第31讲 空间向量及其应用（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为15分
【备考策略】1.理解、掌握空间向量的加减数乘运算，掌握共线、共面问题。
2.能掌握线线角，线面角，与面面角问题。
4.会解空间中的动点问题，会解决空间中的动点含参问题。
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给几何体，求解夹角问题，与空间中的动点问题。
知识讲解
知识点一．空间向量的有关概念
知识点二．空间向量的有关定理
1.共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2.共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
3.空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
知识点三．空间向量的数量积及运算律
1.数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
2.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
知识点四.空间位置关系的向量表示
1.直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
2.平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．
3.空间位置关系的向量表示
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1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
知识点五.夹角相关
1．异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs〈u，n〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq \f(|u·n|,|u||n|).
3．平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
知识点六.距离相关
1．点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设eq \(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq \(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq \r(|\(AP,\s\up6(→))|2－|\(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq \r(a2－a·u2).
2．点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq \(QP,\s\up6(→))的长度，因此PQ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
考点一、空间向量加减数乘运算
1.（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则12BC+12BD+FA=（ ）
A．BAB．AFC．ABD．EF
2.（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=23OA，点N为BC中点，则MN等于（ ）
A．12a+12b−12cB．−23a+12b+12c
C．23a+23b−12cD．−23a→+23b→−12c→
1.（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AP=AB+12AD+14AA1，截面AD1P与正方体侧面BCC1B1交于线段MN，则线段MN的长为（ ）
A．1B．2C．322D．22
2.（23-24高三上·江苏·阶段练习）若空间中四点A,B,C,D满足4DA+AC=4DB，则ABBC=（ ）
A．13B．3C．14D．34
3.（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）在空间直角坐标系中，已知A(0,3,0)，B(0,0,0)，C(4,0,0)，D(0,3,2)，则四面体ABCD外接球的表面积为（ ）
A．29πB．28πC．32πD．30π
4.（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设x，y∈R,a=1,1,1,b=1,y,z,c=x,−4,2，且a⊥c,b∥c，则2a+b=（ ）
A．22B．0C．3D．32
考点二、空间向量基本定理
1.（20-21高三上·浙江宁波·阶段练习）已知O，A，B，C是空间中的点，则“OA,OB,OC”不共面是“对于任意的x,y∈R，向量OA+xOC与向量OB+yOC都不共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.（2024高三·全国·专题练习）已知体积为3的正三棱锥P−ABC的外接球的球心为O，若满足OA+OB+OC=0，则此三棱锥外接球的半径是（ ）
A．2B．2C．32D．34
1.（2024·山东济南·一模）在三棱柱ABC−A1B1C1中，AM=2MB，A1N=mA1C1，且BN//平面A1CM，则m的值为 .
考点三、空间向量数量积运算
1.（2024·全国·模拟预测）设A,B,C三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB⋅AC的最小值为（ ）
A．−94B．−2C．−32D．−43
2.（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥P−ABCD，PA=AB=2，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则QE⋅QF的取值范围为（ ）
A．[0,2]B．[4−23,2]C．[0,4−3]D．[0,4−23]
1.（2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切，若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则PA⋅PB的最大值为（ ）
A．2B．74C．34D．14
2.（2024·上海·三模）已知点C在以AB为直径的球面上，若BC=2，则AB⋅BC= ．
3.（2024·贵州·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点均在半径为1的球O表面上，点P在正方体ABCD−A1B1C1D1表面上运动，MN为球O的一条直径，则正方体ABCD−A1B1C1D1的体积是 ，PM⋅PN的范围是 ．
考点四、共线问题
1.（2024高三·全国·专题练习）已知向量a=2m+1,3,m−1，b=2,m,−m，且a//b，则实数m的值为（ ）
A．−32B．−2C．0D．−32或−2
2.（2023·山东·模拟预测）已知三棱锥S−ABC，空间内一点M满足SM=SA−3SB+4SC，则三棱锥M−ABC与S−ABC的体积之比为 ．
1.（2023·河北·模拟预测）在空间直角坐标系中，A1,−2,a,B0,3,1,Cb,−1,2，若A,B,C三点共线，则ab= .
2.（2023高三·全国·专题练习）已知向量a=1,0,m，b=2,0,−23，若a//b，则a= .
考点五、共面问题
1.（2024·河南·三模）在四面体ABCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，O是△BCD内一点，四面体ABCD的体积为23，则对∀x,y∈R，OA−xOB−yOC的最小值是（ ）
A．26B．263C．6D．6
2.（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知空间向量PA=1,2,4,PB=5,−1,3,PC=m,n,−1，则“P,A,B,C四点共面”是“10m+17n=−11”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
1.（2024高三·全国·专题练习）在四面体O−ABC中，空间的一点M满足OM=12OA+13OB+λOC.若MA、MB、MC共面，则λ＝ .
2.（23-24高三上·上海宝山·期末）已知空间向量PA=1,2,4,PB=5,−1,3,PC=m,n,−1.若P,A,B,C四点共面，则10m+17n= .
3.（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）若向量a=1,−2,−n,b=12,−12,1,c=0,1,−32共面，则n= ．
4.（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=4，AA1=3，M是AB的中点，AN=2NA1，点P在B1N上，且B1P=λB1N0≤λ≤1．是否存在实数λ，使C,M,P,A1四点共面？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由；
考点六、线线、线面角问题
1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，棱AA1,AB,AD两两的夹角均为60∘，AA1=2AB,AB=AD，E为B1C1中点，则异面直线BA1与D1E所成角的余弦值为（ ）

