第20讲 平面向量的概念及线性运算（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握向量的概念，能够熟练使用三角形法则与平行四边形法则
2.能掌握向量共线的性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助建系解决线性表示与共线的问题
4.会利用共线定理解决含参问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出图形，运用三角形的加减法法则进行线性表示，以及求参。

知识讲解
知识点一．向量的有关概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2.零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
3.单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量共线．
5.相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6.相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意] 1.向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
2.任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
知识点二．向量的线性运算
知识点三．向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
知识点四.向量的常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(—→))＋eq \(A2A3,\s\up6(—→))＋eq \(A3A4,\s\up6(—→))＋…＋eq \(An－1An,\s\up6(———→))＝eq \(A1An,\s\up6(—→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
考点一、平面向量的概念
1.（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若a=b，则a=bB．若a>b，则a>b
C．若a=b，则a//bD．若a//b,b//c，则 a//c
【答案】C
【分析】根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A：若a=b，则a,b只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；
对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；
对于C：若a=b，则a,b方向相同，C 正确；
对于D：若a//b,b//c，如果b为零向量，则不能推出a,c平行，D错误.
故选：C.
2.（22-23高三上·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若a，b都为非零向量，则使aa+bb=0成立的条件是a与b反向共线
D．若a=b，b=c，则a=c
【答案】A
【分析】AB选项，由零向量的定义进行判断；C选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到C正确；D选项，根据向量的性质得到D正确.
【详解】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C选项，因为aa与bb都是单位向量，所以只有当aa与bb是相反向量，即a与b是反向共线时aa+bb=0才成立，故C正确；
D选项，由向量相等的定义知D正确.
故选：A
1.（2018高三·全国·专题练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa=0 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线.其中错误命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】运用向量定义、模、共线向量的定义及向量的数乘运算即可判断.
【详解】①错误. 两向量共线要看其方向而不是起点与终点.
②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.
③错误.因为λa=0，所以λ=0或a=0.
④错误.当λ＝μ＝0时，λa=μb，此时，a与b可以是任意向量.
所以错误命题有3个.
故选：C.
2.（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
3.（2022·江苏·三模）已知向量，与共线且方向相反的单位向量 .
【答案】
【分析】利用与共线且方向相反的单位向量为，即可得出答案.
【详解】，，所以与共线且方向相反的单位向量是：
.
故答案为：
考点二、平面向量线性运算
1.（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）是八卦模型图，将其简化成图（2）的正八边形ABCDEFGH，若AB=1，则AB−DB=（ ）

A．2B．3+1
C．3D．2+1
【答案】D
【分析】根据题意，利用余弦定理，计算出OA的值，根据向量运算，把AB−DB化成AD，利用余弦定理计算其长度得答案.
【详解】

在△AOB中，设OA=OB=x，∠AOB=45°，
则x2+x2−2x2cs45°=1，所以x2=2+22，
所以AB−DB=AB+BD=AD=x2+x2−2x2cs135°=2+2x2=2+1.
故选：D.
2.（2024·四川·模拟预测）已知非零平面向量a，b，那么“a=μb”是“a+b=a−b”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】在向量a,b非零向量的情况下，
若a+b=a−b，即a+b2=a−b2，
即有|a|2+2a⋅b+|b|2=|a|2−2|a||b|+|b|2，即a⋅b=−ab．
又a⋅b=abcsa,b，故csa,b=−1，
又a,b∈0,π，所以a,b=π，即a,b方向相反，故a=μb,μ0，n>0，则m+2n的最小值为（ ）
A．2B．2C．3D．83
【答案】C
【分析】根据题意以AB,AC为基底表示出AD，再根据E,F,D三点共线，利用共线定理可得13m+23n=1，再由基本不等式即可求得m+2n的最小值为3.
【详解】如下图所示：
因为BD=2DC，易知AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23AC−AB=13AB+23AC，
又AE=mAB,AF=nAC，所以AD=13AB+23AC=13mAE+23nAF，
易知E,F,D三点共线，利用共线定理可得13m+23n=1，
又m>0，n>0，
所以m+2n=m+2n13m+23n=13+2m3n+2n3m+43≥22m3n⋅2n3m+53=2×23+53=3；
当且仅当2m3n=2n3m，即m=n=1时，等号成立，
所以m+2n的最小值为3.
故选：C
4.（2024·河北衡水·模拟预测）在△ABC中，D是BC的中点，直线l分别与AB,AD,AC交于点M,E,N，且AB=43AM，AE=2ED,AC=λAN，则λ=（ ）
A．85B．53C．74D．52
【答案】B
【分析】根据向量运算法则，利用AM,AN表示AE，结合向量三点共线的定理列式运算求解.
【详解】由AE=2ED，得AE=23AD=13AB+AC=1343AM+λAN=49AM+λ3AN.
