第17讲 三角函数的图像与性质（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握三角函数的图像与性质，能够利用图像解决三角函数的定义域与值域问题
2.能掌握三角函数的奇偶性与对称性问题
3.具备数形结合的思想意识，会借助三角函数图像，解决平移与伸缩变换问题
4.会解三角函数解析式，会根据三角函数的图像特征解决三角函数含参问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查三角函数图像特征与三角函数的周期性与对称性问题。
知识讲解
知识点一.三角函数的图像
1．五点法作图
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图：
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
3.常用结论
（1）函数y＝sin x与y＝cs x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线．
（2）正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期．正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
（3）三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acs ωx＋b的形式．
（4）对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数．
知识点二.三角函数的平移与伸缩变换
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径
3.两种变换的区别
（1）先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq \f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
4. 两种变换的注意点
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
（2）由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
（3）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．
5．简谐运动的有关概念与规律
（1）相关概念
（2）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
（3）由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
考点一、三角函数的定义域
1.（2024·浙江金华·模拟预测）若集合A=xsinx+π6>0，B=xlnx+π60，可得2kπ