第18讲 三角恒等变换（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为14分
【备考策略】1.理解、掌握三角函数的两角和差公式，能够根据知识点灵活选择公式
2.能掌握凑角求值的解题技巧
3.具备数形结合的思想意识，会借助正弦型函数的图像，解决三角函数的求值与化简问题
4.会解三角函数的含参问题。
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给与正余弦定理结合，在解三角形中灵活运用两角和差。
知识讲解
知识点.两角和与差二倍角公式
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ
sin(α－β)＝sinαcs β－csαsinβ sin(α＋β)＝sinαcs β＋csαsinβ
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
2．二倍角公式
sin 2α＝2sinαcsα；cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
辅助角公式：
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
4．三角函数公式的关系
5.升幂与降幂公式
（1）降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
（2）升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α.
（3）公式的常用变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
考点一、两角和与差的正余弦、正切与二倍角公式
1.（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知sinαsinα+π6=csαsinπ3−α，则tan2α+π4=（ ）
A．2−3B．−2−3C．2+3D．−2+3
【答案】B
【分析】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得tan2α=3，进一步结合两角和的正切公式即可得解.
【详解】由题意32sin2α+12sinαcsα=32cs2α−12sinαcsα，即32cs2α=12sin2α，
即tan2α=3，所以tan2α+π4=tan2α+tanπ41−tan2αtanπ4=3+11−3=3+12−2=−2−3.
故选：B.
2.（2024·浙江·三模）若sinα−β+csα−β=22sinα−π4sinβ，则（ ）
A．tanα−β=−1B．tanα−β=1
C．tanα+β=−1D．tanα+β=1
【答案】C
【分析】利用和差角公式展开，即可得到sinαcsβ+csαcsβ=sinαsinβ−csαsinβ，再两边同除csαcsβ，最后结合两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为sinα−β+csα−β=22sinα−π4sinβ，
所以sinαcsβ−csαsinβ+csαcsβ+sinαsinβ =22sinαcsπ4−csαsinπ4sinβ，
即sinαcsβ−csαsinβ+csαcsβ+sinαsinβ=2sinαsinβ−2csαsinβ，
即sinαcsβ+csαcsβ=sinαsinβ−csαsinβ，
两边同除csαcsβ可得tanα+1=tanαtanβ−tanβ，
所以tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−1.
故选：C
1.（2023·全国·高考真题）已知α为锐角，csα=1+54，则sinα2=（ ）．
A．3−58B．−1+58C．3−54D．−1+54
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为csα=1−2sin2α2=1+54，而α为锐角，
解得：sinα2= 3−58=5−1216=5−14．
故选：D．
2.（2024·青海海西·模拟预测）已知csα=−33，则cs2α的值为（ ）
A．13B．23C．−15D．−13
【答案】D
【分析】根据题意，结合余弦的倍角公式，准确计算，即可求解.
【详解】根据二倍角的余弦公式可得cs2α=2cs2α−1=2×−332−1=−13．
故选：D．
3.（2024·全国·高考真题）已知cs(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cs(α−β)=（ ）
A．−3mB．−m3C．m3D．3m
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求csαcsβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求csα−β的值.
【详解】因为csα+β=m，所以csαcsβ−sinαsinβ=m，
而tanαtanβ=2，所以sinαsinβ=2csαcsβ，
故csαcsβ−2csαcsβ=m即csαcsβ=−m，
从而sinαsinβ=−2m，故csα−β=−3m，
故选：A.
4.（2024·江西九江·三模）若2sinα+π3=csα−π3，则tanα−π6=（ ）
A．−4−3B．−4+3C．4−3D．4+3
【答案】C
【分析】设β=α−π6，则原等式可化为2sinβ+π2=csβ−π6，化简后求出tanβ即可.
【详解】令β=α−π6，则α=β+π6，
所以由2sinα+π3=csα−π3，
得2sinβ+π2=csβ−π6，
即2csβ=32csβ+12sinβ，
即sinβ=4−3csβ，得tanβ=4−3，
所以tanα−π6=tanβ=4−3，
故选：C.
