第19讲 解三角形（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为14分
【备考策略】1.理解、掌握正余弦定理，能够运用正余弦定理解三角形
2.能掌握正余弦定理与三角形的面积周长问题
3.具备数形结合的思想意识，会灵活运用三角形的知识点解决中线，高线，角平分线问题
4.会解三角形的最值与取值范围问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出三角形，解决三角形中的周长与面积，同时解三角形会与两角和差二倍角进行结合，求解凑求值问题。
知识讲解
知识点一．正弦定理、余弦定理
1.定理内容：
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
知识点二.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
知识点三．测量中的有关几个术语
知识点四．常用结论
1．三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sinC.(2)cs(A＋B)＝－csC.(3)sineq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2).(4)cseq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
4．三角形中的大角对大边
在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.
考点一、正弦定理解三角形
1.（2024·北京东城·二模）在△ABC中，A=π4，C=7π12，b=2，则a=（ ）
A．1B．2C．3D．2
【答案】D
【分析】由题意可得：B=π6，结合正弦定理运算求解.
【详解】由题意可得：B=π−A−C=π6，
由正弦定理asinA=bsinB可得a=bsinAsinB=2×2212=2.
故选：D.
2.（2024·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，已知∠B=30∘，c=2，则“b=2”是“∠C=45∘”成立的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据正弦定理以及“大边对大角”即可判断出结果.
【详解】由正弦定理得bsinB=csinC，即212=2sinC，
∴sinC=22，又因为c>b，
∴C=45∘或C=135∘；
则“b=2”是“∠C=45∘”成立的必要不充分条件.
故选：B.
1.（2024·河北沧州·一模）在△ABC中，AC=1，tanB=tanC=33，则（ ）
A．A=π3B．cs2B=32C．BC=32D．△ABC的面积为34
【答案】D
【分析】通过条件可得B,C，进而可得A，cs2B，利用正弦定理求BC，利用面积公式求面积.
【详解】因为tanB=tanC=33，且在△ABC中，
可得B=C=π6，则A=π−B−C=2π3，A错误；
cs2B=csπ3=12，B错误；
由正弦定理BCsinA=ACsinB，则BC=ACsinAsinB=1×3212=3，C错误；
S△ABC=12×BC×AC×sinC=12×3×1×12=34.
故选：D.
2.（2024·江西赣州·一模）在△ABC中，AB=7,AC=2,C=120∘，则sinA=（ ）
A．714B．2114C．5714D．32114
【答案】B
【分析】由已知利用余弦定理可求BC的值，根据正弦定理可求sinA的值．
【详解】∵AB=7,AC=2,C=120∘，
∴由余弦定理AB2=BC2+AC2−2BC⋅ACcsC可得：BC2+2BC−3=0,
∴解得：BC=1，或−3（舍去），
∴由正弦定理可得：sinA=BC⋅sinCAB=2114．
故选:B
3.（2024·广东江门·一模）在△ABC中，B=30∘,b=2，c=22，则角A的大小为（ ）
A．45∘B．135∘或45∘C．15∘D．105∘或15∘
【答案】D
【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案.
【详解】由题意知△ABC中，B=30∘,b=2，c=22，
故bsinB=csinC，即sinC=csinBb=22×sin30∘2=22，
由于c>b，故C>B=30∘，则C=45∘或135∘，
故A的大小为180∘−30∘−45∘=105∘或180∘−30∘−135∘=15∘，
故选：D
4.（2024·浙江金华·三模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c.若a=7，b=2，A=60°，则c为（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
【答案】C
【分析】根据余弦定理直接求解即可.
【详解】由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc,
即22+c2−722×2c=12，即c2−2c−3=0，解得c=3或c=−1（舍）.
故选：C.