A．12B．13C．14D．16
2.（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知M，N分别是正四面体ABCD中棱AD，BC的中点，若点E是棱CD的中点.则MN与AE所成角的余弦值为（ ）
A．−33B．33C．−66D．66
1.（2024·广东·一模）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P、Q分别在A1B1、C1D1上，且A1P=2PB1，C1Q=2QD1，则异面直线BP与DQ所成角的余弦值为
2.（2022·全国·高考真题）在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
3.（2022·全国·高考真题）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
4.（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分别为A1B1，AC的中点．
(1)求证：MN∥平面BCC1B1；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：AB⊥MN；
条件②：BM=MN．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
考点七、面面角问题
1.（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在三棱锥P−ABC中，∠ABC=π2，AO=CO，PA=PB=PC．
(1)证明：OP⊥平面ABC；
(2)若PA=2AB=2BC，E是棱BC上一点且2BE=EC，求平面PAE与平面PAC的夹角θ．
2.（2024·江苏镇江·三模）如图，三棱锥P−ABC中， ∠ABC=π2，AB=BC=2， PA=PB，D是棱AB的中点，点E在棱AC上.
(1)下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）；
①平面PAB⊥平面ABC；
②DE⊥AC；
③PE⊥AC.
(2)若三棱锥P−ABC的体积为23，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面PDE与平面PBC所成二面角的大小.
1.（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC,AB1⊥A1C,AB⊥BC,AB=BC=2.
(1)求证：平面AB1C1⊥平面A1BC；
(2)设点P为A1C的中点，求平面ABP与平面BCP夹角的余弦值.
2.（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=1，PC=3．

(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A−PC−B的大小．
3.（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,AA1=4．点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3．

(1)证明：B2C2∥A2D2；
(2)点P在棱BB1上，当二面角P−A2C2−D2为150°时，求B2P．
4.（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥A−BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60∘，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足EF=DA，求二面角D−AB−F的正弦值．
考点八、点面、线面、面面距
1.（24-25高三上·广东·开学考试）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，OA=BF=3,AD=3，点G是线段BF的中点，点H是BF的中点．
(1)证明：EG//平面DAF；
(2)求点H到平面DAF的距离．
2.（2021·广西柳州·一模）如图△ABC的外接圆O的直径AB=2，CE垂直于圆O所在的平面，BD//CE，CE=2，BC=BD=1，M为DE上的点.

(1)证明：BM⊥AC；
(2)当M为DE的中点时，求点M到平面ACD的距离.
1.（2024·天津和平·二模）如图，三棱台ABC−A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AB=2A1B1=4，AA1⊥平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，A1B⊥AC1．
(1)证明：CC1∥平面A1MN；
(2)求直线A1D与平面A1MN所成角的正弦值；
(3)求点D到平面A1MN的距离．
2.（24-25高三上·福建·开学考试）如图所示，在四棱锥V−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠ABC=90°，侧面VBC⊥底面ABCD且VB=VC=BC=AB=2CD=2，E为VA中点.

