第28讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握几何体的有关特征，掌握不同几何体的表面积与体积的计算公式。
2.能掌握不同几何体的展开图的特征。
3.具备数形空间思维，会计算空间几何体中的最短路径问题。
4.会解外接球，内切球与棱切球问题。
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出几何体，求解几何体的表面积。体积与球的相关问题。
知识讲解
知识点一.构成空间几何体的基本元素—点、线、面
1.空间中，点动成线，线动成面，面动成体．
2.空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．
知识点二.简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台
1.棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．
知识点三.简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球
1.圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2.圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
3.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4.球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
知识点四.组合体
由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
知识点五.表面积与体积计算公式
1.表面积公式
体积公式
知识点六.空间几何体的直观图
1.斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下：
（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系．
（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于O'x'，O'y'，使∠x'O'y'=45°（或135°），它们确定的平面表示水平平面．
（3）画出对应图形．在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．
（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去x'轴、y'轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．
注：直观图和平面图形的面积比为24．
2.平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．
考点一、空间几何体的结构特征
1.（·北京·高考真题）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（ ）
A．3个B．4个
C．5个D．6个
2.（2007·安徽·高考真题）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）.
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体.

1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）碳60（C）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（ ）.
A．12B．14C．18D．20
2.（2023高三上·广西·学业考试）如图、以矩形ABCD的边AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（ ）
A．圆锥B．圆台C．圆柱D．球
3.（2024·福建泉州·模拟预测）要使正方体ABCD−A1B1C1D1以直线CA1为轴，旋转n°后与其自身重合，则n的最小正值为 ．
4.（24-25高三·上海·随堂练习）连结正三棱柱的6个顶点，可以组成 个四面体．
考点二、空间几何体的表面积
1.（24-25高三上·安徽·开学考试）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（ ）
A．44πB．46πC．48πD．50π
2.（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AB=1，BC=3，DC=2.将直角梯形ABCD绕BC所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（ ）

A．26π+5πB．3π+5πC．11πD．63π+5π
1.（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA,PB,PC两两垂直，且母线长为3.则圆锥PO的侧面积为（ ）
A．2πB．26πC．62πD．6π
2.（2024·福建福州·模拟预测）已知圆锥SO的底面半径为1，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥SO截成上､下两部分，若截得小圆锥的体积为324π，则圆锥SO的侧面积为（ ）
A．4πB．2πC．2πD．π
3.（24-25高三上·河南·开学考试）已知圆锥的高与底面半径之和为3，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（ ）
A．25πB．25+4πC．45πD．41+5π
4.（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=BB1，AB⊥BC，点P在四边形AA1B1B内（含边界）运动，当C1P=2CC1时，点P的轨迹长度为π，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4B．10+42C．12+42D．16+42
考点三、空间几何体的体积
1.（2023·天津·高考真题）在三棱锥P−ABC中，点M,N分别在棱PC,PB上，且PM=13PC，PN=23PB，则三棱锥P−AMN和三棱锥P−ABC的体积之比为（ ）
A．19B．29C．13D．49
2.（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为 mm，升量器的高为
mm．
1.（2024·全国·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2r2−r1,3r2−r1，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
2.（2023·全国·高考真题）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA= ．
3.（2023·全国·高考真题）在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,A1B1=1,AA1=2，则该棱台的体积为 ．
4.（2023·全国·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
考点四、几何体的直观图
1.（2024·湖北·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中D'是B'C'的中点，且A'D'//y'轴， B'C'//x'轴， A'D'=B'C'=2，那么S△ABC=（ ）
A．2B．2C．22D．4
2.（2024·四川成都·模拟预测）如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与x'轴和y'轴平行），O'B'=2O'D'=6，O'C'=8，则△OAB的面积为（ ）

