高考数学核心考点专题训练专题16三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题16三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

己知α是第四象限角，化简1+sinα1−sinα−1−sinα1+sinα为( )
A. −2tanαB. 2tanαC. tanαD. −tanα
如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d=fl的图象大致是( )
A. B. C. D.
十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋅⋅⋅+−1n−1x2n−12n−2!+⋅⋅⋅，(其中x∈R，n∈N∗，n!=1×2×3×⋅⋅⋅×n⋅0!=1)现用上述公式求1−12!+14!−16!+⋅⋅⋅+−1n−112n−2!+⋅⋅⋅的值，下列选项中与该值最接近的是
A. sin30∘B. sin33∘C. sin36∘D. sin39∘
下列结论中正确的个数是( )
①终边经过点a,aa≠0的角的集合是αα=π4+2kπ,k∈Z
②已知α为第二象限的角，则π−α2所在的象限是第二象限或第四象限
③M=xx=45∘+k⋅90∘,k∈Z，N=yy=90∘+k⋅45∘,k∈Z，则M⫋N
④若α在第四象限，则sin(csα)⋅cs(sinα)<0
⑤已知点P(sinα−csα,tanα)在第二象限，则α的一个变化区间是
A. 1B. 2C. 3D. 4
已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直y=−3x上，则4csα−sin2α的值是( )
A. −114B. 54C. −114或54D. 114或54
已知半径为2的扇形AOB中，弧AB的长为3π，扇形的面积为ω，圆心角AOB的大小为φ弧度，函数hx=sinπωx+φ，则下列结论正确的是( )
A. 函数hx是奇函数
B. 函数hx在区间−2π,0上是增函数
C. 函数hx图象关于3π,0对称
D. 函数hx图象关于直线x=−3π对称
《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则sin∠AOB=( )
A. 34B. 725C. 1225D. 2425
古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．下图2(正八边形ABCDEFGH)是由下图1(八卦模型图)抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设OA=1.则下述四个结论：①以直线OH为终边的角的集合可以表示为 αα=3π4+2kπ,k∈Z；②以点O为圆心、OA为半径的圆的弦AB所对的弧长为π4；③OA⋅OD=22；④BF=(−2,−2)中，正确结论的个数是( )

图2
A. 4B. 3C. 2D. 1
函数y=csx·|tanx|−π2A. B.
C. D.
如图直角坐标系中，角α0<α<π2、角β−π2<β<0的终边分别交单位圆于A、B两点，若B点的纵坐标为−513，且满足S△AOB=34，则sinα23csα2−sinα2+12的值为( )
A. −513B. −1213C. 1213D. 513
下列四个命题中，正确命题的个数为( )
(1)若角θ2为第二象限角，则角θ必为第三或第四象限角．
(2)若ΔABC为锐角三角形，则必有sinA>csB．
(3)可以证明：1−csαsinα=tanα2．
(4)函数f(x)=2sinxcsx+sinx+csx的最大值为2+1．
A. 4B. 3C. 2D. 1
已知函数f(x)=(12a−3)sinx+(32a+1)csx，将f(x)图象向右平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象，若对任意x∈R，都有g(x)≤|g(π4)|成立，则a的值为
A. −1B. 1C. −2D. 2
二、填空题
已知圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O按顺时针方向运动π2弧长后到达点N，以ON为终边的角记为α，则tan α=________．
下面有四个命题：
①设一扇形的半径为2cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是2；
②设等边三角形ABC的边长为2，则向最AB在向量BC上的投影为1；
③若tanα=12，则sin2α=25．
④设函数f(x)=sinx−acsx图象的一条对称轴为直线x=π6，则实数a的值为−3．
