第30讲 直线、平面平行与垂直的判定与性质（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为15分
【备考策略】1.理解、掌握空间集体中的线面关系。
2.能掌握线面平行与垂直的问题。
3.会解空间中的动点问题，利用线与面中的平行与垂直关系去参数问题。
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出几何体求解线与面的关系，以及动点问题。
知识讲解
知识点一.直线和平面平行
1.定义：直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥
2.判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
知识点二.两个平面平行
1.定义:没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥
2.判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
【解题方法总结】
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．
性质
性质
性质
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
1.证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
2.证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
3.证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
知识点三.直线与平面垂直
1.定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
知识点四.平面与平面垂直
1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
【解题方法总结】
线线线面面面
1.证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质；
⑦平行线垂直直线的传递性（）．
2.证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（）；
⑤面面垂直的性质（）．
3.证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．
性质
性质
性质
性质
性质
判定
判定
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
线⊥面
线⊥线
面⊥面
考点一、线面平行问题
1.（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)证明：BD1//平面AEC；
(2)若正方体棱长为2，求三棱锥D−AEC的体积．
2.（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，M,N分别是PD和BC的中点，平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=AB=AD=2.
(1)证明：MN//平面PAB；
(2)求三棱锥M−ABC的体积.
1.（2024·江西·模拟预测）如图所示，四边形BCDE为直角梯形，且BC//DE，ED⊥CD，BC=2，CD=3，ED=1．△ABE为等边三角形，平面ABE⊥平面BCDE．

(1)线段AC上是否存在一点G，使得DG//平面ABE，若存在，请说明G点的位置；若不存在，请说明理由；
(2)空间中有一动点Q，满足AQ⊥BE，且QB⋅QC=0．求点Q的轨迹长度．
2.（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=λCD，点E在棱PC上，PA //平面EBD.
(1)试确定点E的位置，并说明理由；
(2)是否存在实数λ，使三棱锥E−BPD体积为43，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由.
3.（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD,AD//BC, AD=DC=2，BC=1，∠BCD=60∘,A1D1=D1D=1．记平面A1ADD1与平面B1BCC1的交线为l，证明：l//BC；
4.（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC,A1C=A1B，侧面BB1C1C为矩形. 记平面A1BC1与平面ABC交线为l，证明：AC//l；
考点二、面面平行问题
1.（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=3，AB=2，四边形ABCD为菱形，∠ABC=π3，PA⊥平面ABCD，E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点. 证明：平面EFQ//平面PAB；
2.（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C为矩形，M，N分别为AC，A1C1的中点．求证：平面BMA1//平面B1NC；
1.（2025高三·全国·专题练习）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为AD,AB的中点，AB=2A1B1=4，侧面BB1C1C与底面ABCD所成角为45°.求证：BD1//平面A1EF；

2.（23-24高三上·河北承德·期中）如图，在四棱锥S−ABCD中，平面SBD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且E、F分别是SB、SD上靠近S的三等分点．
(1)求证：AC⊥SB；
(2)在SC上是否存在一点M，使平面MBD//平面AEF？若存在，求出SMMC的值；若不存在，请说明理由．
3.（2024高三·全国·专题练习）如图1，直角梯形ABCD中，AB=12CD=2,AD=2,AD⊥CD,AB//CD，将直角梯形ABCD绕AD旋转一周得到如图2的圆台，EF为圆台的母线，且CF=4,M是BC的中点．在线段CF上是否存在一点N，使MN//平面AEFD？说明理由；


