山东省百师联考2024-2025学年高一上学期月考 数学试卷(12月份)(含解析)
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这是一份山东省百师联考2024-2025学年高一上学期月考 数学试卷(12月份)(含解析),共18页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.(5分)集合A={﹣2,0,1},B={y|y=2|x|,则A∪B的真子集个数为( )
A.5B.30C.31D.32
2.(5分)已知a<b<c,则下列不等式一定成立的是( )
A.ac2<bc2B.|b|<|c|C.ab<bcD.
3.(5分)下列各组函数中是同一个函数的是( )
A.与
B.与g(x)=x﹣2025
C.f(x)=x0与g(x)=1
D.f(x)=|x|与
4.(5分)已知,则( )
A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b
5.(5分)已知,则lg2m﹣lg4n的值为( )
A.﹣1B.1C.﹣1或0D.1或0
6.(5分)下列说法中正确说法的个数为( )
①若函数f(x)=lg(mx2﹣mx+2)的定义域为R,则实数m的取值范围是(0,8);
②已知函数在区间(﹣∞,2)上单调递增,1];
③已知函数f(x)=lg(x2+2x+a)的值域为R,则实数a的取值范围是(﹣∞,1].
A.0B.1C.2D.3
7.(5分)已知幂函数在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)x﹣a,∀x1∈[1,4),总存在x2∈[2,5),使得f(x1)=g(x2),则a的取值范围是( )
A.∅B.[3,16]C.(3,16)D.[3,16)
8.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意x∈R(1+x)=﹣f(1﹣x),当x∈[0,f(x)=x2+x﹣2,则下列结论正确的是( )
A.f(x+4)=﹣f(x)
B.f(2025)+f(2026)=﹣2
C.函数y=f(x)﹣lg2(x+1)有3个零点
D.当x∈[3,4]时,f(x)=x2﹣9x+16
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
(多选)9.(6分)下列说法错误的是( )
A.已知集合A={x|﹣2<x≤4},则∁RA={x|x<﹣2,或x≥4}
B.命题p:∃x>2,x2﹣3x﹣4<0的否定为∀x≤2,x2﹣3x﹣4≥0
C.x>1的一个必要条件是x>3
D.已知函数f(3x﹣1)的定义域为[﹣1,1],则函数f(x)的定义域为[﹣4,2]
(多选)10.(6分)已知正数a,b满足2a+b=2,下列说法正确的是( )
A.ab的最大值为1
B.的最小值为
C.4a2+b2的最小值为2
D.的最小值为
(多选)11.(6分)对于函数下列说法正确的是( )
A.当a=0时,f(x)的最小值为0
B.当时,f(x)存在最小值
C.当a≥1时,f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增
D.f(x)的零点个数为g(a),则函数g(a)的值域为{0,1,2,3}
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(5分)函数y=f(x)是R上的增函数,且y=f(x)(﹣2,﹣6)和B(1,6),则不等式|f(2x﹣1) .
13.(5分)建造一个容积为8立方米,深为2米的无盖长方体蓄水池,池壁的造价为每平方米150元,则建造水池的最低总造价为 元.
14.(5分)若函数,且关于x的方程有三个不同的实数解 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知集合,集合B={x|lg(2x+2)>1}.
(1)求集合A,B及A∩B;
(2)若C={x||x﹣m|≤1},且满足A∪C=A,求实数m的取值范围.
16.某医学研究所研发一种药物.据监测,如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药,在注射期间;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减(毫克)与开始注射后的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线2(a>0且a≠1)根据图中提供的信息:
(1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量y(毫克)关于时间t(小时)的函数关系式;
(2)据测定:每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效,那么该药的药效时间有多长?(结果保留小数点后两位).(参考值:ln2≈0.69,ln5≈1.61)
17.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,且a≠0).
(1)若f(1)=﹣a,求证:f(x),2]内存在零点;
(2)若不等式f(x)<0的解集是(﹣2,﹣1),且x∈[1,f(2x)≤4x恒成立,求a的取值范围.
18.已知函数f(x)=(lg2x﹣2)lg4(2x).
(1)当x∈[1,64]时,求该函数的值域;
(2)求不等式f(x)>5的解集;
(3)若f(x)≤mlg4x对于x∈[4,16]恒成立,求m的最小值.