所有正确命题的序号是_______.(把你认为正确命题的序号都填上)
给出下列5个命题：
①若θ是第二象限角，则θ2是第一或第三象限角;
②若k∈Z，则sin(kπ+a)=(−1)ksina
③与角−π3终边相同角的集合是{a|a=−π3+2kπ,k∈N}
④将函数y=cs2x的图像向左平移12个单位可得到函数y=cs(2x+1)的图像
⑤若f(x)是周期为a(a>0)的函数，则f(x2)的周期为a2
其中正确的命题是__________(写出所有正确命题的编号)．
图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为h，则h关于θ的函数解析式是 ．

专题16 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式
一、单选题
己知α是第四象限角，化简1+sinα1−sinα−1−sinα1+sinα为( )
A. −2tanαB. 2tanαC. tanαD. −tanα
【答案】B
【解析】解：α是第四象限角，故csα>0，又1+sinα>0，1−sinα>0，
则1+sin α1−sin α−1−sin α1+sin α=1+sin α21−sin2 α−1−sin α21−sin2 α
=1+sin α2cs2α−1−sin α2cs2 α=1+sinαcsα−1−sinαcsα=2sinαcsα=2tanα．
故选B．
如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d=fl的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：因为单位圆半径为1，所以l=∠AOP(弧度)，，
所以P(csl,sinl)，又A(1,0)，
所以d=(1−csl)2+sin2l=2−2csl=4sin2l2=2sinl2．
由正弦函数图象可得 C正确．
故选C．
十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋅⋅⋅+−1n−1x2n−12n−2!+⋅⋅⋅，(其中x∈R，n∈N∗，n!=1×2×3×⋅⋅⋅×n⋅0!=1)现用上述公式求1−12!+14!−16!+⋅⋅⋅+−1n−112n−2!+⋅⋅⋅的值，下列选项中与该值最接近的是
A. sin30∘B. sin33∘C. sin36∘D. sin39∘
【答案】B
下列结论中正确的个数是( )
①终边经过点a,aa≠0的角的集合是αα=π4+2kπ,k∈Z
②已知α为第二象限的角，则π−α2所在的象限是第二象限或第四象限
③M=xx=45∘+k⋅90∘,k∈Z，N=yy=90∘+k⋅45∘,k∈Z，则M⫋N
④若α在第四象限，则sin(csα)⋅cs(sinα)<0
⑤已知点P(sinα−csα,tanα)在第二象限，则α的一个变化区间是
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】解：①终边经过点(a,a)角在第一和第三象限的角平分线上，故角的集合是αα=π4+kπ,k∈Z，故错误；
②由α为第二象限的角，即2kπ+π2<α<2kπ+π, k∈Z 所以kπ+π4<α2所以−kπ−π2<−α2<−kπ−π4, k∈Z所以−kπ+π2<π−α2<−kπ+3π4, k∈Z，
当k为偶数，设k=2n,n∈Z，则−2nπ+π2<π−α2<−2nπ+3π4,n∈Z，所以此时π−α2在第二象限．
当k为奇数，设k=2n−1,n∈Z则−(2n−1)π+π2<π−α2<−(2n−1)π+3π4,n∈Z所以此时π−α2在第四象限，故正确．
③对于M={x|x=45°+k×90°,k∈Z}={x|x=2k+1×45∘,k∈Z},而2k+1×45∘,k∈Z表示45∘ 的奇数倍，N={y|y=90°+k×45°,k∈Z}={y|y=k+2×45∘,k∈Z},而k+2×45∘,k∈Z表示45∘ 的整数倍，所以M⫋N，故正确．
④∵α第四象限，∴00，cs(sinα)>0，
∴sin(csα)·cs(sinα)>0，故错误
⑤已知点P(sin α−cs α,tan α)在第二象限，则sin α−cs α<0tan α>0,
由于tanα>0，则，故正确．
故选C
已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直y=−3x上，则4csα−sin2α的值是( )
A. −114B. 54C. −114或54D. 114或54
【答案】C
【解析】解：由题意，若终边与射线y=−3xx>0重合，可取终边上一点P1,−3，
则OP=2，故csα=12, sinα=−1−cs2α=−32，
故4csα−sin2α=2−34=54．
若终边与射线y=−3xx<0重合，取终边上一点Q−1,3，