(1)求证：EB⊥AD；
(2)求二面角B−VD−A的正弦值；
(3)求点C到平面VAD的距离.
3.（2024·黑龙江·二模）如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点．

(1)证明：MN//平面A1CP；
(2)求点P到直线MN的距离．
4.（2024·贵州·模拟预测）在三棱锥ABCD中，AC⊥平面BCD，P是AB上一点，且3AB=4BP，连接CP与DP，Q为DP中点.
(1)过Q点的平面平行于平面ACD且与BC交于点M，求BMCM；
(2)若平面PCD⊥平面ABC，且AC=2BC=2CD=4，求点P到平面BCQ的距离.
考点九、点线、线线距
1.（2024·吉林·模拟预测）如图所示，半圆柱OO1与四棱锥A−BCDE拼接而成的组合体中，F是半圆弧BC上（不含B,C）的动点，FG为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，OB=2OO1=2,AB=AC=22.
(1)求证：CG⊥BF；
(2)若DF//平面ABE，求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值；
(3)求点G到直线OD距离的最大值.
2.（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在棱AA1上，且AE=1．
(1)求四棱锥D1−EABB1的表面积
(2)若点P在棱D1C1上，且P到平面B1DE的距离为262，求点P到直线EB1的距离．
1.（2024·天津河西·模拟预测）如图，在棱长为a的正方体OABC−O'A'B'C'中，E,F分别是棱AB,BC上的动点，且AE=BF．
(1)求证：A'F⊥C'E；
(2)当三棱锥B'−BEF的体积取得最大值时，求平面B'EF与平面BEF夹角的正切值及点O到直线B'E的距离．
2.（2024·广东广州·模拟预测）如图所示的空间几何体是以AD为轴的14圆柱与以ABCD为轴截面的半圆柱拼接而成，其中AD为半圆柱的母线，点G为弧CD的中点.
(1)求证：平面BDF⊥平面BCG；
(2)当AB=4，平面BDF与平面ABG夹角的余弦值为155时，求点E到直线BG的距离.
3.（23-24高三下·天津南开·阶段练习）如图，棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，∠DAB=60∘，所有棱长都为2，AC∩BD=O，A1O⊥平面ABCD,F为DC1的中点.

(1)证明：OF//平面BCC1B1；
(2)求二面角D−AA1−C的余弦值；
(3)求点F到直线DA1的距离.
4.（2024·山西吕梁·一模）如图，在四棱锥P−ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=π2，PA=3，AD=2，AB=BC=1．

(1)线段PB上是否存在一点Q使得QC⊥CD，若存在，求出BQ的长，若不存在，说明理由；
(2)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，求异面直线PB与CD之间的距离．
考点十、空间中的动点问题
1.（24-25高三上·四川达州·开学考试）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC,AB1⊥A1C,AB⊥BC,AB=BC=2．

(1)求证：AB1⊥平面A1BC；
(2)设点P满足A1P=λA1C0≤λ≤1，若平面ABP与平面BCP的夹角为π3，求实数λ．
2.（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E,F分别为棱AA1,CC1的中点，G为棱DD1上的动点．

(1)求正四棱柱ABCD−A1B1C1D1过点B,E,F的截面的面积；
(2)是否存在点G，使得二面角G−EF−B的大小为60°?若存在，求出DG的长度；若不存在，说明理由．
1.（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB,E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，BF=λBC0≤λ≤1．
(1)证明：AE⊥PC；
(2)求实数λ的值，使得平面AEF与平面PDC所成角的余弦值最大．
2.（2025·浙江·模拟预测）在正四面体ABCD中，P是△ABC内部或边界上一点，满足AP=λAB+μAC，λ+μ=12．
(1)证明：当DP取最小值时，DP⊥BC；
(2)设DP=xDA+yDB+zDC，求x2+y2+z2的取值范围．
3.（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为AD,AB的中点，AB=2A1B1=4，侧面BB1C1C与底面ABCD所成角为45°.

(1)求证：BD1//平面A1EF；
(2)线段AB上是否存在点M，使得直线D1M与平面A1EF所成的角的正弦值为3510，若存在，求出线段AM的长；若不存在，请说明理由.
4.（2025·广东深圳·一模）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD,AB//CD,PQ//CD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．
(1)求证：EF//平面CPM；
(2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求QN:NC的值．
1．（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）如图，AB是圆的直径，平面PAC⊥面ACB，且AP⊥AC．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若AB=2,AC=1,AP=1，求直线AC与面PBC所成角的正弦值.
2．（2024·天津红桥·二模）在如图所示的几何体中，PA⊥平面ABCD，PA//QD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AB=PA=1，PQ=22．
(1)求证：直线PB//平面DCQ；
(2)求直线PB与平面PCQ所成角的正弦值；
(3)求平面PCQ与平面DCQ夹角的正弦值．
3．（2024·天津·二模）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，F为B1C1的中点，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2．
(1)求证：A1F//平面BDE；
(2)求平面ACC1A1与平面BDE夹角的余弦值；
(3)求点A1到平面BDE的距离．
4．（2024·天津·二模）如图，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AD∥CE，AB=AC=CE=1，AD=2，M为AD的中点．
(1)证明：EM⊥BD；
(2)求平面DBC与平面ABC夹角的余弦值；
(3)设N是棱BC上的点，若EN与CD所成角的余弦值为3010，求BN的长．
5．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知四棱台ABCD−A1B1C1D1，下底面ABCD为正方形，AB=2，A1B1=1，侧棱AA1⊥平面ABCD，且AA1=2,E为CD中点．
(1)求证：A1E//平面BCC1B1；
(2)求平面ABC1D1与平面BCC1B1所成角的余弦值；
(3)求E到平面ABC1D1的距离．
6．（2024·天津河西·一模）已知三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=2PA=2AC=4，N为AB上一点且满足3AN=NB，M，S分别为PB，BC的中点．