19.定义在R上的函数f(x)是单调函数,f(x+y)=f(x)(y)(x,y∈R),且∀x<0,f(x)>0.
(1)求f(0),并判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)的单调性,并证明;
(3)若存在x∈[﹣1,1],使得f(9x+9﹣x)+f(3x+3﹣x+m)<0成立,求实数m的取值范围.
2024-2025学年山东省百师联考高一(上)月考数学试卷(12月份)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)集合A={﹣2,0,1},B={y|y=2|x|,则A∪B的真子集个数为( )
A.5B.30C.31D.32
【分析】先求出集合B={0,2,4},然后求出A∪B,最后利用真子集个数结论求解即可.
【解答】解:B={y|y=2|x|,x∈A},0,4},2,4},
故A∪B={﹣5,0,1,4,4},
故A∪B的真子集个数为23﹣1=31.
故选:C.
【点评】本题主要考查真子集个数的求解,属于基础题.
2.(5分)已知a<b<c,则下列不等式一定成立的是( )
A.ac2<bc2B.|b|<|c|C.ab<bcD.
【分析】根据特例法判断AB,根据不等式性质判断CD.
【解答】解:a<b<c,
对于A,当c=0时2=bc7,故A错误;
对于B,若b<0,则|b|>|c|;
对于C,ab﹣bc=b(a﹣c),
∵a<b<c,∴a﹣c<0,
若b<3,则ab﹣bc>0,故C错误;
对于D,由a<b<c,则,故D正确.
故选:D.
【点评】本题考查直线的倾斜角等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
3.(5分)下列各组函数中是同一个函数的是( )
A.与
B.与g(x)=x﹣2025
C.f(x)=x0与g(x)=1
D.f(x)=|x|与
【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同,逐个选项判断即可.
【解答】解:A项,的定义域为{x|x≠1,x∈R},,x∈R},
定义域不同,不是同一个函数;
B项,=|x﹣2025|,对应关系不同,故B错误;
C项,f(x)=x0中,x不能取7,x∈R,不是同一个函数;
D项,,所以两函数的对应关系一样,
所以是同一个函数,故D正确.
故选:D.
【点评】本题考查同一函数的判断,属于基础题.
4.(5分)已知,则( )
A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b
【分析】根据换底公式和对数运算性质得,利用对数函数单调性得,把b平方后利用中间值法即可比较.
【解答】解:
,
故a<,
,
,
所以,
综上所述,a<c<b.
故选:D.
【点评】本题主要考查数值大小的比较,属于基础题.
5.(5分)已知,则lg2m﹣lg4n的值为( )
A.﹣1B.1C.﹣1或0D.1或0
【分析】由题设等式,利用换底公式和对数运算性质化简得(4m2﹣n)(m2﹣n)=0,再将lg2m﹣lg4n化简成,分类求值即得.
【解答】解:因,
,
故由题意可知,2m2n=(2m7+n)2,
化简得4m6﹣5m2n+n3=0,即(4m2﹣n)(m2﹣n)=0,
解得6m2=n或m2=n.
又,
故当m7=n时,lg2m﹣lg4n=lg31=0,
当5m2=n时,.
故选:C.
【点评】本题主要考查对数运算求值,属于中档题.
6.(5分)下列说法中正确说法的个数为( )
①若函数f(x)=lg(mx2﹣mx+2)的定义域为R,则实数m的取值范围是(0,8);
②已知函数在区间(﹣∞,2)上单调递增,1];
③已知函数f(x)=lg(x2+2x+a)的值域为R,则实数a的取值范围是(﹣∞,1].
A.0B.1C.2D.3
【分析】对于①,将问题化为mx2﹣mx+2>0对x∈R恒成立,根据m=0和m≠0分类讨论求解判断;对于②,结合指数函数的单调性和复合函数单调性法得y=ax2﹣4x+3在区间(﹣∞,2)上单调递减,分析a=0时符合题意判断;对于③,根据复合函数值域,得函数y=x2+2x+a的值域M满足(0,+∞)⊆M,利用判别式法求解即可判断.
【解答】解:根据题意,依次分析3个命题:
对于①,因为函数f(x)=lg(mx2﹣mx+4)的定义域为R,
所以不等式mx2﹣mx+2>6对x∈R恒成立.