因为M,E,N共线，所以49+λ3=1，解得λ=53.
故选：B.
5.（2021·江西新余·模拟预测）如图，在三角形OPQ中，M、N分别是边OP、OQ的中点，点R在直线MN上，且OR=xOP+yOQ（x，y∈R），则代数式x2+y2−x−y+12的最小值为（ ）
A．22B．26C．24D．32
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合共线向量定理的推论可得2x+2y=1，再消元借助二次函数求出最小值.
【详解】由M、N分别是边OP、OQ的中点，得OP=2OM,OQ=2ON，而OR=xOP+yOQ，
于是OR=2xOM+2yON，又点R在直线MN上，因此2x+2y=1，即y=12−x，
则x2+y2−x−y+12=x2+(12−x)2−x−(12−x)+12=2x2−x+14，
所以当x=14时，x2+y2−x−y+12取得最小值24.
故选：C
1．（21-22高三上·山东烟台·开学考试）O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈[0,+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．垂心C．内心D．重心
【答案】D
【分析】取线段BC的中点E，则AB+AC=2AE，依题可得AP//AE，即可得答案.
【详解】取线段BC的中点E，则AB+AC=2AE.
动点P满足：OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈[0,+∞)，
则OP−OA=2λAE，即AP=2λAE，所以AP//AE，
又AP∩AE=A，所以A,E,P三点共线，
则直线AP一定通过△ABC的重心.
故选：D.
2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）在△ABC中，点M是线段BC上靠近B的三等分点，点N是线段AC的中点，则AM=（ ）
A．−BN+23ACB．−23BN+43AC
C．−BN+53ACD．−23BN+23AC
【答案】D
【分析】结合图形，利用向量的线性运算的定义进行运算可得.
【详解】作出图形如图，则BN=BA+AN=−AB+12AC，
所以AM=AB+BM=AB+13BC=AB+13AC−AB =23AB+13AC=23AB−12AC+23AC=−23BN+23AC，
故选：D．
3．（2020·天津河东·模拟预测）对于非零向量a、b，“2a=b”是“a，b共线”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用向量共线定理以及充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】由2a=b，则a、b共线同向，充分性满足；
非零向量a、b，当a，b共线时，则b=λa λ∈R，必要性不满足；
故“2a=b”是“a，b共线”的充分不必要条件.
故选：B
【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义、向量共线定理，理解充分条件、必要条件的定义是解题的关键，属于基础题.
4．（23-24高三上·天津红桥·阶段练习）已知向量b=−3,1，则与b方向相反的单位向量是 ．
【答案】(31010,−1010)
【分析】利用给定向量，结合单位向量的意义求解.
【详解】向量b=−3,1，则与b方向相反的单位向量是−b|b|=−110(−3,1)=(31010,−1010).
故答案为：(31010,−1010)
5．（2022·天津河北·模拟预测）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM=35AB+25AC．则△ABM与△ABC的面积之比为 ．
【答案】25/0.4
【分析】根据给定的向量等式，确定点M的位置，再借助面积关系计算作答.
【详解】因AM=35AB+25AC，则AM−AB=25(AC−AB)，即BM=25BC，
于是得点M在边BC上，并且|BM|=25|BC|，有S△ABMS△ABC=|BM||BC|=25，
所以△ABM与△ABC的面积之比为25.
故答案为：25
6．（21-22高三上·山东日照·开学考试）在三角形OAB中，点P为边AB上的一点，且AP=2PB，点Q为直线OP上的任意一点（与点O和点Q不重合），且满足OQ=λ1OA+λ2OB，则λ1λ2= .
【答案】12
【分析】以OA,OB为基底，其他向量用基底表示后，结合O,Q,P共线可得．
【详解】由已知OP=OA+AP=OA+23AB=OA+23(OB−OA)=13OA+23OB，OQ=λ1OA+λ2OB，
OQ,OP共线，所以λ113=λ223，所以λ1λ2=12．
故答案为：12．
1．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）△ABC是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若AF=3EF，AF=3，且AF=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）.
A．1519B．619C．919D．41919
【答案】A
【分析】由向量加减、数乘几何意义用AB,AC表示出AF，即可得结果.
【详解】由题设AF=AB+BF=AB+23BD=AB+23(BC+CD)=AB+23(BC+23CE)
=AB+23BC+49(CA+AE)=AB+23BC+49CA+827AF
=AB+23(AC−AB)−49AC+827AF=13AB+29AC+827AF，
所以1927AF=13AB+29AC，即AF=919AB+619AC，
又AF=λAB+μAC，故λ+μ= 1519.