(1)求证：CM⊥SN；
(2)求直线SN与平面CMN所成角的大小；
(3)求点P到平面CMN的距离．
1．（24-25高三上·天津蓟州·开学考试）如图，PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB//CD,PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E,F,M分别为AP,CD,BQ的中点.
(1)求证：EF//平面CPM；
(2)求平面QPM与平面CPM夹角的正弦值；
(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求N到平面CPM的距离.
2．（23-24高三上·天津·期中）如图，PD垂直于梯形ABCD所在平面，∠ADC=∠BAD=90°,F为PA的中点，PD=2,AB=AD=12CD=1，四边形PDCE为矩形．
(1)求证：AC//平面DEF；
(2)求平面ABCD与平面BCP的夹角的余弦值；
(3)求点F到平面BCP的距离．
3．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，已知棱AB,AD,AP两两垂直，长度分别为1，2，2，若DC=λAB，且向量PC与BD夹角的余弦值为1515.
(1)求实数λ值；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)求平面PBD与平面PCD夹角的余弦值.
4．（23-24高三下·天津·阶段练习）如图，已知多面体ABC−A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

(1)求证：AB1⊥平面A1B1C1；
(2)求直线AC1与平面ABB1所成角的正弦值；
(3)求点A到平面A1B1C1的距离．
5．（2024·天津·模拟预测）四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且AB=4，AD=3，PA=5，E、F分别为PD、PB中点，CM=13CP．
(1)求平面EFM与平面ABCD夹角余弦值；
(2)求平面EFM与直线PB夹角正弦值；
(3)平面EFM与PA交于N点，求AN的长．
6．（23-24高三下·天津·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC中点，作EF⊥PB交PB于F．
(1)求证：PA//平面EBD；
(2)求DF与平面EBD所成角余弦值；
(3)求平面DEF与平面ABCD的夹角余弦值．
7．（2024·天津滨海新·二模）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，侧面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，BC=4，E为PD的中点，点F在BC上，且BF=14BC.
(1)求证：EF//平面PAB；
(2)若异面直线EF与AB所成角的大小为30°，求BE与平面PBC所成角的正弦值；
(3)若四棱锥P−ABCD的体积为23.求平面PDC与平面PAB夹角的正弦值.
1.（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=120°,AB=1,BC=4,PA=15，M，N分别为BC,PC的中点，PD⊥DC,PM⊥MD.
（1）证明：AB⊥PM；
（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.
2.（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l ⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
3.（2020·北京·高考真题）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中， E为BB1的中点．
（Ⅰ）求证：BC1//平面AD1E；
（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．
4.（2020·山东·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
5.（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB=BC=1，AD=3,点E在AD上，且PE⊥AD，PE=DE=2．
(1)若F为线段PE中点，求证：BF//平面PCD．
(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
6.（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD，AD=4,AB=BC=EF=2，ED=10,FB=23，M为AD的中点．
(1)证明：BM//平面CDE；
(2)求二面角F−BM−E的正弦值．
7.（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E，F满足AE=25AD，AF=12AB，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC=43．
(1)证明：EF⊥PD；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第6题,5分
线面关系有关命题的判断
2024年天津卷，第17题,15分
证明线面平行面面角的向量求法 点到平面距离的向量求
2023年天津卷，第17题,15分
证明线面平行广求点面距离 求二面角
2022年天津卷，第17题,15分
空间位置关系的向量证明线面角的向量求法，面面角的向量求法
2021年天津卷，第17题,15分
空间位置关系的向量证明 线面角的向量求法，面面角的向量求法
2020年天津卷，第17题,15分
空间向量垂直的坐标表示 线面角的向量求法 面面角的向量求法
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
长度相等而方向相反的向量
共线向量(或平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夹角余弦值
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0