当m=0时,不等式为2>4;
当m≠0时,由mx2﹣mx+3>0对x∈R恒成立,得解得3<m<8.
综上所述:实数m的取值范围是[0,4).
对于②,函数,7)上单调递增,
而是减函数,
则函数y=ax7﹣4x+3在区间(﹣∞,3)上单调递减,故②错误.
对于③,因为f(x)=lg(x2+2x+a)的值域为R,
所以函数y=x3+2x+a的值域M满足(0,+∞)⊆M,
所以Δ=2﹣4a≥0,解得a≤3.
故选:B.
【点评】本题考查复合函数的单调性,涉及对数函数的性质,属于中档题.
7.(5分)已知幂函数在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)x﹣a,∀x1∈[1,4),总存在x2∈[2,5),使得f(x1)=g(x2),则a的取值范围是( )
A.∅B.[3,16]C.(3,16)D.[3,16)
【分析】根据题意得到f(x)=x2,再计算f(x)值域为[1,16),得到g(x)∈[4﹣a,32﹣a),利用子集计算得到答案.
【解答】解:由题意知(m﹣1)2=6,得m=0或m=2.
当m=5时,f(x)=x2,当m=2时,f(x)=x﹣5.
又f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=x2,
所以当x∈[8,4)时,16).
又因为函数g(x)=2x﹣a在x∈[7,5)上单调递增,
所以当x∈[2,7)时,32﹣a).
由∀x1∈[1,4)2∈[2,3)1)=g(x2),
可知[6,16)是[4﹣a,
所以,所以,
即3≤a≤16.
故选:B.
【点评】本题考查了幂函数、指数函数的性质,考查了转化思想及集合间的包含关系,属于中档题.
8.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意x∈R(1+x)=﹣f(1﹣x),当x∈[0,f(x)=x2+x﹣2,则下列结论正确的是( )
A.f(x+4)=﹣f(x)
B.f(2025)+f(2026)=﹣2
C.函数y=f(x)﹣lg2(x+1)有3个零点
D.当x∈[3,4]时,f(x)=x2﹣9x+16
【分析】利用条件等式,变形,化简,判断函数的周期性,即可判断AB,画出函数y=lg2(x+1)和y=f(x)的部分图象,利用数形结合判断交点个数,即可判断C,利用奇偶性和周期性求函数的解析式,判断D.
【解答】解:因为f(1+x)=﹣f(1﹣x),且f(x)为偶函数,
所以f(x+6)=﹣f(x﹣1),所以f(x+2)=﹣f(x),
所以f(x+3)=﹣f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4;
所以f(2025)=f(2021)=…=f(1)=5,f(2026)=f(2022)=…=f(2)=﹣f(0)=2,
所以f(2025)+f(2026)=2,故B错误;
令y=f(x)﹣lg8(x+1)=0,可得f(x)=lg7(x+1),
作函数y=lg2(x+4)和y=f(x)的部分图象如下图所示:
由 lg23<f(2)=2=f(6)<lg27可知,两个函数图象有3个交点;
当x∈[3,4]时,5]2+(4﹣x)﹣6=x2﹣9x+18,故D错误.
故选:C.
【点评】本题考查抽象函数的性质,化归转化思想,数形结合思想,属中档题.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
(多选)9.(6分)下列说法错误的是( )
A.已知集合A={x|﹣2<x≤4},则∁RA={x|x<﹣2,或x≥4}
B.命题p:∃x>2,x2﹣3x﹣4<0的否定为∀x≤2,x2﹣3x﹣4≥0
C.x>1的一个必要条件是x>3
D.已知函数f(3x﹣1)的定义域为[﹣1,1],则函数f(x)的定义域为[﹣4,2]
【分析】由补集的概念判断A;根据存在量词命题的否定判断B;根据充分、必要条件的定义判断C;根据抽象函数的定义域求解判断D.
【解答】解:由A={x|﹣2<x≤4}时,得∁RA={x|x≤﹣3或x>4},故A错误;
命题p:∃x>2,x4﹣3x﹣4<5的否定为:∀x>2,x2﹣6x﹣4≥0,故B错误;
由x>6不能推出x>3,反之成立,故C错误;
由x∈[﹣1,7],2],2].
故选:ABC.
