2025年新高考数学高频考点+重点题型专题18诱导公式与同角三角函数基本关系式含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题18诱导公式与同角三角函数基本关系式含解析答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．或
3．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．（ ）
A．B．
C．D．
8．若，则（ ）
A．B．
C．D．
9．已知，则＝（ ）
A．2B．
C．0D．
10．已知，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
11．已知，则的值为（ ）
A．B．
C．D．－
12．已知＝5，则sin2α－sinαcsα的值是（ ）
A．B．－C．－2D．2
二、多选题
13．(多选)若sinα＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有（ ）
A．tanα＝B．csα＝
C．sinα＋csα＝D．sinα－csα＝－
14．（多选）在平面直角坐标系中，若角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为（ ）
A．B．C．D．Q的坐标为
15．（多选）在中，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
16．设，则 .
17．若，为钝角，则的值为 (用表示).
18．已知=2，则tanx= ，sinxcsx= .
19．若，则 .
20．已知，且，则 ．
21．若，，则 .
22．当时，函数的最大值为 ．
23．已知sincs＝，且0<α<，则sinα＝ ，csα＝ .
24．化简为 ．
25．若tanα=2，则的值为 .
26．已知为第二象限角，则 ．
四、解答题
27．已知α是第三象限角，且.
（1）若cs，求f（α）的值；
（2）若α=-1860°，求f（α）的值.
28．已知cs（75°+α）=，且α是第三象限角，求cs（15°-α）+sin（α-15°）的值.
29．已知，求的值.
30．在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于A，两点，已知点A，的横坐标分别为，．
（1）求的值；
（2）化简并求的值．
31．（1）已知角的终边经过点，化简并求值：；
（2）计算的值．
32．（1）求证：tan2αsin2α=tan2α-sin2α；
（2）已知tan2α=2tan2β+1，求证：2sin2α=sin2β+1.
33．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，csA＝－cs(π－B)，
求△ABC的三内角．
34．是否存在角，使等式，同时成立？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由.
参考答案：
1．A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
2．B
【分析】借助可得，结合所处象限可得，即可得，即可得解.
【详解】由，
，即，
，为钝角，
，，
，
，
则，
，，
则.
故选：B.
3．A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
4．C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
5．D
【分析】切化弦可得，将利用平方和为1转化为，代入计算可得结果.
【详解】解：，则.
.
故选：D.
6．B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
7．B
【分析】利用诱导公式化简，即可计算得结果.
【详解】.
故选：B
【点睛】本题考查诱导公式的化简求值，属于基础题.
8．B
【分析】利用诱导公式化简求值.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
9．B
【分析】
根据题意，结合三角函数的基本关系式，转化为“齐次式”，代入即可求解.
【详解】
因为，可得.
故选：B.
10．A
【解析】将等式两边平方，可得出的值，然后将代入化简计算可求得该代数式的值.
【详解】，，解得，
因此，.
故选：A.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系化简计算，在涉及的相关计算时，一般利用平方关系来计算，考查计算能力，属于中等题.
11．B
【分析】根据题意，由诱导公式化简，即可得到结果.
【详解】
.
故选：B
12．A
【分析】先利用商数关系由＝5可求出，再利用平方关系将sin2α－sinαcsα化成齐次式，即可求出．
【详解】由＝5，得＝5，即tanα＝2.
所以sin2α－sinαcsα＝＝＝.
故选：A．
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，以及利用正切值求齐次式的值，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于基础题．
13．AB
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】解：∵，且为锐角，
∴，故B正确，
，故A正确，
，
故C、D错误，
故选：AB
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.
14．ABD
【分析】根据任意角的三角函数的定义可得，根据同角三角函数的基本关系求出，，再利用诱导公式计算可得；
【详解】解：由题意知，角的终边在第一象限，则，所以，A正确．由题意知，所以，， ，即Q点的坐标为，所以可得B，D正确，C错误．
故选：ABD．
15．ABC
【分析】由内角和定理以及诱导公式逐一判断即可.
【详解】在中，有，则，A正确；
，B正确；
，C正确；
，D错误；
故选：ABC.
16．
【分析】先利用诱导公式把化简，然后代值求解即可
【详解】∵=
=
=
=，
∴==.
故答案为：
【点睛】此题考查诱导公式的应用和同角三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题.
17．(亦可)
【分析】由题知，再根据得，进而得.
【详解】因为，为钝角，
所以，
又因为，
所以，即，
所以，
故答案为：
18． 3
【分析】将=2中，分子分母同除以，即可得到；，将的值带入即可得到答案.
【详解】因为=2，所以，解得，
.