考点三、平行中的动点问题
1.（2024·四川乐山·三模）在三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BB1上，满足VA−BCC1D=49VABC−A1B1C1，点M在棱A1C1上，且A1M=MC1，点N在直线BB1上，若MN//平面ADC1，则NBNB1=（ ）
A．2B．3C．4D．5
2.（2024·辽宁·模拟预测）已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长3的正方形，PA=3，PA⊥平面ABCD，M为线段PA的中点，若空间中存在平而α满足BD//α，MC⊂α，记平面α与直线PD，PB分别交于点E，F，则PE= ，四边形MECF的面积为 ．
1.（2024·西藏拉萨·二模）如图，正四棱锥P−ABCD的所有棱长都为2,E为PC的中点，M是底面ABCD内（包括边界）的动点，且EM ∥平面PAB，则EM长度的取值范围是 .
2.（2024·陕西榆林·三模）如图是一个半圆柱，DC,AB分别是上､下底面圆的直径，O为AB的中点，且AB=AD=2,E是半圆AB上任一点（不与A､B重合）.
(1)证明：平面DEA⊥平面CEB，并在图中画出平面DEA与平面CEB的交线（不用证明）；
(2)若点E满足DE=62EB，空间中一点P满足DP=2PB，求三棱锥D−EOP的体积.
考点四、线线、线面垂直问题
1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB//CD，且CD=6,AB=12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上（不同于A，B两点），连接OE并延长至点Q，使AQ//OB.

(1)证明：OD⊥平面PAQ；
(2)若BE＝2AE，求三棱锥P−ABQ 的体积．
2.（24-25高三上·山西大同·期末）如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且M,N分别为棱AB,PC的中点，平面CMN与平面PAD交于直线l.
(1)求证：MN ∥ l；
(2)若PD与底面ABCD所成角为α，当α满足什么条件时，MN⊥平面PCD.
1.（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别是棱BB1、DD1的中点．

(1)在底面A1B1C1D1内是否存在点M，满足AM⊥平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由；
(2)设平面CPQ交棱AA1于点T，平面CPTQ将四棱台ABCD−A1B1C1D1，分成上、下两部分，求上、下两部分的体积比．
2.（22-23高三上·贵州黔东南·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=AP，点F为线段PC的中点，过A，D，F三点的平面与PB交于点E.
(1)求证：PB⊥FD．
(2)求平面ADFE将四棱锥分成两部分的体积之比.
3.（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E是B1A上的点，且A1E⊥平面AB1C1.求证：BC⊥平面AA1B1B.
4.（2025高三·全国·专题练习）如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，△FBC是等边三角形，EF//AB，EF=12AB，平面FBC⊥平面ABCD．求证：EF⊥BF；
考点五、面面垂直问题
1.（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C为矩形，∠BAC=90°，AB=AC=4，AA1=8，A1在底面ABC的射影为BC的中点N，M为B1C1的中点.
(1)求证：平面A1MNA⊥平面A1BC；
(2)求三棱柱的体积和表面积.
2.（2022·河南安阳·模拟预测）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2,CC1=3，点D,E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2.

(1)求证：平面BDE⊥平面BCC1B1；
(2)求多面体A1B1C1−DBE的体积.
1.（2025高三·全国·专题练习）在三棱台ABC−A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，侧面A1ACC1是等腰梯形，O是AC的中点，B1O是两异面直线B1B和AC的公垂线，且AB=9A1B1=23，BB1=22．证明：侧面ABB1A1⊥平面B1AC；
2.（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面PBC，△PAC和△ABC均为等腰直角三角形，且PA=PC=2，PB=6.证明：平面ABC⊥平面PAC
3.（2025高三·全国·专题练习）如图，AB是圆的直径，平面PAC⊥面ACB，且AP⊥AC．求证：BC⊥平面PAC；
4.（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱台ABC−A1B1C1.中，AB⊥BC,BB1⊥AC，平面ABB1A1⊥平面ABC.求证：BB1⊥平面ABC；
考点六、垂直中的动点问题
1.（2024高三·全国·专题练习）已知二面角α−l−β是直二面角，A∈α, B∈β，设直线AB与平面α,β所成角分别为θ1,θ2，则（ ）
A． θ1+θ2=90∘B． θ1+θ2≥90∘
C．θ1+θ2≤90∘D． θ1+θ20,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2，过点F1的直线与C交于A,B两点，且AB⊥F1F2，现将平面AF1F2沿F1F2所在直线折起，点A到达点P处，使面PF1F2⊥面BF1F2，若cs∠PF2B=59，则双曲线C的离心率为 ．
4.（2024·黑龙江·三模）如图所示，△ABC中，AC⊥BC,AC=2,BC=4，E,F分别是AB,BC边上的点，EF//AC，将△BEF沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥P−ACFE，则四棱锥P−ACFE体积的最大值为 .