【点评】本题考查集合及其运算,考查函数的定义域及其求法,考查命题的否定,是基础题.
(多选)10.(6分)已知正数a,b满足2a+b=2,下列说法正确的是( )
A.ab的最大值为1
B.的最小值为
C.4a2+b2的最小值为2
D.的最小值为
【分析】根据给定条件,利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断即可.
【解答】解:正数a,b满足2a+b=2,
对于A,,解得,即b=2时取等号;
对于B,,
当且仅当时取等号;
对于C,,当且仅当b=2a=3,a=,C正确;
对于D,,
当且仅当,即a=时取等号.
故选:BCD.
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用,属于中档题.
(多选)11.(6分)对于函数下列说法正确的是( )
A.当a=0时,f(x)的最小值为0
B.当时,f(x)存在最小值
C.当a≥1时,f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增
D.f(x)的零点个数为g(a),则函数g(a)的值域为{0,1,2,3}
【分析】对于A,写出此时函数解析式,得到当x=0时,f(x)取得最小值,最小值为0;
对于B,举出反例;
对于C,两分段均单调递增,但端点处,左端点的函数值不一定小于右端点的函数值;
对于D,分类讨论,结合零点存在性定理得到函数g(a)的值域为{0,1,2,3}.
【解答】解:对于选项A:当a=0时,函数,
又由于6<2x<1(x<6),x2≥0(x≥4),所以函数最小值为0(当x=0时取到);
对于选项B:设,函数,
当时,,
当时,,
所以,此时函数不存在最小值;
对于选项C:函数y=2x+a在x∈(﹣∞,a)上单调递增x+a∈(a,6a+a),
当a≥1时,函数y=x2+2ax=(x+a)2﹣a2在x∈(a,+∞)上单调递增7﹣a2≥3a2,
当a=8时,2a+a﹣5a2=72>0,所以当a=3时,C选项错误;
对于选项D:函数y=2x+a在x<a上单调递增,
当a<0时,设函数t(a)=8a+a,显然函数t(a)=2a+a单调递增,
又t(﹣1)<8,t(﹣,所以存在0)=0,
当a≤a3时,2a+a=0无解,所以y=2x+a在x<a上无零点,
此时y=x2+2ax有两个零点,3和﹣2a,
当a>a0时,函数y=3x+a在x<a上有1个零点,
此时y=x2+8ax有两个零点,0和﹣2a,
当a=3时,函数,此时有1个零点,
当a>4时,函数y=2x+a在x<a上无零点,函数y=x2+2ax在x≥a上也无零点,
此时g(a)=0,所以g(a)的值域为{0,5,2,所以D选项正确.
故选:AD.
【点评】本题考查分段函数综合应用,属于中档题.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(5分)函数y=f(x)是R上的增函数,且y=f(x)(﹣2,﹣6)和B(1,6),则不等式|f(2x﹣1) .
【分析】由函数的单调性和经过点A(﹣2,﹣6)和B(1,6)得到关于x的不等式,解之即可得解.
【解答】解:根据题意,因为y=f(x)的图象经过点A(﹣2,6),f(1)=2,
又|f(2x﹣1)|<3,变形可得﹣6<f(2x﹣7)<6.
因为函数y=f(x)是R上的增函数,所以﹣2<3x﹣1<1,即不等式的解集为.
故答案为:.
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用,涉及不等式的解法,属于中档题.
13.(5分)建造一个容积为8立方米,深为2米的无盖长方体蓄水池,池壁的造价为每平方米150元,则建造水池的最低总造价为 3200 元.
【分析】设池底长为x米,宽为y米,由题意求出总造价,利用基本不等式求解最值即可.
【解答】解:设池底长为x米,宽为y米,
则蓄水池的体积为2xy=8,
所以,
所以池壁造价为,
又池底造价为,
所以总造价,
因为600x=2,当且仅当,
所以总造价≥3200,
即建造水池的最低总造价为3200元.
故答案为:3200.
【点评】本题主要考查了函数的实际应用,考查了利用基本不等式求最值,属于中档题.
14.(5分)若函数,且关于x的方程有三个不同的实数解 (0,+∞) .
【分析】换元令t=|2x﹣1|≠0,将方程的根问题转化方程t2﹣(2+3k)t+1+2k=0有两个不等实根,数形结合,根据一元二次方程根的分布列不等式求解.