则|OQ|=2，故csα=−12, sinα=1−cs2α=32，
故4cs α−sin2 α=−2−34=−114．
故选：C．
已知半径为2的扇形AOB中，弧AB的长为3π，扇形的面积为ω，圆心角AOB的大小为φ弧度，函数hx=sinπωx+φ，则下列结论正确的是( )
A. 函数hx是奇函数
B. 函数hx在区间−2π,0上是增函数
C. 函数hx图象关于3π,0对称
D. 函数hx图象关于直线x=−3π对称
【答案】D
《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则sin∠AOB=( )
A. 34B. 725C. 1225D. 2425
【答案】D
【解析】解：如图，由题意可得：AB=6，
弧田面积S=12(弦×矢+矢 2)=12(6×矢+矢 2)=72平方米．
解得矢=1，或矢=−7(舍)，
设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，
则r−d=1r2=9+d2，解得d=4，，
∴cs∠AOD=dr=45，
∴cs∠AOB=2cs2∠AOD−1=3225−1=725，可得sin∠AOB=1−cs2∠AOB=2425．
故选：D
古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．下图2(正八边形ABCDEFGH)是由下图1(八卦模型图)抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设OA=1.则下述四个结论：①以直线OH为终边的角的集合可以表示为 αα=3π4+2kπ,k∈Z；②以点O为圆心、OA为半径的圆的弦AB所对的弧长为π4；③OA⋅OD=22；④BF=(−2,−2)中，正确结论的个数是( )

图2
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】解： ①，在正八边形ABCDEFGH中，∠AOB=∠BOC=⋯=∠HOA=2π8=π4，
所以以直线OH为终边的角的集合可以表示为{α|α=−π4+2kπ,k∈Z}，故 ①项结论错误．
②，因为OA=1，∠AOB=π4，
所以以点O为圆心、OA为半径的圆的弦AB所对的弧长为π4×1=π4，故 ②项结论正确．
③，因为∠AOD=3×45∘=135∘，OA=OD=1，
所以OA⋅OD=|OA||OD|cs∠AOD=1×1×cs135∘=−22，故 ③项结论错误．
④，因为∠AOB=45∘，OB=1，所以B(cs45∘,sin45∘)，即B(22,22)，
由对称性知点B与点F关于原点O对称，所以F(−22,−22)，
所以BF=(−2,−2)，故 ④项结论正确．
综上所述，正确的结论为 ② ④，共2个．
故选C．
函数y=csx·|tanx|−π2A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当−π20，故函数y=csx|tanx|=|sinx|，
所以函数y=csx|tanx|(−π2故选C．
如图直角坐标系中，角α0<α<π2、角β−π2<β<0的终边分别交单位圆于A、B两点，若B点的纵坐标为−513，且满足S△AOB=34，则sinα23csα2−sinα2+12的值为( )
A. −513B. −1213C. 1213D. 513
【答案】C
【解析】解：∵sin β=−513>−12，−π2<β<0，
∴cs β=1213，−π6<β<0，
由S△OAB=34知，则有S△AOB=12|OA|·|OB|sin (α−β)=34，
即sin (α−β)=32，
∵0<α<π2，−π6<β<0，
，
∴α−β=π3，则α=β+π3，
∴sin α2(3cs α2−sin α2)+12
=3sinα2csα2−sin2α2+12
=32sinα−1−csα2+12
=32sinα+12csα=sin(α+π6)
=sin(β+π2)=cs β=1213，
故选C．
下列四个命题中，正确命题的个数为( )
(1)若角θ2为第二象限角，则角θ必为第三或第四象限角．
(2)若ΔABC为锐角三角形，则必有sinA>csB．
(3)可以证明：1−csαsinα=tanα2．
(4)函数f(x)=2sinxcsx+sinx+csx的最大值为2+1．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】解：若θ2为第二象限角，则2kπ+π2<θ2<2kπ+π,k∈Z，所以4kπ+π<θ<4kπ+2π,k∈Z，
所以角θ必为第三或第四象限角或y轴负半轴．故(1)错误；
若ΔABC为锐角三角形，则A+B>π2,A>π2−B,A∈0,π2,π2−B∈0,π2，所以sinA>sinπ2−B=csB，故(2)正确；