故答案为：；
【点睛】本题考查三角函数基本关系的应用，涉及到构造齐次式求式子的值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
19．
【分析】利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
20．
【分析】已知等式平方求得，利用可解得，注意由已知条件判断出，从而得正确结论．
【详解】因为，所以，，
又，所以，所以，即．
所以，解得．
又，，而，所以．
所以．
故答案为：．
【点睛】易错点睛：本题考查同角间的三角函数关系，解题中注意角的范围的判断，函数值范围判断，否则会出现错误．本题在平方求得积后确定，实际上这个范围还显得有点大，因为从的角度可得出．实际上，在平面直角坐标系中，满足的角的终边在直线的右上方．
21．
【分析】根据三角函数的诱导公式，求得，结合，进而求得的值.
【详解】由三角函数的诱导公式，可得，即，
又因为，所以.
故答案为：.
22．-4
【分析】化简函数得，再换元，利用二次函数和复合函数求函数的最值.
【详解】由题意得
所以，
当时，，
设
所以，
所以当时，函数取最大值.
所以的最大值为-4．
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对已知函数的化简，由于已知函数分子分母都是“二次式”，所以可以同时除以，得到单变量函数.
23．
【分析】根据诱导公式化简可得，再根据可得0【详解】sincs＝＝sinαcsα＝.
因为，所以0所以，，
所以，，
故答案为：；.
【点睛】本题了诱导公式，考查了同角公式，属于基础题.
24．1
【分析】根据同角三角函数的基本关系式对所求表达式进行化简，由此求得表达式的值.
【详解】解：依题意
．
故答案为：1．
25．
【分析】方法一：由tanα=2，得到sinα=2csα，csα=sinα. 又因为sin2α+cs2α=1，所以解得sin2α=.从而有，代入求得结果.
方法二：，代入求得结果.
【详解】解析：法一：（切化弦的思想）：因为tanα=2，
所以sinα=2csα，csα=sinα.
又因为sin2α+cs2α=1，所以解得sin2α=.
所以.
法二：（弦化切的思想）.
故答案为：
26．0
【详解】本试题主要是考查了三角函数的同角关系的运算．
因为为第二象限角，则
故答案为0．
解决该试题的关键是理解，进行化简．
27．（1）；（2）
【分析】（1）化简f（α）==-csα，由条件求得csα，从而求得f（α）.
（2）由诱导公式得，f（α）=-cs（-1860°）=-cs（-60°）.
【详解】解析：f（α）==-csα.
（1）∵，∴sinα=.
∵α是第三象限的角，
∴csα=.
∴f（α）=-csα=.
（2）f（α）=-cs（-1860°）=-cs（-60°）=.
28．
【分析】由诱导公式可得出，, ，由α是第三象限角，得出的象限，即可求出答案.
【详解】解析：因为
由于α是第三象限角，则
，
又，所以为第四象限角
所以sin（75°+α）<0，则sin（75°+α）=.
因为
所以cs（15°-α）+sin（α-15°）=.
29．
【分析】根据诱导公式，将表达式转化为，代入求得结果.
【详解】解析：因为，，
所以原式=
=
=.
30．（1）；（2）.
【分析】（1）由已知条件可知求得，，已知式变形为，代入可得答案；
（2）由已知得， ，代入可得答案.
【详解】解：（1）由已知条件可知：，又，所以，，，
，
（2），又，所以，从而；
.
【点睛】易错点点睛：在根据同角三角函数关系求函数值时，注意根据角的范围取符号.
31．（1）（2）1．
【分析】（1）利用三角函数定义得到，，化简三角函数表达式代入即可得到结果；
（2）利用同角基本关系式化简即可.
【详解】（1）由题意知，，．
原式
；
（2）原式．
32．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）将代入左式，化简即可得到右式.
（2）将，代入条件，通分化简得到，即2cs2α=cs2β，然后由，将余弦化成正弦即可证得结论.
【详解】解析：（1）tan2αsin2α=tan2α（1-cs2α）=tan2α-tan2αcs2α=tan2α-sin2α，则原等式得证.
（2）因为tan2α=2tan2β+1，所以+1=2，即，
从而2cs2α=cs2β，
于是2-2sin2α=1-sin2β，也即2sin2α=sin2β+1，则原等式得证.
33．
(1)当csA＝时，csB＝，又A、B是三角形内角，
∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.
(2)当csA＝－时，csB＝－.又A、B是三角形内角，
∴A＝π，B＝π，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝π.
【详解】略
34．存在，
【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】，
，
因为，所以，因此，
得，
，因为，所以，
当时，，因为，所以；
当时，，因为，所以不成立，
因此存在角，使等式，同时成立，此时.