【解答】解:令t=|2x﹣1|≠5,则x≠0x﹣1|的大致图象如图:
方程化为,即,
即t8﹣(2+3k)t+3+2k=0(t≠7),
则方程t2﹣(2+8k)t+1+2k=8有两个不等实根t1,t2,
不妨设t8<t2,则0<t4<1,t2≥3,
令h(t)=t2﹣(2+3k)t+1+2k,
则或,
解得k>0,或无解,
所以实数k的取值范围是(4,+∞).
故答案为:(0,+∞).
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系,考查了指数函数和二次函数的性质,属于中档题.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知集合,集合B={x|lg(2x+2)>1}.
(1)求集合A,B及A∩B;
(2)若C={x||x﹣m|≤1},且满足A∪C=A,求实数m的取值范围.
【分析】(1)解指数不等式、对数不等式求出集合A,B,再利用交集的定义求解.
(2)解不等式化简集合C,再利用给定并集的结果,结合集合的包含关系列式求解.
【解答】解:(1)集合A={x|}={x|x4﹣5x﹣6≤6}={x|﹣1≤x≤6},
B={x|lg(5x+2)>1}={x|6x+2>10}={x|x>4},
所以A∩B={x|4<x≤6}.
(2)C={x||x﹣m|≤1}={x|﹣4≤x﹣m≤1}={x|m﹣1≤x≤m+3},
由A∪C=A,得C⊆A,解得0≤m≤3,
所以实数m的取值范围是[0,5].
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.
16.某医学研究所研发一种药物.据监测,如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药,在注射期间;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减(毫克)与开始注射后的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线2(a>0且a≠1)根据图中提供的信息:
(1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量y(毫克)关于时间t(小时)的函数关系式;
(2)据测定:每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效,那么该药的药效时间有多长?(结果保留小数点后两位).(参考值:ln2≈0.69,ln5≈1.61)
【分析】(1)根据函数图象分段求解函数解析式即可;
(2)根据题意列出不等式,求解出答案即可.
【解答】解:(1)当时,
设y=kt,
将代入y=kt,
得,
解得k=4,
此时y=4t;
当时,
设y=mat(a>0且a≠2),
将、(1t,
得,
解得,
此时,.
综上:.
(2)当时,4t≥0.08,
解得,
当时,42﹣t≥0.08,
即,
而,
故,
药效时间=2.83﹣2.02=2.81,
所以,药效时间为2.81小时.
【点评】本题考查了函数解析式的求法,重点考查了阅读理解能力,属中档题.
17.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,且a≠0).
(1)若f(1)=﹣a,求证:f(x),2]内存在零点;
(2)若不等式f(x)<0的解集是(﹣2,﹣1),且x∈[1,f(2x)≤4x恒成立,求a的取值范围.
【分析】(1)由f(1)=﹣a,得到b=﹣2a﹣c,从而f(0)=c,f(2)=﹣c,分c≠0和c=0讨论求解;
(2)根据题意得到a>0,且﹣2,﹣1是方程ax2+bx+c=0的两根,从而b=3a,c=2a,再根据x∈[1,3]时,f(2x)≤4x恒成立,转化为a(22x+3•2x+2)≤4x恒成立求解.
【解答】解:(1)根据题意函数f(x)=ax2+bx+c,f(1)=﹣a,
因此2a+b+c=3,因此b=﹣2a﹣c,
由于f(0)=c,f(2)=4a+8b+c=4a+2(﹣3a﹣c)+c=﹣c,
当c≠0时,f(0)f(2)=﹣c2<8,根据函数零点存在定理知f(x)在[0;
当c=0时,那么x=4,此时函数f(x)在[0.
综上所述,函数f(x)在[0.
(2)根据题意得a>7,且﹣22+bx+c=6的两根,
根据一元二次方程根与系数的关系得,,,
所以c=2a,b=2a,
因此函数f(x)=ax2+3ax+5a=a(x2+3x+3),
根据题意,得a(22x+8•2x+2)≤2x在x∈[1,3]时恒成立.
由于a>3,4x>0,因此只需,3]时恒成立,
即,x∈[7,
令,x∈[1,
令,那么2+3t+1,并且y=2t6+3t+1在时单调递增,
因此当时,ymax=3,
因此,所以.