考点二、化简求值
1.（2024·安徽六安·模拟预测）2cs65°cs15°tan15°cs10°+sin10°的值为（ ）
A．2+32B．12C．2−32D．32
【答案】A
【分析】根据同角的商数关系、两角和的正弦公式、二倍角公式和诱导公式计算化简即可求解.
【详解】2cs65°cs15°tan15°cs10°+sin10°=2cs65°cs215°sin15°cs10°+sin10°cs15°=sin25°(1+cs30°)sin25°=2+32.
故选：A
2.（2024·陕西安康·模拟预测）若sinα−20∘=sin20∘tan20∘−3，则sin2α+50∘=（ ）
A．18B．−18C．−78D．78
【答案】D
【分析】根据三角函数恒等变换化简已知可得sinα−20∘=−14，再利用诱导公式和二倍角公式求值.
【详解】根据题意，sinα−20∘=sin20∘tan20∘−3=sin20°cs20°sin20°−3cs20°
=sin20°cs20°212sin20°−32cs20°=sin20°cs20°2sin−40°=sin20°cs20°−2sin40°=12sin40°−2sin40°=−14，
而sin2α+50∘=sin2α−40∘+90∘=cs2α−20∘
=1−2sin2α−20∘=1−2×−142=78.
故选：D
1.（2024·全国·模拟预测）sin80°+cs50°sin25°−62tan25°=（ ）
A．62B．52C．32D．22
【答案】A
【分析】切化弦后通分，根据两角和差的正余弦公式求解即可.
【详解】sin80°+cs50°sin25°−62tan25° =sin(60°+20°)+cs(30°+20°)sin25°−6cs25°2sin25°
=sin60°cs20°+cs60°sin20°+cs30°cs20°−sin30°sin20°sin25°−6cs25°2sin25°
=3cs20°+sin20°+3cs20°−sin20°2sin25°−6cs25°2sin25° =3cs20°sin25°−6cs25°2sin25°
=3cs(45°−25°)sin25°−6cs25°2sin25° =3cs45°cs25°+sin45°sin25°sin25°−6cs25°2sin25°
=6cs25°+6sin25°2sin25°−6cs25°2sin25°=62.
故选：A.
2.（2024·山东泰安·模拟预测）若1+tan（θ−π4）1−tan（θ−π4）=12 ， 则sin2θ的值为（ ）
A．−35B．35C．−45D．45
【答案】D
【分析】根据两角和的正切公式化简可得tanθ，再由二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】由1+tan（θ−π4）1−tan（θ−π4）=12 ，得tanπ4+tan(θ−π4)1−tanπ4tan(θ−π4)=12，
所以tan(π4+θ−π4)=12，即tanθ=12，
所以sin2θ=2sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tanθ1+tan2θ=45．
故选：D．
3.（2024·广东·二模）tan7.5°−tan82.5°+2tan15°=（ ）
A．−2B．−4C．−23D．−43
【答案】D
【分析】利用切化弦的思想，结合诱导公式及二倍角的正余弦公式计算得解.
【详解】tan7.5°−tan82.5°+2tan15°=sin7.5°cs7.5°−sin82.5°cs82.5°+2tan15°
=sin7.5°cs7.5°−cs7.5°sin7.5°+2tan15°=sin27.5°−cs27.5°sin7.5°cs7.5°+2tan15°
=−cs15°12sin15°+2sin15°cs15°=2(sin215°−cs215°)sin15°cs15°=−4cs30°sin30°=−43.
故选：D
4.（2024·河北承德·二模）已知tanx=13，则sinxcs3xcs2x+sinxcs2xcsx= .
【答案】109/119
【分析】利用三角恒等变换化简算式得sinxcs3xcs2x+sinxcs2xcsx=tan3x−tanx，已知tanx=13，由正切的倍角公式求出tan3x即可求得结果.