1．（2023·河北保定·一模）设α，β是两个不同的平面，则“α内有无数条直线与β平行”是“α//β”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点.
(1)求证：直线BD1//平面PAC；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDD1；
(3)求三棱锥D﹣PAC的体积.
3．（22-23高三上·广西玉林·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．
(1)求证：EF//平面PBC；
(2)求四面体P−DAB的体积．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2,AD=DC=1．N是B1C1的中点，M是DD1的中点．求证D1N//平面CB1M；

5．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE=DE=2．若F为线段PE中点，求证：BF//平面PCD．
6．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，PA=AB=2．
求证：BD⊥PC；
7．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知多面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，侧棱BB1⊥底面ABCD，且CC1=2AA1=4BB1=4DD1．证明：A1C⊥BD；
1．（2024·全国·模拟预测）如图，四棱锥A−BCDE是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥A−CDF是正四面体，G为BE的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．点A,B,C,F共面B．平面ABE//平面CDF
C．FG⊥CDD．FG⊥平面ACD
2．（2025高三·全国·专题练习）由平行六面体ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥B1−A1BC1后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点O，A1B=BC1．
(1)证明：D1O∥平面A1BC1；
(2)证明：平面D1DO⊥平面A1BC1.
3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=CC1,M,N,P分别是CC1,AB,BB1的中点．在线段BB1上是否存在一点Q，使AB1⊥平面A1MQ？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由．
4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6， BP,AP,BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.证明：EF//平面ADO；
5．（2025高三·全国·专题练习）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵ABC−A1B1C1中，已知AC=BC，且点M，N，P分别是AB，A1C1，BC边的中点．求证：C1P//平面MNC；
6．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面，AB=5，AA1=AC=3，BC=4，点P，D分别为AB，C1B的中点．
(1)求证：PD//平面AA1C1C；
(2)求证：BC⊥PD；
1．（2022·全国·高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则（ ）
A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF//平面A1ACD．平面B1EF//平面A1C1D
2．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°．

(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB=A1B,AA1=2，求四棱锥A1−BB1C1C的高．
3．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP,AP,BC的中点分别为D,E,O，点F在AC上，BF⊥AO．
(1)求证：EF//平面ADO；
(2)若∠POF=120°，求三棱锥P−ABC的体积．
4．（2022·全国·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．
(1)证明：EF//平面ABCD；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
5．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分别为A1B1，AC的中点．
(1)求证：MN∥平面BCC1B1；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：AB⊥MN；
条件②：BM=MN．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
6．（2022·全国·高考真题）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F−ABC的体积．
7.（·湖北·高考真题）如图，在三棱柱ABC−A'B'C'中，点E、F、H、K分别为AC'、CB'、A'B、B'C'的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B'中取一点作为P使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（ ）
A．KB．HC．GD．B'
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第6题,5分
线面关系有关命题的判断
2024年天津卷，第17题,15分
证明线面平行面面角的向量求法 点到平面距离的向量求
2023年天津卷，第17题,15分
证明线面平行广求点面距离 求二面角
2022年天津卷，第17题,15分
空间位置关系的向量证明线面角的向量求法，面面角的向量求法
2021年天津卷，第17题,15分
空间位置关系的向量证明 线面角的向量求法，面面角的向量求法
2020年天津卷，第17题,15分
空间向量垂直的坐标表示 线面角的向量求法 面面角的向量求法
文字语言
图形语言
符号语言
线∥线线∥面
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
面∥面线∥面
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
文字语言
图形语言
符号语言
线∥面线∥线
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理线∥面面∥面
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行
线面面∥面
如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行
∥
文字语言
图形语言
符号语言
面//面线//面
如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
面//面线面
如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面⇒线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a
平行与垂直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
_
平行与垂直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
垂直与平行的关系
垂直于同一直线的两个平面平行
_
线垂直于面的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
_
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a