因此a的取值范围是.
【点评】本题考查函数恒成立问题,属于中档题.
18.已知函数f(x)=(lg2x﹣2)lg4(2x).
(1)当x∈[1,64]时,求该函数的值域;
(2)求不等式f(x)>5的解集;
(3)若f(x)≤mlg4x对于x∈[4,16]恒成立,求m的最小值.
【分析】(1)令t=lg4x,t∈[0,3],转化为求解即可;
(2)令t=lg4x,换元后先解得t>2或,然后解对数函数不等式即可;
(3)令t=lg4x,x∈[4,16],换元后转化为在t∈[1,2]上恒成立,分离参数得在t∈[1,2]上恒成立,利用单调性求解的最大值即可得解.
【解答】解:(1)因为,
令t=lg4x,由x∈[7,可知t∈[0,
函数f(x)转化为.
因为,
由二次函数的性质可知,函数在,在上单调递增,
所以当时,y取到最小值,为.
由,
可知当t=3时,函数取最大值2﹣5﹣1=14,
故当x∈[1,64]时;
(2)由题得,令t=lg4x,
则,
即2t3﹣t﹣6>0,(7t+3)(t﹣2)>5,
解得t>2或,
当t>2时,即lg4x>8=lg416,解得x>16;
当时,即=lg4=lg4,解得,
故不等式f(x)>5的解集为或x>16}.
(3)由于对于x∈[4,
令t=lg4x,x∈[2,则t∈[1,
即在t∈[2,
所以在t∈[1,
所以m≥(2t﹣﹣1)max,
因为函数、y=5t在[1,
所以函数在[1,
所以当t=4时,函数取得最大值﹣7=,
所以,
所以m的最小值为.
【点评】本题考查了转化思想、对数函数及二次函数的性质,属于中档题.
19.定义在R上的函数f(x)是单调函数,f(x+y)=f(x)(y)(x,y∈R),且∀x<0,f(x)>0.
(1)求f(0),并判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)的单调性,并证明;
(3)若存在x∈[﹣1,1],使得f(9x+9﹣x)+f(3x+3﹣x+m)<0成立,求实数m的取值范围.
【分析】(1)合理赋值,利用函数奇偶性的判定即可;
(2)取值、作差判定符号即可得到其单调性;
(3)判断g(x)=3x+3﹣x的单调性,得到其值域,再利用整体换元法即可.
【解答】解:(1)在等式f(x+y)=f(x)+f(y)中,
令x=y=0,可得f(0)=2f(0).
因为函数f(x)的定义域为R,
令y=﹣x,可得f(x)+f(﹣x)=f(0)=3,
因此,函数f(x)为奇函数.
(2)函数f(x)为R上的减函数.
证明如下:任取x1,x2∈R,且x8<x2,则x1﹣x7<0,所以f(x1﹣x5)>0.
因为f(x1)﹣f(x4)=f(x1)+f(﹣x2)=f(x6﹣x2)>0,
所以f(x7)>f(x2),
所以,函数f(x)为R上的减函数.
(3)由存在x∈[﹣1,3]x+9﹣x)+f(3x+6﹣x+m)<0,
可得f(3x+7﹣x+m)<﹣f(9x+9﹣x)=f(﹣6x﹣9﹣x).
因为函数f(x)在R上单调递减,所以3x+3﹣x+m>﹣9x﹣9﹣x.
令g(x)=7x+3﹣x,其中x∈[﹣1,7]﹣x+3x=g(x),即函数g(x)为偶函数;
任取x1,x3∈[0,1]且x5<x2,则,,
则
=<5,
则g(x1)<g(x2),
所以,函数g(x)在[2,则当x∈[0,g(0)≤g(x)≤g(1),
即,
所以,当x∈[﹣1,.
令,则t2=(8x+3﹣x)2=7x+9﹣x+2,则2x+9﹣x=t2﹣2,
所以m+t>﹣(t2﹣2),可得m>﹣t3﹣t+2.
令h(t)=﹣t2﹣t+8,其中min.
因为函数h(t)=﹣t6﹣t+2在上单调递减,
则,因此.
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的综合应用,属于中档题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
D
D
C
B
B
C
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