5.（2024·云南昆明·三模）已知△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，则△ABC的面积等于（ ）
A．3B．11C．5D．25
【答案】B
【分析】由余弦定理及同角三角函数的平方关系得出sinB，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】由余弦定理得，csB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=32+42−522×3×4=56，因为B为三角形内角，
则sinB=1−cs2B=116，
所以S△ABC=12AB⋅BC⋅sinB=12×3×4×116=11，
故选：B．
考点二、正余弦定理的边角互化
1.（2024·江西九江·三模）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知2c−a=2bcsA，则B=（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【答案】B
【分析】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决.
【详解】因为2c−a=2bcsA，
由正弦定理，2sinC−sinA=2sinBcsA,
因为A+B+C=π，∴2sinA+B−2sinBcsA=sinA，
展开化简2sinAcsB=sinA.∵sinA>0,∴csB=12，
又B∈0,π,∴B=π3.
故选:B.
2.（2024·陕西安康·模拟预测）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB+π6=bsinA，若a=3，c=2，则b=（ ）
A．1B．2C．23D．4
【答案】A
【分析】利用正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得B=π6，结合余弦定理计算即可求解.
【详解】acs(B+π6)=bsinA，
由正弦定理得sinAcs(B+π6)=sinBsinA，
又A∈(0,π),sinA>0，所以cs(B+π6)=sinB，
即32csB−12sinB=sinB，
得csB=3sinB，即tanB=33，
又00,∴4R2+1=4RsinC，
∴4R2−4RsinC+1=0，∵R>0，
∴Δ=16sin2C−4×4×1≥0，即sinC≥1，
∵sinC≤1, ∴sinC=1, ∴C=90∘，
∴Δ=0，∴2R=1，∴c=2RsinC=1，
∴a2+b2=1．
故答案为：1．
考点三、三角形的形状
1.（22-23高三上·河南·阶段练习）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是114,110,15，则该三角形（ ）
A．是锐角三角形B．是直角三角形C．是钝角三角形D．不存在
【答案】C
【分析】根据三角形面积公式，得到a,b,c的关系，赋值得到a,b,c的值，再根据余弦定理判断三角形的形状.
【详解】设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且a,b,c边上的高分别为114,110,15，则12a⋅114=12b⋅110=12c⋅15，令a=14，则b=10,c=5，所以csA=100+25−1962×10×5a，所以该三角形是钝角三角形.
故选：C
2.（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，若acsA=bcsB，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理可得边的关系，故可得正确的选项.
【详解】因为acsA=bcsB，故a×b2+c2−a22bc=b×a2+c2−b22ac，
整理得到a2−b2c2−a2−b2a2+b2=0，
故a2−b2c2−a2−b2=0，故a2=b2或c2=a2+b2，
即a=b或c2=a2+b2，故△ABC的形状为等腰或直角三角形，
故选：D.
1.（2024·陕西安康·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，以AC为直径的圆的面积为2π，若S△ABC=23，则△ABC的形状为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．非等腰三角形D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据题意可得b=22，a+c=42，利用余弦定理整理得ac=121+csB，结合面积关系可得B=π3，进而可得a=c=22，即可得结果.
【详解】因为以AC为直径的圆的面积为2π，可知b=AC=22，
又因为a，b，c成等差数列，则2b=a+c=42，
由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=a+c2−2ac−b22ac，
即csB=32−2ac−82ac，整理得ac=121+csB，
且S△ABC=12acsinB=12×121+csB×sinB=23，整理得3sinB=1+csB，
联立方程3sinB=1+csBsin2B+cs2B=1，解得sinB=32csB=12或sinB=0csB=−1，
且B∈0,π，可得sinB=32csB=12，即B=π3，
可得a+c=42ac=8，解得a=c=22，
所以△ABC的形状为等边三角形.
故选：D.
2.（2024·陕西安康·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，以边AC为直径的圆的面积为4π，若△ABC的面积不小于43，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰非等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据题意可得b2=ac，b=4，由S△ABC≥43，得sinB≥32即60≤B≤120，又由余弦定理结合基本不等式得0