【详解】sinxcs3xcs2x=sin3x−2xcs3xcs2x=sin3xcs2x−cs3xsin2xcs3xcs2x=tan3x−tan2x，sinxcs2xcsx=sin2x−xcs2xcsx=sin2xcsx−cs2xsinxcs2xcsx=tan2x−tanx，
所以sinxcs3xcs2x+sinxcs2xcsx=tan3x−tanx，
而tan3x=tan2x+x=tan2x+tanx1−tan2xtanx=2tanx1−tan2x+tanx1−2tan2x1−tan2x=3tanx−tan3x1−3tan2x=139，
因此原式=139−13=109.
故答案为：109.
5.（2024·河北邯郸·二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正边边形，设∠CAD=α，则csα+cs2α+cs3α+cs4α= ，csαcs2αcs3αcs4α= ．

【答案】 0 116/0.0625
【分析】由正五角星的性质，求得∠CAD=α=36∘，进而根据诱导公式及二倍角公式计算即可.
【详解】正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形,五个3角形各自角度之和180∘
正五边形的内角和180∘×5−2=180∘×3=540∘；每个角为540∘5=108∘，
三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为180∘−108∘=72∘，
三角形内角和为180∘，那么三角形顶角，即五角星尖角180∘−72∘×2=36∘，
即∠CAD=α=36∘.
csα+cs2α+cs3α+cs4α=cs36∘+cs72∘+cs108∘+cs144∘
=cs36∘+cs72∘+cs180∘−72∘+cs180∘−36∘
=cs36∘+cs72∘−cs72∘−cs36∘=0;
csαcs2αcs3αcs4α=cs36∘cs72∘cs108∘cs144∘=cs36∘cs72∘2
因为cs36°⋅cs72° =2sin36°⋅cs36°⋅cs72°2sin36°=sin72°⋅cs72°2sin36°=sin144°4sin36°=14,
所以csαcs2αcs3αcs4α=116.
故答案为：0；116.
考点三、凑角求值
1.（2024·辽宁·模拟预测）已知sinα+π6=14，则sin2α+5π6= .
【答案】78/0.875
【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式可求得答案．
【详解】因为sinα+π6=14，则sin2α+5π6=sin2α+π3+π2=cs2α+π3=1−2sin2α+π6=1−18=78.
故答案为：78.
2.（23-24高三上·天津宁河·期末）已知csπ12−θ=13，则sin2π3−2θ= ．
【答案】−79
【分析】利用诱导公式及二倍角公式计算可得.
【详解】因为csπ12−θ=13，
所以sin2π3−2θ=sinπ2+π6−2θ=csπ6−2θ
=cs2π12−θ=2cs2π12−θ−1=2×132−1=−79.
故答案为：−79
1.（2024·吉林长春·模拟预测）已知cs2α=−55，sinα+β=−1010，α∈0,π2，β∈−π2,0，则α−β=（ ）
A．π4B．3π4C．5π4D．π4或3π4
【答案】B
【分析】求出2α、α+β的范围，利用平方关系求出sin2α、csα+β，再由α−β=2α−α+β求出csα−β，结合α−β的范围可得答案.
【详解】因为α∈0,π2，所以2α∈0,π，
所以sin2α=1−cs22α=1−−552=255，
因为α∈0,π2，β∈−π2,0，所以α+β=−π2,π2，
所以csα+β=1−sin2α+β=1−−10102=31010，
又由α−β=2α−α+β知
csα−β=cs2α−α+β=cs2αcsα+β+sin2αsinα+β
=−55×31010+255×−1010=−22
又因为α−β∈0,π，所以α−β=3π4.
故选：B.
2.（2024·山西·三模）若sin2α=33,sinβ−α=66，且α∈π4,π,β∈π,3π2，则csα+β=（ ）
A．5+26B．306C．63D．25−26
【答案】D
【分析】根据sin2α=33结合α的范围分析可得α∈π4,π2，cs2α=−63，再根据sinβ−α=66结合β的范围分析可得csβ−α=−306，由α+β=2α+β−α结合两角和差公式分析求解.
