．已知集合,,若.则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．对任意a、b、，给出下列命题：
①“”是“”的充要条件；
②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“”是“”的必要非充分条件；
④“”是“”的充分非必要条件.
其中真命题的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
4．已知命题,：命题,.若p为假命题,q为真命题,则实数a的取值范围为( )
A.B.
C.D.
5．已知集合,,若,则实数a的值为( )
A.5或-3B.C.5D.-3
6．设,,则满足的集合A的个数为( )
A.B.C.D.
7．已知,则“,且”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图(1)，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)，将三种颜色的图形进行重组，得到如图(2)所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边d，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图(3)，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是( )
①由图(1)和图(2)面积相等可得；
②由可得；
③由可得；
④由可得.
A.①②③④B.①②③C.②③④D.①③
二、多项选择题
9．给出下列四个关系式,其中正确的是( )
A.B.C.D.
10．已知全集,,,,,,则下列选项正确的为( )
A.B.A的不同子集的个数为8
C.D.
11．设正实数m,n满足,则( )
A.的最小值为3B.的最大值为2
C.的最大值为1D.的最小值为
三、填空题
12．已知全集,集合,,则___________.
13．若p是的一个充分不必要条件,请写出满足条件的一个p为______.
四、双空题
14．描述法
在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号,再画一条竖线,并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的______,即______.这种表示集合的方法叫做描述法.
五、解答题
15．已知a,b是实数,判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答）,并证明你的结论.
16．已知集合,.
(1)若,求实数m的取值范围;
(2)若集合中仅有一个整数元素,求.
17．函数的定义域为A，，的值域为B.
(1)记，其中Z为整数集，写出M的所有子集，
(2)，且，求实数a的取值范围.
18．指出下列各组命题中,p是q的什么条件：(填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等)
(1)p：；q：.
(2)p：同位角相等；q：两直线平行.
(3)p：；q：.
(4)p：；q：.
19．集合,,.
（1）若,,求实数a的值;
（2）若,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由题可知或,,由,可得,所以.
2．答案：A
解析：当时,,,
当时,,,
所以,
所以.
故选：A.
3．答案：B
解析：对于①，当时，由等式的性质可知，，即“”“”，
若，当时，则a、b不一定相等，即“”“”，
所以，“”是“”的充分不必要条件，①错；
对于②，若是无理数，则a是无理数，
另一方面，若a是无理数，则是无理数，
所以，“是无理数”“a是无理数”，
因此，“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，②对；
对于③，因为，
所以，“”是“”的必要非充分条件，③对；
对于④，若，取，，则，即“”“”，
若，不妨取，，则，即“”“”，
所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，④错.
故真命题的个数为，
故选：B.
4．答案：C
解析：命题,为假命题,
在上无解,
即与,函数图象没有交点,
由图可知：或,
命题,为真命题,则,解得,
综上所述：实数a的取值范围为.
故选：C.
5．答案：D
解析：因为,所以,所以或.
若,则,此时,,此时不成立;
若,则或,
当时,,,B中有两元素相等,故不成立;
当时,此时,,此时成立;
综上：.
故选：D.
6．答案：D
解析：集合A至少包括所有元素,
还要从根据任意取1个,2个或个元素,
则集合A的个数为,
故选：D.
7．答案：C
解析：,
,
,
因此充分性成立;
,
,
,,
因此必要性成立,
综上”,”是充分必要条件,选C.
8．答案：A
解析：由面积相等得，所以，故①正确.在题图(3)中，由三角形面积得，由题意可知.又因为，所以，所以，故②正确.由题意得.因为，所以，所以，故③正确.由得，即，故④正确.选A.
9．答案：AD
解析：因为2024是实数,因此选项A正确;
因为空间集中没有元素,显然不正确,因此选项B不正确;
因为所有的整数都是有理数,因此整数集是有理数集的子集,所以选项C不正确;
因为空集是任何非空集合的真子集,所以选项D正确,
故选：AD.
10．答案：ABC
解析：因为,
因为,所以集合A中有,集合B中无的元素只有1,9；
因为,所以既不在集合A中,也不在集合中的元素只有4,6,7；
因为,所以集合A与B的公共元素只有3；
所以集合B中有,集合A中无的元素只有0,2,5,8,即.
如图：
所以：,,,故AC正确；
因为集合A中有3个元素,所以A的不同子集的个数为8,故B正确；
因为,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：BC
解析：因为正实数m,n满足,
所以,
当且仅当,即,,等号成立,故A错误;
,当且仅当时,等号成立,所以,故B正确;
,所以,当且仅当时,等号成立,故C正确;
,当且仅当时,等号成立,故D错误;
故选：BC.
12．答案：
解析：由题意知,,
所以.
故答案为:.
13．答案：(答案不唯一)
解析：由,解得或,故,
因为p是q的一个充分不必要条件,
写出一个范围比q小的即可,
故.
故答案为：(答案不唯一)
14．答案：共同特征；满足性质
解析：在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号,再画一条竖线,并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征,即满足性质.这种表示集合的方法叫做描述法.
15．答案：充要条件,证明见解析
解析：是成立的充要条件,证明如下：
由可得,
由于,所以;
由,可得,即.
故是成立的充要条件,
16．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)由题意,,
知或,,
因为,故,解得;
(2)中的整数元素为-2,-1,
而集合中仅有一个整数元素,
当该整数元素为-2时,,
此时,则;
当该整数元素为-1时,,
此时,则.
17．答案：(1)M的所有子集为：，，，
(2)或
解析：(1)，
，时，取最小值-1；
时，取最大值3
，
，，
M的所有子集为：，，，，
(2)，
①时，，解得；
②时，或，解得或，
实数a的取值范围为或
18．答案：(1)必要非充分条件
(2)充要条件
(3)既非充分也非必要条件
(4)充分非必要条件
解析：(1)由可得或者,
故p是q的必要不充分条件,
(2)同位角相等,两直线平行；当两直线平行时,同位角相等,
故p是q的充要条件
(3)由可得或,故p是q的既不充分也不必要条件,
(4)由可得,故p是q的充分不必要条件,
19．答案：（1）或;
（2）.
解析：（1）,,
因为,所以2和－3至少有一个在A中,
又因为,所以且,
将代入,整理得,得或.
当时,满足题意;
当时,也满足题意.
综上,或;
（2）且,分以下四种情况讨论:
①当时,,解得或;
②当时,则,无解;
③当时,则,无解;
④当时,则,无解.
综上所述,实数a的取值范围是