故选：A
2．（23-24高三下·天津·阶段练习）在△ABC中，设，AB=a,AC=b，其夹角设为θ，平面上点D,E满足AD=2AB，AE=3AC，BE,DC交于点O，则AO用a,b表示为 ．若AO⋅DE=65DC⋅BE，则csθ的最小值为 ．
【答案】 AO=45a+35b 54
【分析】由D,O,C和B,O,E三点共线，得到AO=2ta+(1−t)b和AO⃗=ua⃗+(3−3u)b⃗，得出方程组2t=u1−t=3−3u，求得t,u的值，得到AO=45a+35b，再由AO⋅DE=65DC⋅BE，化简得到48a⋅b=20a2+9b2，得出csθ=20a2+9b248ab，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为D,O,C三点共线，则存在实数t使得AO=tAD+(1−t)AC=2ta+(1−t)b，
又因为B,O,E三点共线，则存在实数u使得AO⃗=uAB⃗+(1−u)AE⃗=ua⃗+(3−3u)b⃗，
可得2t=u1−t=3−3u，解得t=25,u=45，所以AO=45a+35b，
由DE=AE−AD=3b−2a,DC=AC−AD=b−2a,BE=AE−AB=3b−a，
因为AO⋅DE=65DC⋅BE，
可得(45a+35b)⋅(3b−2a)=65(b−2a)⋅(3b−a)，整理得48a⋅b=20a2+9b2，
可得48abcsθ=20a2+9b2，所以csθ=20a2+9b248ab
又因为20a2+9b2≥220a2⋅9b2=125ab，
所以csθ=20a2+9b248ab≥125ab48ab=54，
当且仅当20a2=9b2时，即25a=3b时，等号成立，
所以csθ的最小值为54.
故答案为：AO⃗=45a⃗+35b⃗，54.
3．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点M在正六边形的边上运动，动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称.（i）请用MA,MB表示MO= ；（ii）请写出MA⋅MB的取值范围 .
【答案】 12MA+12MB 8,12
【分析】（i）根据向量线性运算可直接得到结果；
（ii）根据向量线性运算、数量积运算性质，可将所求数量积转化为MO2−4；根据正六边形性质可求得MO的范围，由此可得结果.
【详解】（i）∵A,B在圆O上运动且关于圆心O对称，∴O为AB中点，∴MO=12MA+12MB；
（ii）MA⋅MB=MO+OA⋅MO+OB=MO2+OA+OB⋅MO+OA⋅OB =MO2−OA2=MO2−4；
当M为正六边形顶点时，MO取得最大值；当OM与正六边形的边垂直时，MO取得最小值；
∵六边形为正六边形，∴△ODE为正三角形，∴MOmax=OD=4；
作OF⊥DE，则F为DE中点，∴MOmin=OF=42−22=23；
∴MO2−4∈8,12，即MA⋅MB的取值范围为8,12.
故答案为：12MA+12MB；8,12.
4．（23-24高三上·天津河西·期末）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，AB=2AE，AF=λACλ>0，EF=2EM，且AM=72，则λ= ；BF⋅CE的值为 .
【答案】 32 −232
【分析】根据平面向量的基本定理、向量的数量积定义及数量积运算即可求解.
【详解】因为AB=2AE，AF=λACλ>0，EF=2EM，
所以AM=12AE+AF=1212AB+λAC=14AB+12λAC,
又AM=72，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，
所以AC⋅AB=AC⋅ABcs∠BAC=2×2×−12=−2，
AM2=AM2=14AB2+λ4AC⋅AB+λ2AC2=14−λ2+λ2=74,
即2λ2−λ−3=0，解得λ=32或λ=−1（舍去），
故λ的值为：32.
又BF=BA+AF=−AB+λAC,CE=CA+AE=−AC+12AB,
BF⋅CE=−AB+λAC⋅−AC+12AB=1+λ2AB⋅AC−12AB2−λAC2

=1+λ2−2−2−4λ=−4−5λ=−232，
故BF⋅CE的值为：−232.
故答案为：32；−232
5．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，CD与BE交于点P，AB=2，AC=4，用AB和AC表示AP，则AP= ；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设AM=mAB，AN=nAC（m>0，n>0），则m+n的最小值为 .
【答案】 25AB+15AC 3+225
【分析】选取向量AB,AC为基底，利用向量线性运算把AP用基底表示出来即可；用AM,AN表示出AP，再利用共线向量的推论结合基本不等式求出最小值.
【详解】如图：
在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，设BP=λBE=λ(BA+13AC)，
则AP=AB+BP=(1−λ)AB+λ3AC=(2−2λ)AD+λ3AC，
由D,P,C三点共线，得2−2λ+λ3=1，解得λ=35，因此AP=25AB+15AC，
因为AM=mAB，AN=nAC，m>0,n>0，则有AP=25mAM+15nAN，
而M,P,N三点共线，因此25m+15n=1，则m+n=(m+n)(25m+15n)
=15(3+2nm+mn)≥15(3+22nm⋅mn)=3+225，当且仅当2nm=mn，即m=2n=2+25取等号，
所以当m=2+25,n=1+25时，m+n取得最小值3+225.