【详解】因为α∈π4,π，则2α∈π2,2π，且sin2α=33>0，
则2α∈π2,π，可得α∈π4,π2，cs2α=−1−sin22α=−63，
又因为β∈π,3π2，则β−α∈π2,5π4，且sinβ−α=66>0，
可得β−α∈π2,π，csβ−α=−1−sin2β−α=−306，
所以csα+β=cs2α+β−α =cs2αcsβ−α−sin2αsinβ−α
=−63×−306−33×66=25−26.
故选：D.
3.（2024高三·全国·专题练习）已知tanα−β=12,tanβ=−17,且α,β∈(0,π),则2α−β=（ ）
A．−3π4B．π4C．3π4D．−π4
【答案】A
【分析】利用二倍角的正切公式求出tan2α−β,再根据tan2α−β=tan2α−β+β结合两角和的正切公式求得tan2α−β,根据tanα=tanα−β+β求出tanα,从而可得α,β的范围,即可得出2α−β的范围,即可得解.
【详解】因为tanα−β=12,
所以tan2α−β=2tanα−β1−tan2α−β=43,
故tan2α−β=tan2α−β+β=tan2α−β+tanβ1−tan2α−β⋅tanβ=1,
由tanβ=−17,所以β∈π2,π,
又tanα=tanα−β+β=12−171−12×−17=13,
所以α∈0,π4,
故2α−β∈−π,0,
所以2α−β=−3π4.
故选：A.
4.（2024·山东·模拟预测）已知csα−π3−csα=45，则sin2α+π6=（ ）
A．725B．−725C．2425D．−2425
【答案】B
【分析】先利用两角差的余弦公式处理条件，结合两角差的正弦公式，可得csα+π3，再利用二倍角公式可得cs2α+2π3，再结合诱导公式，可求sin2α+π6.
【详解】由csα−π3−csα=45 ⇒ csαcsπ3+sinαsinπ3−csα=45 ⇒ csαcsπ3−sinαsinπ3=−45 ⇒ csα+π3=−45，
所以cs2α+2π3=2cs2α+π3−1=725，
所以sin2α+π6=csπ2−2α+π6=csπ3−2α =−cs2α+2π3 =−725.
故选：B
5.（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知csπ5−α=13，则sin11π10+2α=（ ）
A．79B．−79C．429D．−429
【答案】A
【分析】令π5−α=t，故cst=13，可得sin11π10+2α=−cs2t，进而可求值.
【详解】令π5−α=t，则α=π5−t，故cst=13，
sin11π10+2α=sin11π10+2π5−t=sin3π2−2t=−cs2t=1−2cs2t=79．
故选：A.
考点四、辅助角公式
1.（23-24高三下·云南·阶段练习）已知函数fx=2sinx+csx在x0处取得最大值，则csx0=（ ）
A．255B．−255C．55D．−55
【答案】C
【分析】借助辅助角公式，结合正弦函数的性质求解．
【详解】f(x)=2sinx+csx=5sin(x+φ)，其中csφ=255，sinφ=55，
又当x=x0时，f(x) 取得最大值，所以x0+φ=π2+2kπ,k∈Z，即x0=π2+2kπ−φ,k∈Z，
所以csx0=csπ2+2kπ−φ=csπ2−φ =sinφ=55，
故选：C．
2.（2024·陕西铜川·三模）已知函数fx=sin2x−cs2x，则下列说法中不正确的是（ ）
A．fx的最小正周期为π
B．fx的最大值为2
C．fx在区间−π4,π4上单调递增
D．fx−π8=f−x−π8
【答案】C
【分析】首先化解函数的解析式，再根据函数的性质判断ABC，求fx−π8，判断函数是否是偶函数，即可判断D.
【详解】依题意fx=2sin2x−π4，则函数fx的最大值为2，最小值正周期为π，从而可排除A,B选项.
