2023-2024学年山东省泰安市肥城市慈明学校高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省泰安市肥城市慈明学校高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知角α的终边经过点(7,7 3)，则角α的值可能为( )
A. π3B. π6C. 2π3D. 5π6
2.已知函数f(x)=(1−3a)x+a+1,x<22ax,x≥2满足对任意的x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，则实数a的取值范围为( )
A. (0,12]B. (13,12]C. [12,1)D. (13,1)
3.若不等式alnx−x≥0有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是( )
A. [2ln2,5ln5)B. (2ln2,5ln5]C. [3ln3,5ln5)D. (3ln3,5ln5]
4.一校园公用电话在某时刻恰有k(k∈N)个学生正在使用或等待使用该电话的概率为P(k)，根据统计得到P(k)=c(k+1)(k+2),0≤k<4,0,k≥4,其中c为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为( )
A. 12B. 58C. 34D. 78
5.已知集合A={x|y= x−1},B={y|y=−x+3,x∈A}，则A⋂B=( )
A. [1,+∞)B. [1,2]C. (−∞,2]D. (1,2)
6.已知随机变量X～B(n,p)，若E(X)=35，D(X)=1225，则np=( )
A. 15B. 115C. 154D. 415
7.李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往.据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频(含甲、乙)，准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为( )
A. 180B. 360C. 720D. 1440
8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形(圆)，筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现(即P0时的位置)时开始计算时间，设盛水筒M从P0运动到点P时所用时间为t(单位：s)，且此时点P距离水面的高度为ℎ(单位：m).若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图2)，则ℎ与t的函数关系式为( )
A. ℎ=2sin(π15t−π6)+1，t∈[0,+∞) B. ℎ=2sin(π15t+π6)+1，t∈[0,+∞)
C. ℎ=2sin(πt−π6)+1，t∈[0,+∞) D. ℎ=2sin(πt+π6)+1，t∈[0,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知θ∈(0,π)，sinθ+csθ=15，则下列结论正确的是( )
A. θ∈(π2,π)B. csθ=−35C. tanθ=−34D. sinθ−csθ=75
10.下列不等式一定成立的是( )
A. lg(x2+14)≥lgx(x>0)B. sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)
C. xx2+1≥12(x>0)D. 12x+1<1(x∈R)
11.以下结论正确的是( )
A. 不等式a+b≥2 ab恒成立
B. 存在a，使得不等式a+1a≤2成立
C. 若a，b∈(0,+∞)，则ba+ab≥2
D. 若正实数x，y满足x+2y=1，则2x+1y≥10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设全集U是实数集R，M={x|x<−2或x>2}，N={x|113.若函数f(x)=lg22x+1−12x+k在(1,+∞)上满足f(f(x))=x恒成立，则k= ______．
14.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
将函数f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位长度，然后把曲线上各点横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图像．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)若x∈[0,π4]，求函数g(x)的值域．
16.(本小题15分)
已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b2x+a是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
(3)当x∈[1,3]时，f(kx2)+f(2x−1)>0恒成立，求实数k的取值范围．
17.(本小题15分)
已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|−2≤x≤5}．
(1)若a=3，求(∁RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)=lg12f(x)，求g(x)的单调递增区间．
19.(本小题18分)
某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调查了200名学生及每名学生的一位家长，得到以下的2×2列联表：
(1)根据以上数据，判断是否有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；
(2)若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中更喜欢正装的家长人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.B
5.B
6.A
7.D
8.A
9.ABD
10.AD
11.BC
12.{x|113.−2
14.16；23
15.解：(1)f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位长度得y=sin(x+π6)的图像，
再将其纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，得到g(x)=sin(2x+π6)的图像；
(2)设t=2x+π6，由x∈[0,π4]，得t∈[π6,2π3]，
则sint∈[12,1]，即g(x)在区间[0,π4]的值域为[12,1]．
16.解：(1)因为定义域为R的函数f(x)=−2x+b2x+a是奇函数，
所以f(0)=0，
即−1+b1+a=0，
∴b=1，
又由∵f(−1)=−f(1)，
即−12+112+a=−12+a，
∴a=1，
检验知，当a=1，b=1原函数为奇函数；
证明：(2)f(x)在(−∞,+∞)上为减函数；
证明如下：
由(1)知f(x)=1−2x1+2x=−1+22x+1，
任取x1，x2∈R，设x1则f(x2)−f(x1)=22x2+1−22x1+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
因为函数y=2x在R上是增函数目x1∴2x1<2x2，∴2x1−2x2<0，
又(2x1+1)(2x2+1)>0，
∴f(x2)−f(x1)<0即f(x2)∴f(x)在(−∞,+∞)上为减函数；
(3)因f(x)是奇函数，当x∈[1,3]时，f(kx2)+f(2x−1)>0恒成立，
等价于f(kx2)>−f(2x−1)=f(1−2x)，
因f(x)为减函数，由上式推得：kx2<1−2x，
即对一切x∈[1,3]有：k<1−2xx2恒成立，
设g(x)=1−2xx2=(1x)2−2⋅1x，
令t=1x,t∈[13,1]，
则有G(t)=t2−2t,t∈[13,1]，
∴g(x)min=G(t)min=g(1)=−1，
∴k<−1，即k的取值范围为(−∞,−1)．
17.解：(1)当a=3时，集合P={x|4≤x≤7}，可得∁RP={x|x<4或x>7}，
因为Q={x|−2≤x≤5}，所以(∁RP)∩Q={x|−2≤x<4}；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，所以P是Q的真子集，
当a+1>2a+1时，即a<0时，此时P=⌀，满足P是Q的真子集，
当P≠⌀时，则满足a≥0且2a+1≤5a+1≥−2，等号不能同时取得，解得0≤a≤2，
综上所述，a≤2，即实数a的取值范围为(−∞,2]．
18.解：(1)易知A=2，由图知3T4=13π12−π3，
则T=2πω=π，可得ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+φ)，
因为f(13π12)=2sin(2×13π12+φ)=2，可得sin(2×13π12+φ)=1，
所以13π6+φ=2kπ+π2，(k∈Z)，
解得φ=2kπ−5π3，(k∈Z)，
因为|φ|<π2，
所以φ=π3，
则f(x)=2sin(2x+π3)；
(2)因为g(x)=lg12[2sin(2x+π3)]=−1+lg12sin(2x+π3)，
要求其单调递增区间，只要π2+2kπ≤2x+π3<π+2kπ，(k∈Z)，
解得π12+kπ≤x<π3+kπ，(k∈Z)，
所以g(x)的单调递增区间为[π12+kπ,π3+kπ),(k∈Z)．
19.解：(1)由题可得列联表如下：
零假设H0：学生与家长对校服风格的偏好无差异，
则χ2=400×(160×80−120×40)2200×200×280×120=40021≈19.048>6.635，
根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以判断H0不成立，犯错的概率不超过0.01，
即有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；
(2)座谈的家长中更喜欢正装的人数为5×120200=3，则更喜欢运动装的人数为2，
由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X=0)=C22C52=110，P(X=1)=C21C31C52=35，P(X=2)=C32C52=310，
故X的分布列为：
所以E(X)=0×110+1×35+2×310=65． 更喜欢正装
更喜欢运动装
家长
120
80
学生
160
40
α
0.1
0.05
0.01
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
更喜欢正装
更喜欢运动装
总计
家长
120
80
200
学生
160
40
200
总计
280
120
400
X
0
1
2
P
110
35
310