故答案为：25AB+15AC；3+225
6．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）如图，在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，CD与BE交于点P，AB=2，AC=4，AP⋅BC=2，则AB⋅AC的值为 ；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设AM=mAB，AN=nAC（m>0，n>0），则m+n的最小值为 .
【答案】 2 3+225
【分析】选取向量AB→,AC→为基底，把AP→,BC→用基底表示出来，再求出数量积即可；用AM,AN表示出AP，再利用共线向量的推论结合基本不等式求出最小值．
【详解】在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，设BP=λBE=λ(BA+13AC)，
则AP=AB+BP=(1−λ)AB+λ3AC=(2−2λ)AD+λ3AC，
由D,P,C三点共线，得2−2λ+λ3=1，解得λ=35，因此AP=25AB+15AC，
因为AB=2，AC=4，AP⋅BC=2，于是AP⋅BC=(25AB+15AC)⋅(AC−AB)
=15(AC2−2AB2+AB⋅AC)=15(42−2×22+AB⋅AC)=2，解得AB⋅AC=2；
因为AM=mAB，AN=nAC，m>0,n>0，则有AP=25mAM+15nAN，
而M,P,N三点共线，因此25m+15n=1，则m+n=(m+n)(25m+15n)
=15(3+2nm+mn)≥15(3+22nm⋅mn)=3+225，当且仅当2nm=mn，即m=2n=2+25取等号，
所以当m=2+25,n=1+25时，m+n取得最小值3+225.
故答案为：2；3+225
7．（2023·天津津南·模拟预测）在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设AB=a,AC=b，试用a,b表示AN为 ；若∠A=π6,△ABC的面积为3，则当BC=
时，AM⋅AN取得最小值.
【答案】 34a+14b 2
【分析】根据向量加减法的线性运算即可求解AN，由△ABC的面积求得|AB|×|AC|的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出AM⋅AN，利用基本不等式求出它取最小值时|AB|、|AC|的值，再利用余弦定理求出BC的值．
【详解】M是边BC的中点，N是线段BM的中点，则AM=12(AB+AC)，AN=12(AB+AM)
所以AN=12AB+12AM=12AB+1212AB+12AC=34AB+14AC=34a+14b
如图所示，△ABC中，∠A=π6，
所以△ABC的面积为S△ABC=12|AB|×|AC|×sinπ6=3，
所以|AB|×|AC|=43；
所以AM⋅AN=12(AB+AC)⋅34AB+14AC=38AB2+18AC2+12AB⋅AC
=38|AB|2+18|AC|2+12×|AB|×|AC|×csπ6
≥238×18×AB×AC+12×43×32 =2×38×43+3 =6；
当且仅当|AC|=3|AB|=23时取等号，
所以AM⋅AN的最小值为6；
所以此时AC=23，AB=2，A=π6，
所以BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅csπ6=12+4−2×23×2×32=4，
所以BC=2．
故答案为：34a+14b；2．

1．（·四川·高考真题）如图，正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF=（ ）
A．0B．BEC．ADD．CF
【答案】D
【详解】将CD平移到AF，EF平移到CB，
故BA+CD+EF=CB+BA+AF=CF，
故选D.
本题主要考查平面向量的基本概念及线性运算
考点：向量的加法.
2．（·全国·高考真题）ΔABC中，AB边的高为CD，若CB=a，CA=b，a⋅b=0，a=1，b=2，则AD=（ )
A．13a−13bB．23a−23bC．35a−35bD．45a−45b
【答案】D
【详解】试题分析：由a⋅b=0，a=1，b=2可知BD=15 ∴BD=15BA∴AD=45AB=45a−b
3．（·广东·高考真题）如图所示，已知在△ABC中，D是边AB上的中点，则CD=（ ）
A．BC−12BAB．−BC+12BA
C．−BC−12BAD．BC+12BA
【答案】B
【分析】由题意得BD=12BA，再由CD=CB+BD=−BC+12BA，即可得到答案.
【详解】由于D是边AB上的中点，则BD=12BA.
CD=CB+BD=−BC+12BA.
故选：B.
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第14题,5分
平面向量基本定理的应用 平面向量线性运算的坐标表示 数量积的运算律 数量积的坐标表示
2023年天津卷，第14题,5分
余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式求积的最大值
2022年天津卷，第14题,5分
用基底表示向量 向量夹角的计算
2021年天津卷，第15题,5分
数量积的运算律
2020年天津卷，第15题,5分
已知向量共线(平行)求参数 用定义求向量的数量积 数量积的坐标表示
向量
运算
定义
法则(或几
何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求两个向量差的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