∵x∈−π4,π4，2x−π4∈−3π4,π4，根据三角函数的性质可知，
当2x−π4∈−3π4,−π2，即x∈−π4,−π8时函数单调递减，
当2x−π4∈−π2,π4，即x∈−π8,π4时函数单调递增，
故fx在区间−π4,π4上不可能单调递增，应选C项.
fx−π8=2sin2x−π8−π4=2sin2x−π2=−2cs2x为偶函数，
从而fx−π8=f−x−π8，从而可排除D选项.
故选：C
1.（2024·湖北·二模）函数fx=3csx−4sinx，当fx取得最大值时，sinx=（ ）
A．45B．−45C．35D．−35
【答案】B
【分析】由辅助角公式、诱导公式直接运算即可求解.
【详解】fx=3csx−4sinx=535csx−45sinx=5csx+φ，
其中csφ=35,sinφ=45，
而fx=3csx−4sinx=5csx+φ≤5，
等号成立当且仅当x+φ=2kπk∈Z，此时sinx=sin−φ=−sinφ=−45.
故选：B.
2.（2024·四川成都·模拟预测）函数f(x)=asinx+csx的图象关于直线x=−π6对称，则a=
【答案】−33
【分析】利用辅助角公式化简，由函数的最小正周期T=2π，x=−π6为对称轴，得到函数的一个对称中心为π3,0，代入求解，得到答案.
【详解】∵f(x)=asinx+csx=a2+1sinx+φ，
显然函数的最小正周期T=2π，
又x=−π6为对称轴，
设fx在x=−π6右侧附近的一个对称中心为m,0，
故4m−−π6=2π，解得m=π3，故fx的一个对称中心为π3,0，
∴fπ3=32a+12=0，解得a=−33.
故答案为：−33
3.（2024·河南新乡·三模）已知函数f(x)=sinωx−3csωx(ω>0)，若存在x1∈[0,π]，使得f(x1)=−2，则ω的最小值为 .
【答案】116/156
【分析】利用辅助角公式化简函数f(x)，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.
【详解】函数f(x)=2sin(ωx−π3)，由x1∈[0,π]，得ωx1−π3∈[−π3,πω−π3]，
由存在x1∈[0,π]，使得f(x1)=−2，得πω−π3≥3π2，解得ω≥116，
所以ω的最小值为116.
故答案为：116
4.（2024·全国·模拟预测）已知fx=4sinxsinx−3csx+1相邻的两个零点分别为x1,x2，则csx1−x2= .
【答案】±34/±0.75
【分析】解法一：利用三角恒等变形，化归到一般形式fx=3−4sin2x+π6，易知x1−x2即有可能是锐角，也有可能是钝角，再利用函数零点转化为已知角的特值问题，即sin2x1+π6=sin2x2+π6=34，再去求cs2x1+π6=74，cs2x2+π6=−74，然后利用两角差公式求cs2x1−x2=18，再利用降倍升次的二倍角公式求得cs2x1−x2=916，最后即可求出结果.
解法二：根据正弦型函数性质知这两个零点一定关于直线x=π6+kπ2对称，也就是有一个相等关系x1+x2=π3+kπ，这样可以利用这个关系消去其中一个变量x2，就可以化简csx1−x2=±cs2x1−π3，再利用诱导公式即可转化到已知零点的函数值，即求出结果.
【详解】解法一：因为 fx=4sinxsinx−3csx+1=4sin2x−43sinxcsx+1
=2×1−cs2x−23sin2x+1=3−4sin2x+π6，
由f(x)相邻的两个零点分别为x1,x2，不妨设sin2x1+π6=sin2x2+π6=34，
由于正弦值为34的相邻两个角一定是第一象限角和第二象限角，
所以cs2x1+π6=74，cs2x2+π6=−74，
则cs2x1−x2=cs2x1+π6−2x2+π6
=cs2x1+π6cs2x2+π6+sin2x1+π6sin2x2+π6=74×−74+34×34=18.
所以cs2x1−x2=1+cs2x1−x22=1+182=916,
又因为f(x)的周期为π，所以两个零点x1,x2有可能落在半个周期之内，也有可能落在半个周期之外且一个周期之内，即x1−x2∈0,π，
又不妨设x1