A．82B．122C．24D．48
1.（2022高三·全国·专题练习）下图中小正方形的边长为1，四边形ABCD为某图形的直观图，则该图形的面积为（ ）
A．7528B．7524C．7522D．752
2.（2022·全国·模拟预测）如图，在水平放置的平面α上画一个边长为2的等边三角形，在斜二测画法中线段AC的长为 .
3.（23-24高三上·贵州黔西·阶段练习）如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的平面图形OABC的直观图，其中O'A'=6,O'C'=3，则原图形OABC的面积为 ．
4.（2023·辽宁锦州·模拟预测）已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图O'A'B'C'如图所示，O'A'=3C'B'，C'E'⊥O'A'，SOABC=8，C'D'//y'轴，C'E'=22，D'为O'A'的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为 ．

考点五、几何体的展开图
1.（·广东·高考真题）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ）
A．1+4π4πB．1+2ππC．1+2π2πD．1+4π2π
2.（·北京·高考真题）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
1.（2022·全国·高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙=2，则V甲V乙=（ ）
A．5B．22C．10D．5104
2.（2024·陕西西安·模拟预测）如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（ ）

A．AB∥HGB．CG⊥BHC．CG⊥DHD．AC∥DG
3.（2022·江苏连云港·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（ ）
A．72π24B．73π24C．72π12D．73π12
4.（2024·全国·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为α的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为β的扇形，则当β−α的值最大时，β=（ ）
A．1B．2
C．π2−1D．2π2−1
考点六、最短路径问题
1.（24-25高三上·广东·开学考试）圆锥顶点A，底面半径为1，母线AB=4,AB的中点为M，一只蚂蚁从底面圆周上的点B绕圆锥侧面一周到达M的最短路线中，其中下坡路的长是（ ）
A．0B．255C．455D．5
2.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知某圆锥的轴截面是顶角为α的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为β的扇形，则当α−β最小时，β=（ ）
A．1B．2C．π2−1D．2π2−1
1.（2019高三·全国·专题练习）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为（ ）.

A．153B．3235π27C．1282π81D．833
2.（2024·辽宁·模拟预测）在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2,A1A=3,P为线段C1D1的中点，一质点从A点出发，沿长方体表面运动到达P点处，若沿质点A的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截面的面积为（ ）