1−csαsinα=2sin2α22sinα2csα2=sinα2csα2=tanα2，故(3)正确；
令sinx+csx=t∈−2,2，则2sinxcsx=t2−1，函数f(x)=2sinxcsx+sinx+csx可化为y=t2+t−1=t+122−54，
又t∈−2,2，所以t=2时，函数取得最大值，最大值为2+1，故(4)正确．
故选B．
已知函数f(x)=(12a−3)sinx+(32a+1)csx，将f(x)图象向右平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象，若对任意x∈R，都有g(x)≤|g(π4)|成立，则a的值为
A. −1B. 1C. −2D. 2
【答案】D
【解析】解：由对任意x∈R，都有g(x)≤|g(π4)|成立，可知g(π4)是g(x)的最大值，∴当时g(x)最大或最小，
又∵将f(x)图象向右平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象，
∴当时f(x)最大或最小，
又∵f(x)的周期为2π，四分之一周期为，
∴当时f(x)的值为0，
，
，
∴(12a−3)3+13−1+(32a+1)=0，
解得a=2，
故选D．
二、填空题
已知圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O按顺时针方向运动π2弧长后到达点N，以ON为终边的角记为α，则tan α=________．
【答案】1
【解析】解：由条件，圆O：x2+y2=4的圆心为O(0,0)，半径为OM=2．
则M(0,2)，
设ON与x轴的非负半轴的夹角为α，则，
所以，
故．
故答案为1．
下面有四个命题：
①设一扇形的半径为2cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是2；
②设等边三角形ABC的边长为2，则向最AB在向量BC上的投影为1；
③若tanα=12，则sin2α=25．
④设函数f(x)=sinx−acsx图象的一条对称轴为直线x=π6，则实数a的值为−3．
所有正确命题的序号是_______.(把你认为正确命题的序号都填上)
【答案】①④
【解析】解：对于①，因为扇形的半径为2cm，面积为4cm2，设扇形的圆心角的弧度数为α，
则12×2×α2=4，解得α=2．
所以①正确：
对于②，因为等边三角形ABC的边长为2
所以=120∘，AB=2，
故向量AB在向量BC上的投影为|AB|cs120∘=2×(−12)=−1，
所以②不正确：
对于③，因为tan α=12，
所以sin2α=2sin acs asin2a+cs2a
=2tan a1+tan2a
=2×121+(12)2=45，
故③错误;
对于④，因为f(x)=sinx−acsx
=1+a2sin(x−θ)，(其中tanθ=a)，
又函数一条对称轴为直线x=x6，
从而得到f(π6)=±1+a2，
即．
所以
因为tanθ=a
a=−3．
故④正确．
所以答案为①④．
给出下列5个命题：
①若θ是第二象限角，则θ2是第一或第三象限角;
②若k∈Z，则sin(kπ+a)=(−1)ksina
③与角−π3终边相同角的集合是{a|a=−π3+2kπ,k∈N}
④将函数y=cs2x的图像向左平移12个单位可得到函数y=cs(2x+1)的图像
⑤若f(x)是周期为a(a>0)的函数，则f(x2)的周期为a2
其中正确的命题是__________(写出所有正确命题的编号)．
【答案】 ① ② ④
【解析】解：∵角α是第二象限的角，∴2kπ+π2<α<2kπ+π，k∈z，∴kπ+π4<α2故α2是第一象限或第三象限的角，故 ①正确;
当k为奇数时，k=2n+1，则sin(kπ+α)=sin(2nπ+π+α)=sin(π+α)=−sinα，
当n为偶数时，k=2n，sin(kπ+α)=sin(2nπ+α)=sinα，故 ②正确;
根据终边相同的角的定义，若k∈N错误，应该是k∈Z，故可得 ③不正确;
将函数y=cs2x的图像向左平移12个单位可得y=cs2(x+12)=cs(2x+1)，故 ④正确;
若f(x)是周期为a(a>0)的函数，则f(x2)的周期为2a，故 ⑤错误;
故正确的命题为 ① ② ④．
故答案为： ① ② ④．
图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为h，则h关于θ的函数解析式是 ．
【答案】h=5.6−4.8csθ
【解析】解：以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则以Ox为始边，OB为终边的角为θ−π2，
故点B的坐标为，
．
故答案为h=5.6−4.8csθ．