A．3B．732C．1564D．36
3.（23-24高三上·山西大同·期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为O1，O2，母线AB=1（点A位于上底面），且BO2=2AO1，圆O2的周长为2π3，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（ ）
A．1B．3C．2D．5
4.（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=AC=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是棱BC上的点，且CP=2PB，则由P沿棱柱侧面到M的最短路线长为 .
考点七、球相关问题
1.（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．100πB．128πC．144πD．192π
2.（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．18,814B．274,814C．274,643D．[18,27]
1.（2022·全国·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．13B．12C．33D．22
2.（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．3πB．4πC．9πD．12π
3.（2021·全国·高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O−ABC的体积为（ ）
A．212B．312C．24D．34
4.（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1−csα)（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
1．（23-24高三下·天津南开·阶段练习）三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm，外径长3cm，筒高4cm，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）
A．27−9π4cm3B．27−7π4cm3C．27+π4cm3D．27+3π4cm3
2．（2024·天津·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的体积为36π，点E为棱AB的中点，则三棱锥C1−AED的体积为（ ）．
A．23B．23C．423D．163
3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，O为四边形ACC1A1对角线的交点，设三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V1，四棱锥O−BCC1B1的体积为V2，则V2:V1=（ ）
A．1:3B．1:4C．1:6D．2:3
4．（2024·天津滨海新·二模）如图所示，这是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱容球定理.圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题.我们来重温这个伟大发现，求圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体积与球体积之比（ ）
A．32，65B．54，54C．32，32D．32，76
5．（2023·天津河北·一模）一个体积为43π的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的体积为（ ）
A．18B．27C．36D．54
6．（2024·四川宜宾·二模）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E､F分别为棱PA和PB中点，则四棱锥P−CDEF和四棱锥P−ABCD的体积之比为（ ）
A．25B．37C．38D．49
1．（2024·天津·三模）已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且∠DAB=120°．若M，N分别是侧棱CC1，BB1上的点，且MC=2，NB=1，则四棱锥A−BCMN的体积为（ ）
A．3B．2C．33D．6
2．（23-24高三下·天津·阶段练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，点P是面A1B1C1D1内一点，M，N分别是棱DC，AD上的点则三棱锥B−MNP的体积最大值为（ ）
A．43B．1C．8+239D．173
3．（2024·天津武清·模拟预测）四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA⊥AB,PA⊥AD,PA=2,AB=1，动点M在线段PC上，则下列结论正确的是（ ）
A．四棱锥P−ABCD的体积为13
B．四棱锥P−ABCD的表面积为3+25
C．在△PAC中，当AM⊥PC时，VM−ABCD=29
D．四棱锥P−ABCD的外接球表面积为5π
4．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知AB，CD分别是圆台上、下底面圆的直径，且AB⊥CD，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A−BCD的体积为（ ）
A．283B．323C．14D．18
5．（2024·天津·二模）天津包子是一道古老的传统面食小吃，是经济实惠的大众化食品，在中国北方，在全国，乃至世界许多国家都享有极高的声誉.某天津包子铺商家为了将天津包子销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，决定走少而精的售卖方式，争取让天津包子走上高端路线，定制了如图所示由底面圆半径为4cm的圆柱体和球缺（球的一部分）组成的单独包装盒，球缺的体积V=π3R−ℎℎ23（R为球缺所在球的半径，ℎ为球缺的高）.若ℎ=2cm，球心与圆柱下底面圆心重合，则包装盒的体积为（ ）cm3
A．198π3B．196π3C．172π3D．173π3
6．（23-24高三下·天津·阶段练习）如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90∘,AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，DE=2，平面EDCF⊥平面ABCD.
(1)求证：DF//平面ABE；
(2)求平面ABE与平面BEF的夹角的余弦值；
(3)求三棱锥F−ABE的体积.
1.（2023·全国·高考真题）已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,∠PCA=45°，则△PBC的面积为（ ）
A．22B．32C．42D．62
2.（2024·天津·高考真题）一个五面体ABC−DEF．已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1．并已知AD=1，BE=2，CF=3．则该五面体的体积为（ ）
A．36B．334+12C．32D．334−12
3.（2024·全国·高考真题）已知正三棱台ABC−A1B1C1的体积为523，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．12B．1C．2D．3
4.（2024·广东江苏·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（ ）
A．23πB．33πC．63πD．93π
5.（2023·全国·高考真题）在三棱锥P−ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=6，则该棱锥的体积为（ ）
A．1B．3C．2D．3
6.（2023·全国·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为（ ）
A．πB．6πC．3πD．36π
7.（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥P−ABCD,O为底面ABCD的中心．
(1)若AP=5,AD=32，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若AP=AD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．
8.（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP,AP,BC的中点分别为D,E,O，点F在AC上，BF⊥AO．
(1)求证：EF//平面ADO；
(2)若∠POF=120°，求三棱锥P−ABC的体积．
9.（2020·全国·高考真题）已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A．3B．32C．1D．32
10.（2020·天津·高考真题）若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．12πB．24πC．36πD．144π
11.（2020·全国·高考真题）已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为（ ）
A．64πB．48πC．36πD．32π
12.（2023·全国·高考真题）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA= ．
13.（2023·全国·高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 ．
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第9题,5分
柱体体积的计算
2023年天津卷，第8题,5分
锥体体积的有关计算 证明线面垂直
2022年天津卷，第8题,5分
柱体体积的有关计算 求组合体的体积
2021年天津卷，第6题,5分
锥体体积的有关计算 球的体积的有关计算
2020年天津卷，第5题,5分
球的表面积的有关计算
表面积
柱体
为直截面周长
锥体
台体
球
体积
柱体
锥体
台体
球